Жизнь Д’Аламбера

Среди учёных первого ряда XVIII века Жан Лерон Д’Аламбер был, возможно, самым несчастным человеком в личной жизни.

Жан – незаконнорождённый сын французской писательницы Тансен и генерала Детуш – был подброшен на ступеньки церкви Сен–Жан–Лерон сразу же после рождения 17 ноября 1717 года.

По имени церкви, согревшей младенца в первые часы жизни, и было дано имя будущему учёному. С матерью Жан виделся всего один раз в жизни, когда ему исполнилось семь лет. А вот отец – славный и добрый человек – не обделял его своим вниманием.

Когда Жану исполнилось четыре года, отец забрал его из семьи деревенского стекольщика, которая выходила младенца, и отдал в пансион, где мальчик получил вполне приличное образование. До двадцати пяти лет Д’Аламбер, без семьи, без друзей, без близких знакомых, вёл уединённый образ жизни, посвящая большую часть времени постижению философии, механики и математики.

Несмотря на тяжкие испытания, уготованные судьбой Жану, из него вырос добрый, мягкий, бескорыстный человек с развитым чувством собственного достоинства. Возмужав, Жан нисколько не ожесточился. Он с неизменным доброжелательством относился к успехам талантливых людей и позволял себе одно вполне извинительное развлечение – смех над глупцами.

Так же несчастливо, почти по аналогичному сценарию, сложилась и жизнь возлюбленной учёного – Юлии Леспинас, незаконнорождённой дочери графини.

До пятнадцати лет девочка воспитывалась в семье простого торговца, от которого и получила свою фамилию. Горестно и безрадостно прошло детство Юлии, о которой втайне всё же заботилась её родная мать. Но после смерти графини девушка осталась совершенно одинокой и своим утверждением в жизни была обязана только себе самой.

Когда Юлия познакомилась с Д’Аламбером, тот был уже признанным во Франции учёным, автором солидного сочинения «Трактат о динамике» и большой вступительной статьи «Очерк происхождения и развития наук» в фундаментальном труде философа Дидро «Энциклопедия наук, искусств и ремесел».

Быстро промелькнули первые, счастливые годы любви Жана и Юлии, наполненные совместным трудом на поприще литературы и философии. В сохранившихся рукописях Д’Аламбера встречаются страницы, написанные рукой госпожи Леспинас, свидетельствующие о её незаурядных способностях.

А вот что писал сам Д’Аламбер, обращаясь к Юлии:

«Ваш ум нравится всем, он и должен нравиться, вы во всём естественны, но ничуть не просты. Искренняя, осторожная и сдержанная, вы обладаете искусством владеть собой без всяких видимых усилий и скрывать свои чувства, не подавляя их нисколько».

Но до чего заблуждался гений относительно своей пассии во всём, что не касалось её ума. Юлия Леспинас была женщиной, которую мучила жажда новых знакомств, развлечений, смены обстановки. Любовь к одному мужчине, тихое семейное счастье – величайшая жертва со стороны женщины, считала Юлия, на которую она была неспособна.

Из писем Д’Аламбера мы узнаём, что порой на его возлюбленную при всём её жизнелюбии накатывали периоды безутешной тоски, безысходного горя и уныния.

Вот что писал по этому поводу философ, обращаясь к Юлии:

«… в вас чрезвычайно много противоречий: вы бываете в одно и то же время и веселы, и печальны, но большей частью вы насквозь проникнуты горестным чувством отвращения к жизни, оно всегда неразлучно с вами, и, если бы в самую счастливую минуту вам предложили умереть, вы согласились бы на это с радостью».

Много, но далеко не всё видел и предвидел человек, ослеплённый любовью. Отвращение к жизни сменялось у Юлии буйной, иначе и не скажешь, страстью к молодым красавцам. Но, увлекаясь другими, она не отпускала от себя и Д’Аламбера, поверяя ему свои сердечные тайны и отводя роль душеприказчика.

Философ убаюкивал себя мечтой, что все увлечения Юлии – дело временное, проходящее, душевная болезнь, поддающаяся излечению. И потому он, её верный друг, не вправе покинуть женщину в столь сложную для неё минуту жизни. А в ответ вместо благодарности – презрение, отчуждение и ненависть, переходящая во враждебность.

Горестное недоумение владело Д’Аламбером и он писал Юлии:

«Я не могу понять, как могло то нежное чувство ко мне, которым я так дорожил, вдруг измениться до такой степени и перейти в отчуждение, в ненависть».

Кончилось все это трагически. Не пережив унижения, связанного с женитьбой её последнего возлюбленного, Юлия отравилась и умерла на руках Д’Аламбера. Да, сломала госпожа Леспинас жизнь Жану Лерону и вместо счастья одарила его мукой.

Д’Аламбер же, неизменно любя такую женщину, как Юлия, испытывая постоянную тяжесть на сердце от неразделённой, а вернее – растоптанной любви, продолжал творить.

И как творить! Он неустанно занимался научной работой, публикацией статей в журналах, высоко оцененных его современниками, был избран членом двух академий – Парижской, объединявших математиков и естествоиспытателей, и Французской, занимавшейся литературой и искусством.

Исследование колебаний натянутой струны

Остановимся на одной очень важной проблеме, решённой Д’Аламбером и связанной с колебаниями натянутой струны, являющейся источником звука.

