ЯРКАЯ ЗВЕЗДА ГЕОРГИЯ ВОРОНОГО

Год 2018 – юбилейный для выдающегося украинского математика Георгия Вороного. Его такая короткая, но очень плодотворная жизнь была похожа на яркую вспышку между двумя датами – 15 (28) апреля 1868 г. и 7 (20) ноября 1908 г.

В маленьком украинском городке с ласковым названием Журавка над тихим Удаем он родился в семье магистра филологии, педагога по призванию Феодосия Вороного. Приворожила его Журавка на всю жизнь – каждое лето он спешил к родному дому, здесь отдыхал, обдумывал свои научные работы, в селе по соседству нашёл свою верную любовь... В Журавке завещал и похоронить себя...

Знаменательным для юноши был 1885 год, когда он окончил гимназию в Прилуках и получил такую характеристику: «...Уроки посещал исправно. Задания всегда выполнял аккуратно и тщательно. Письменные работы выполнял старательно и серьёзно, но из-за свойственной ему торопливости, они часто имели недостатки внешнего вида. К работе в классе относился с активным участием, но иногда бывал рассеян... При отличных способностях имеет, несмотря на свой молодой возраст, вполне развитый ум и весьма серьёзную любовь к обучению. Во всех предметах гимназического курса приобрёл познания очень хорошие, а в математике, к которой имеет особую склонность и призвание, приобрёл познания, выдающиеся из ряда ученических успехов по математике»...

В этом же году в «Журнале элементарной математики», который издавал выдающийся математик и педагог, профессор Киевского университета В.П. Ермаков, появилась первая публикация Георгия Вороного «Разложения многочленов на множители на основе свойств корней квадратного уравнения».

А в августе того же года он приехал в Петербург, чтобы изучать в университете любимую математику. Северная столица встретила его не слишком приветливо. Надежды быть принятым на казённый счёт и обращение к ректору с такой просьбой оказались напрасными. Стипендию Георгий Вороной получил лишь на последнем – четвёртом курсе обучения. До этого всё время тяготели над ним материальные затруднения. Средств, которые присылал отец, было недостаточно, приходилось подрабатывать, главным образом частными уроками. Мечта об отдельной комнате также оказалась неосуществимой.

«…До сих пор я только терпел. Терпел на уроке от ученика, который вымучивал меня своей леностью, а потом приходил домой, падал изнеможенный на кровать и думал: когда же конец?!.. Сидел без копейки, не имел других перспектив, кроме ненавистного урока, жил во влажной холодной комнате, о которой вспоминаю, как о кошмаре…»

Такая запись есть в дневнике студента Г. Вороного, который, к счастью, частично сохранился и на страницах которого записана исповедь юноши перед самим собою, так как он не рассчитывал, что посторонние глаза будут читать его сокровенные мысли (надеемся, что он нам это простит по прошествии более ста лет). Он внимательно анализировал свои поступки, старался посмотреть на себя со стороны, непредубеждённым глазом, увидеть свою, по его собственному выражению, «моральную физиономию», где-то подсмеивался над самим собою, где-то в трудные минуты ободрял себя.

Из этих записей Георгий Вороной предстаёт человеком широкого мышления, активным, впечатлительным, способным к сочувствию и деятельной помощи, глубоко порядочным, небезразличным. Он старается дойти до всего не только умом, а и сердцем, хотя и чувствовал, что у него «на первом плане всегда и везде голова».

Именно в годы обучения в университете Вороной окончательно определил своё будущее как учёного-математика. Его юношеская любовь к этой науке благодаря исключительной внутренней самодисциплине и настойчивой ежедневной работе постепенно превратилась в непреодолимую страсть к поиску новых математических фактов, укрепила его веру в свои творческие возможности.

«...Просыпаюсь я в 5 утра и сразу берусь за математику... Что за замечательная наука! Хотя и очень много формул, но все они настолько симметричные, что легко запоминаются…Я много, очень много работал и убедился, что способен работать, а также, кажется, успел в этом убедить других. Я знаю, я твёрдо верю, что на почве учёной деятельности и только на ней я найду своё счастье…Я не поэт, не знаю того вдохновения, которое описывают поэты, но я знаю минуты не самодовольства, не гордости, – всё это приходит потом, – а моменты, когда ум целиком охватывает идею, которая раньше, словно мячик, выскальзывала. Тогда я забываю, что я существую…». Эта запись в дневнике Георгия Вороного датирована 31 декабря 1888 года.

Работать действительно приходилось очень настойчиво, часто даже за счёт сна. Но при этом Георгий Вороной не становился нелюдимым, наоборот, он живо откликался на все события.

Основной областью математических исследований, которую избрал для себя Вороной, была теория чисел. Именно в этом направлении вели, главным образом, научные исследования математики в Петербурге в то время. Здесь во второй половине ХІХ века в области теории чисел плодотворно работали такие авторитетные специалисты, как профессора П.Л. Чебышев, А.А. Марков, Е.И. Золотарёв. В результате их научных усилий возникло отдельное научное направление, которое со временем получило название «Петербуржской школы теории чисел». Научным наставником Георгия Вороного стал профессор А.А. Марков.

Дебют Вороного в математическом кружке состоялся 2 декабря 1888 года. На нём он выступил со своим первым собственным сообщением – доказательством одного свойства чисел Бернулли способом, который он сам же предложил. Профессор Марков отнёсся к его изложению очень одобрительно. Успех первого выступления удвоил силы, и Вороной с достойной удивления настойчивостью продолжает свои исследования и получает новый значительный результат – доказывает теорему Адамса, которую тот в своё время высказал без доказательства.

На страницах дневника Вороной подаёт своё доказательство и заодно доказывает ещё одну теорему – Штаудта, продолжает дальше обдумывать свой результат и находит новое обобщение. Когда же он показал результаты своих исследований А.А. Маркову, и тот предложил ему готовить работу для печати, то требовательный к себе юный математик решил сначала ещё расширить своё исследование, обобщить его, сделать более совершенным по форме.

Новые открытия так увлекли Вороного, что даже в родной Журавке, куда он, как и всегда, приехал на каникулы весной 1889 года, он продолжает напряжённо работать над своими исследованиями и готовиться к осенним выпускным экзаменам. И только поездки в соседнее село Богданы, где жила Ольга Крицкая, которая пленила его сердце, отвлекают его. Георгий определил для себя однозначно, что судьба его в Богданах, но чувства свои скрывает, так как пока что не имеет материальной основы для того, чтобы строить семью. На этом настаивает отец. Неопределённость отношений с любимой приносит юноше много страданий, но он терпеливо ждёт своего времени.

«…Ещё раз делаю себе операцию – сжимаю своё сердце и еду в холодный и суровый Петербург... До новой весны я завернулся в свою броню и, как во сне, будет видеться мне это лето, те крохи счастья, которые так часто заставляли биться моё сердце… Опыт минувшего года укрепил мои силы, и сдерживаемое вначале творчество так и рвётся наружу, и я уверен, что много нового принесёт мне Петербург», – запишет Георгий в дневнике 6 августа 1889 года.

Так и произошло. Осенью 1889 года Георгий Вороной с блеском сдал выпускные экзамены и защитил кандидатскую работу (это теперь соответствует дипломной), темой которой были его исследования о числах Бернулли. В ноябре 1889 года его оставили при университете для подготовки к магистерским экзаменам на основе представления, подписанного всеми ведущими профессорами-математиками: А.А. Марковым, М.А. Коркиным, Ю.В. Сохоцким, К.А. Поссе. Дополнительно было направлено ходатайство факультета о стипендии для Г.Ф. Вороного – 600 руб. в год, которое было удовлетворено в январе 1890 г. Одновременно он был назначен внештатным учителем в Петергофскую прогимназию.

Итак, Георгий счастлив. Он становится независимым материально, ему не надо больше отнимать для себя часть небольших средств у отца, что его всегда очень угнетало, и, в конце концов, он становится женихом любимой Оли, которая со временем стала ему верной женой и другом всей жизни.

«Моё будущее уже в значительной мере определилось... Моё теперешнее научное состояние духа – …научные экскурсы в разные неведомые области... Я выучил уже много, много свойств разных символов... Жажда поиска, отыскивания новых свойств и отношений величин развилась у меня невероятно; я через силу выпускаю перо из рук, теряю сон, когда мне кажется, что зацепил что-то, и теперь могу сказать подобно Фемистоклу: «Лавры Гаусса не дают мне спать»...

Научные интересы молодого учёного в дальнейшем сосредоточились на теории алгебраических чисел, точнее – на теории иррациональностей третьей степени. В апреле 1894 года Георгий Вороной защитил магистерскую диссертацию «О целых алгебраических числах, которые зависят от корня уравнения третьей степени» и получил назначение в Варшавский университет, где и работал почти до конца своих дней.

Профессорская нагрузка отнимала много времени, так как он читал несколько курсов (кроме него, в это время в Варшавском университете было только два профессора) и относился к преподаванию очень ответственно, старался знакомить слушателей с новыми достижениями науки, рассказывал студентам и о своих новых результатах. С осени 1898 года Г. Вороной работал также профессором Варшавского политехнического института – был деканом механического факультета.

В библиотеке Института математики НАНУ хранится учебник аналитической геометрии, он содержит лекции, которые читал Г. Вороной своим студентам. Поражает чёткое изложение каждой темы, понятные определения, тщательные чертежи, большое количество примеров, на которых поясняются новые методы, довольно широко представлены формулы сферической тригонометрии, использование векторов и операций над ними, что для учебника конца ХІХ столетия было нововведением.

В Варшаве в 1896 году вышла отдельным изданием докторская диссертация Г. Вороного «Об одном обобщении алгоритма непрерывных дробей». Эта работа принесла ему выдающийся успех и была отмечена премией имени В. Буняковского.

Академик Д.О. Граве вспоминал: «Георгий Вороной – гениальный украинский математик. Он во время своего пребывания в Петербургском университете занимался с достойным удивления успехом кубической областью и в этой области сделал гениальное открытие. Он обобщил на кубическую область алгоритм непрерывных дробей, который даёт алгебраические единицы в квадратичной области. Это обобщение напрасно искали со времён Эйлера на протяжении ХІХ столетия все величайшие математики. Вышел, таким образом, алгоритм Вороного».

Полученный Вороным результат был настолько впечатляющим, что профессор Марков долго не мог поверить в правильность выкладок Вороного и не мог решиться одобрить его работу.

Граве свидетельствовал: «Марков телеграфом пригласил Вороного из Варшавы в Петербург. Посадив его в своём кабинете, Марков предложил Вороному вычислить единицу для уравнения r³ = 23. Вороной работал три часа: период состоял из 21 члена. Чтобы получить основную единицу, пришлось перемножить 21 число... И наконец, было доказано, что алгоритм действительно есть».

В 1898 году Московское математическое общество избрало Георгия Вороного своим членом. В августе того же года он принимал участие в работе Х съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, где прочитал доклад: «О числе корней уравнения третьей степени при простом модуле».

В 1901 году на следующем ХІ съезде русских естествоиспытателей и врачей в Петербурге он выступил с тремя докладами. В одном из них Вороной предложил оригинальный метод обобщённого суммирования расходящихся рядов.

На международном математическом съезде в Гейдельберге в 1904 году Георгий Вороной также выступил с двумя докладами. Тогда же, в 1903–1904 гг. вышли из печати два больших исследования Георгия Вороного по аналитической теории чисел. И в этой, новой для него области, его вклад был значительным, и его высоко оценили современники.

В 1907 году Вороной был избран членом-корреспондентом Петербуржской Академии наук. Когда в 1905–1907 гг. годах революционные события привели к временному закрытию университета и Политехнического института в Варшаве, Вороного вместе с группой других профессоров перевели для создания Донского политехнического института в Новочеркасск.

Вороной находился в Новочеркасске около года, выполняя обязанности декана механического факультета. Осенью 1908 года занятия в Варшавском университете возобновились, и Георгий Вороной возвратился в Варшаву. Нагрузка стало ещё большей, так как он остался единственным профессором. В помощь ему был приглашён из Политехнического института профессор И.Р. Брайцев. Вороному пришлось читать новый курс – математического анализа, по которому он составил учебник, который был напечатан уже после его преждевременной смерти, в 1909–1911 годах под редакцией И.Р. Брайцева.

На протяжении многих лет Вороной работал над вопросами арифметической теории квадратичных форм. Он имел особую привычку обдумывать и держать свои выводы в голове до тех пор, пока они окончательно не вызреют и не приобретут надлежащей им совершенной формы. К изложению своего мемуара из теории параллелоэдров он приступил 25 марта 1907 года. Теперь уже он писал чрезвычайно быстро: за десять дней – 106 страниц большого формата ( а почерк у него был мелкий и чёткий). Впрочем, уже 5 апреля Вороной переписывает работу заново, перерабатывая и уточняя её, и только после третьей редакции посылает свою работу в журнал Креля, сопровождая её таким письмом:

«На протяжении двенадцати лет я изучал свойства параллелоэдров. Я могу сказать, что это тернистое поле для исследований и что полученные результаты, изложенные в этом мемуаре, стоили мне дорого... Трёхмерные параллелоэдры играют теперь важную роль в теории кристаллических тел, и кристаллографы уже обратили внимание на свойства этих странных многогранников, но до этого времени они удовлетворялись описанием параллелоэдров с сугубо геометрической точки зрения. Я уже давно заметил, что задача разбивки n-мерного аналитического пространства на выпуклые конгруэнтные многогранники тесно (intimement) связана с арифметической теорией положительных квадратичных форм»...

Эта работа, – вероятно, высочайшее проявление его гениальных озарений, – стала его лебединой песней.

Напряжённый умственный труд требовал больших усилий, а крепким здоровьем Георгий Вороной не отличался. Последние годы врачи находили у него болезнь жёлчного пузыря, которая в периоды своего обострения приносила ему много физических и моральных страданий. Теперь он разрабатывал новое направление исследований – неопределённые квадратичные формы, о которых говорил с большим увлечением. Как свидетельствует математический дневник, первые записи по теории неопределённых квадратичных форм Вороной сделал 20 февраля 1908 года в Новочеркасске.

Неблагоприятные условия жизни в Новочеркасске вызвали тяжёлое обострение его болезни. И он заносит в свой математический дневник те мысли, которые вызрели у него в голове.

«У меня есть большие успехи в решении задачи, над которой работаю, тем временем здоровье моё всё более ухудшается. Вчера я впервые чётко представил себе алгоритм, который должен разрешить все вопросы теории форм, которые я разрабатываю. И вчера я имел сильный приступ жёлчной колики, который мешал мне работать вечером и не давал заснуть почти всю ночь. Я очень боюсь, чтобы добытые с таким трудом результаты моих длительных усилий не погибли вместе со мной. А между тем привести их в порядок так трудно. Многое я лишь угадываю каким-то чутьём, которое именно теперь, во время болезни, у меня обострилось…»

Перед отъездом из Новочеркасска в Варшаву, прощаясь со своим коллегой и добрым приятелем Брайцевым, Вороной заметил: «Врачи запрещают мне работать. А я и сам заметил, что сильное умственное напряжение всегда вызывает реакцию в моём недуге. Но они не знают, что означает для меня не заниматься математикой. Лишь моя жена знает, что математика – для меня вся жизнь, всё».

Врачи считали, что Вороному необходим продолжительный отпуск, советовали выехать на лечение в Карлсбад. Но он, как и в предыдущие годы, на лето перебрался в Журавку, которая всегда давала ему новые силы и здоровье. И действительно, там его самочувствие значительно улучшилось. Но в Варшаве уже в конце октября болезнь резко заострилась, и 7(20) ноября Георгия Вороного не стало. Было ему лишь 40 лет...

Преждевременная смерть Георгия Вороного поразила всех, кто его знал. «Никому не верилось, что умер Георгий Феодосеевич, которого все так глубоко уважали и любили. Ощущалось, что случилось что-то чрезвычайное. Все сознавали, что они преждевременно потеряли выдающегося учёного, знаменитого профессора, который был гордостью и украшением двух высших школ Варшавы… Провожая останки покойника на вокзал для перевозки на место погребения в местечко Журавка, все грустили ещё и потому, что потеряли навсегда правдивого, чуткого и сердечного Человека».…

Так писал в некрологе профессор Брайцев. Одновременно он высказал глубокое сожаление по поводу того, что из той грандиозной работы по теории неопределённых квадратичных форм, которую разрабатывал Вороной, он имел возможность изложить на бумаге лишь небольшую частицу: «Едва ли из них удастся воссоздать хотя бы частично те хитроумные геометрические соображения, которые привели к упомянутому в дневнике алгоритму, о чём покойник всегда говорил с большим подъёмом и энтузиазмом. Чтобы сделать это, недостаточно в общих чертах знать те направления мыслей покойника, а нужно быть таким же глубоким знатоком теории квадратичных форм с n-переменными, каким он был, нужно владеть той удивительной техникой, которой под конец своей жизни овладел покойник. А ещё нужно так же самоотверженно любить эту область математической науки, как любил её он... »

Борис Делоне, один из наиболее талантливых учеников Георгия Вороного, писал в 1933 году: «Работы Георгия Вороного отличаются своей глубиной и совершенством изложения. У Вороного всего шесть больших и шесть небольших работ. Каждая из больших работ – или капитальная в данном объёме, или открывает большой участок исследований; а даже каждая небольшая работа Вороного необычно оригинальная и временами по-новому направляет исследования. Глубина и важность его исследований оставили глубокий след в современной теории чисел. Вместе с Минковским Вороной является творцом геометрии чисел. Работу Георгия Вороного 1903 года о числе точек под гиперболой надо считать вехой, от которой начинается современная аналитическая теория чисел».

С годами пришло осознание, что Георгий Вороной – действительно одна из ярчайших индивидуальностей в истории математики.

Особенностью Георгия Вороного было гармоническое объединение в нём дарований геометра и аналитика. Исключительные математические способности позволили Георгию Вороному за свою короткую жизнь успеть начать несколько новых научных направлений: аналитической теории чисел, алгебраической теории чисел, геометрии чисел.

Имя Вороного носят следующие математические объекты:
- метод суммирования Вороного
- область Вороного
- диаграмма Вороного
- теорема Вороного о параллелоэдрах

Феноменом является тот факт, что построенные Вороным математические объекты оказались очень удобным инструментом для исследователей разнообразнейших областей знаний.

В частности в исследовании о примитивных параллелоэдрах (1908) Георгий Вороной дал описание этих многомерных структур. Это – расположенные параллельным образом выпуклые многогранники в n-мерном Евклидовом пространстве, которые не пересекают друг друга, имеют общие грани и все вместе заполняют n-мерное пространство. Среди них выделен класс примитивных параллелоэдров, у которых в каждой вершине сходится наименьшее число этих пространственных тел, то есть n+1.

Г. Вороной нашёл алгоритм, который разрешает для каждого n построить все примитивные параллелоэдры и дал математический аппарат их изучения.

Потребность разделения пространства на отдельные клетки для математического описания определённых процессов возникает в современных исследованиях в разнообразнейших областях знаний: кристаллография, физика, астрономия, астрофизика, электроника, радиационная физика, химия, химическая инженерия, офтальмология, микробиология и т.п.

Так возникли понятия «области Дирихле» («Dirichlet domain») в математике, «многоугольника Тиссена» («Thiessen poligon») в географии, «клетки Мееринга» («Meijering cell») в металлургии, «S-мозаики» («S-mosaics») в экологии, «клетки Вигнера-Зейтса» («Wigner-Seitz cell») в кристаллографии.

Сейчас в подавляющем большинстве исследований терминология унифицирована, общепризнанными являются термины: «клетка Вороного» («Voronoi cell»), «мозаика Вороного» («Voronoi tessellation») («Voronoi mosaics»), «разбивка Вороного» («Voronoi tiling»), поскольку совершеннейшим по форме и приоритетным во времени есть метод Георгия Вороного.

Не менее важной есть роль диаграмм Вороного также в таких практически ориентированных областях, как компьютерная графика, геометрическое моделирование, конструирование роботов, распознавание образов, построение географических информационных систем и т.п. Этот перечень можно продолжать и дальше: кристаллография, физика, астрономия, астрофизика, электроника, радиационная физика, химия, химическая инженерия, офтальмология, микробиология, проблемы искусственного интеллекта.

Классическая задача почтовых отделений является одной из первых задач вычислительной геометрии. В какой-то местности есть п почтовых отделений. И человек, находясь в определённом месте, спрашивает о ближайшем почтовом отделении. Проблема решается путём построения диаграммы Вороного для всех почтовых отделений. Местоположение человека будет отнесено к одной из областей, и ближайшим будет почтовое отделение, которое в ней находится.

Современным примером будет подключение пользователя к узлу сети мобильных телефонов. С недавнего времени исследуются динамические диаграммы Вороного, которые возникают при планировании движения роботов, когда точки не закреплены, а непрерывно двигаются вдоль заданных траекторий.

В наше время работы Вороного используют специалисты разных областей знаний практически во всех странах Европы, в США, Канаде, Японии, Австралии, Гонконге, Новой Зеландии и других. За последние 30 лет вышло несколько фундаментальных монографий, посвящённых диаграммам Вороного.

Среди них наибольшим вниманием пользуется книгаА. Okabe, B. Boots, K. Sugihara «Spatial Tesselation: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams» («Пространственные мозаики: Понятия и применения диаграмм Вороного»), выпущенная в 1992 году известным издательством John Wiley and Sons (Англия).

После нескольких дополнительных тиражей в 2000 году книга, переработанная и дополненная, выпущена вторично авторским коллективом уже вместе с S.N. Chiu. Объём этой книги – около 700 страниц, только библиография занимает почти 80 стр.

Институт математики НАН Украины вместе с другими научными и образовательными учреждениями Украины, проводит Международные конференции памяти Георгия Вороного. В этих конференциях принимают участие ведущие специалисты не только из Украины, но и из Южной Кореи, Польши, Японии, Канады, США, Великобритании и других стран. В этом году состоится очередная конференция.

В 2008 году Национальный Банк Украины в ознаменование 140-летия со дня рождения и 100-летия со дня смерти Г.Ф. Вороного выпустил в обиход юбилейную монету номиналом 2 гривны.

Внимание к творчеству Георгия Вороного свидетельствует, что, хотя научные работы украинского математика были признаны гениальными ещё его современниками, настоящее значение его научного наследства раскрывается лишь в наше время.

Вот что написали в 1998 году австрийские учёные-математики О. Айхгольцер и Ф. Ауренгаммер в своей статье: «Около двадцати лет тому назад диаграммы Вороного были введены в теоретическую компьютерную науку. И с этого времени диаграммы Вороного стали употреблять повсеместно в проектах, связанных с геометрическими алгоритмами, так что кое-кто датирует рождение вычислительной геометрии именно с этого момента.

В самом деле, значительный процент статей из вычислительной геометрической литературы прямо или опосредствованно связан с диаграммами Вороного и похожими структурами».

Литература

1. Брайцев И.Р. Г.Ф. Вороной (Некролог). – Сообщ. Харьковского матем. общ-ва. – 1910. – Вторая серия, т. ХІ, №6, – С. 197-210.
2. Граве Д.О. Об обобщении алгоритма Вороного. – Журнал матем. цикла ВУАН. –1933. – Т.1,№2. – С. 17-23.
3. Делоне Б. Георгий Федосеевич Вороной. – В кн.: Петербуржская школа теории чисел. – М.- Л.: Изд-во АН СССР, 1947.
4. Погребысский И.Б., Штокало И.З. Жизнь и научная деятельность Г.Ф. Вороного. – В кн. Г.Ф. Вороной. Собр.соч., т.3. – 1953. – С. 253-302.
5. Сита Г. Велет науки з української Журавки. Мозаїки Вороного. – «Український форум». – 29.04.1999.
6. Вплив наукового доробку Г. Вороного на сучасну науку. Ред. Г. Сита, А. Юрачковський. – НАНУ. Ін-т матем. – Київ, 2003. – 238 с.
7. Бондарук Л. Український геній математики. – «Шлях перемоги». – 11.02.2004.
8. Романець Д. Діаграми Вороного. – «Україна молода». – 25.04.2008.

Н.Г. Шишкалова, правнучка Георгия Вороного