Первым к решению данной задачи привлек математиков англичанин Брук Тейлор в 1713 году. Ещё через 15 лет появилась работа Якоба Бернулли «О колеблющихся струнах». Но глубинное понимание данной проблемы впервые было сформулировано Д’Аламбером, опубликовавшим в 1747 году работу «Исследование по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание».

Уравнение в частных производных, описывающее колебание струны, учёный составил, опираясь на разработанный им метод, вошедший в физику под названием «принцип Д’Аламбера».

Для решения составленного уравнения учёный, обратившись к работам Эйлера по дифференциальным уравнениям, использовал так называемый способ множителей. Вскоре и сам Эйлер активно подключился к проблеме колеблющейся струны, осознав всю глубину работы Д’Аламбера, выходящей за рамки частной задачи. Эйлер предложил свои методы решения и свое видение природы полученных результатов.

В плодотворном соперничестве двух учёных и протекало становление новой научной дисциплины, связанной с изучением методов решения дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих самые разнообразные физические процессы.

Спор между великими математиками носил принципиальный характер, дискуссия была острой, и не всегда её участники были довольны друг другом.

Так, например, в одном из писем Эйлер писал: «Господин Д’Аламбер сделал мне множество возражений по этому вопросу. Но, признаюсь, я не нахожу их достаточно сильными, чтобы опровергнуть ваше решение. Этот высокий гений, как мне кажется, слишком склонен уничтожать всё то, что сделано не им самим… Господин Д’Аламбер повсюду проявляет великое стремление сделать сомнительным всё то, что утверждали другие, но он никогда не потерпит, чтобы такие же возражения были сделаны против его исследования».

В целом дискуссия по проблеме колеблющейся струны с участием многих выдающихся математиков (Лагранжа, Фурье и других) затянулась лет на пятьдесят и была завершена только к 1790 году.

А теперь перейдем к существу дела – уравнению Д’Аламбера, составленному с учётом следующих предпосылок:

• струна есть тонкая нить длиной L , закрепленная с обоих концов и способная колебаться;
• струна находится под действием силы натяжения F;
• в состоянии равновесия, без действия внешних сил, струна вытянута вдоль оси x;
• при выводе струны внешней силой из состояния равновесия она начинает колебаться, причём силами, препятствующими этому движению, пренебрегаем;
• все движения струны происходят в одной плоскости, все точки струны движутся перпендикулярно оси x , т.е. рассматриваются только поперечные движения струны.

В результате собственные поперечные колебания струны, вызванные временно действующей внешней силой (скажем, оттянули струну и отпустили её), описываются следующим дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка, называемым волновым:

где x – абсцисса точки струны; y – ордината той же точки, т.е. её отклонение от состояния равновесия; t – время; a – постоянный коэффициент (размерность – м/с), определяемый как

где F – сила натяжения струны; ρ – плотность материала струны, кг/м³; S – площадь поперечного сечения струны, м² .

Решать уравнение (1) следует с учётом граничного и начального условий. Поскольку концы струны длиной L закреплены, то следует принять следующее граничное условие: y(0) = 0, y(L)=0 .

Начальное условие, связанное с положением струны при t=0 , определяется с помощью двух уравнений:

Примем следующее начальное условие при t =0: струне в точке x=b ≤ L (где L – длина струны) сообщено смещение, равное h. Остальные точки струны образуют ломаную, состоящую из двух отрезков прямых линий (рис. 1,а).

Умножив левую и правую части уравнения (13.1) на постоянный коэффициент L² /а² π² , приведем это уравнение к нормированному виду:

где τ= (πа/L)t – нормированное время, X=(x/L)π – нормированная координата ( 0 ≤ X ≤ π) .

Решение уравнения (3), основанное на рядах Фурье, может быть представлено в виде суммы бесконечного множества гармоник с убывающими амплитудами:

где ω_n=nω₁=πan/L – угловая частота n-ой гармоники,

амплитуда колебаний n–ой гармоники.

Графики изменения положения колеблющейся струны, рассчитанные по формулам (4) и (5) при учёте 20 гармоник и шести значениях нормированного времени от 0 до 2π, приведены на том же рис.3. По ним можно проследить, как меняется положение струны при колебаниях.

Согласно (4) вдоль струны укладывается целое число стоячих волн с кратными частотами fn=n f1 при основной частоте колебаний струны в Гц:

Картина их распределения волны вдоль струны может быть самая разнообразная – всё зависит от места приложения внешней силы (например, посредине струны или у её конца) и её характера (резкий удар или щипок).

Пример распределения таких волн приведен на рис.1,б. Звук, издаваемый струной, складывается из этих гармоник или тонов. Причём, высота звука определяется основной гармоникой, а тембр, характерный для каждого инструмента, – высшими гармониками.

Из решения задачи, связанной с колебаниями натянутой струны, родилась одна из фундаментальных наук – математическая физика, основанная на решении уравнений в частных производных и описывающая множество явлений природного и технического характера, протекающих в пространстве и во времени.

Французский математик и философ Д’Аламбер и великий учёный Эйлер первыми внесли вклад в становление этой важнейшей науки.

Задание. Нарисуйте картину при 7-и и 9-и стоячих волн, укладывающихся вдоль струны.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА