Сразу расшифруем: на студенческом жаргоне дифуры – это дифференциальные уравнения. Часто студентам технических вузов бывает непонятно: зачем им преподают высшую математику? Учитывая тему статьи, ответ будет интересен тем курсантам, которым предстоит служить в войсках и участвовать в боевых действиях.

Понятно, надо знать работу специальных приборов и техники, но зачем высшая математика? Тем более, ни для кого не секрет, что нередко в вузах дают такие знания, которые в жизни никогда не оказываются востребованными.

Чтобы показать полезность знаний, в нашем случае высшей математики, приведём пример построения математической модели боевых действий.

Дополнительным аргументом в пользу нашей точки зрения служит универсальность математики. Имеется в виду то, что одни и те же уравнения часто годятся для описания совершенно разных процессов. Просто, математические символы могут обозначать разные вещи, притом, что решение задачи имеет одно и то же аналитическое выражение.

Модель, которую мы хотим вам предложить, годится как для военных (решение описывает изменение численности подразделения во время боевых действий), так и для описания апериодического процесса колебаний напряжения в электрическом контуре (это важно в задачах из областей связи и телекоммуникаций).

Итак, ещё в начале прошлого века английский инженер Фредерик Вильям Ланчестер, во время Первой мировой войны, построил ряд математических моделей ведения воздушных сражений. Позже эти модели распространили на случаи боевых действий регулярных войск и партизанских соединений.

Рассмотрим ниже самую простую из таких моделей. Основа нашей модели – дифференциальное уравнение. Из названия уравнения видна необходимость знакомства с понятием производной функции (дифференцирование – это и есть взятие производной). Поэтому скажем об этом несколько слов (точнее, напомним, так как эти понятия входят в школьную программу).

Понятие производной напомним с помощью примера. Если известно, как пройденный телом путь зависит от времени, то мгновенная скорость тела в каждой точке пути как раз и есть производной от пути по времени. Другими словами, мгновенная скорость есть отношение очень малого пути ко времени, за которое тело его проходит (понятно, что и время, соответствующее этому пути, тоже очень мало).

Так, решением алгебраического квадратного уравнения являются два числа (если решение возможно). А вот если уравнение в качестве неизвестной содержит функцию времени и её производные, то такое уравнение называется дифференциальным.

Его решением уже является неограниченно много чисел – целая функция. Тут, правда, надо ещё добавить начальные условия, то есть значения неизвестной функции и её производных меньшего порядка, чем есть в уравнении, в определённый момент времени.

Теперь мы можем рассмотреть нашу модель.

Основная задача нашей модели – выяснить, как меняется численность воюющих сторон со временем при некоторых начальных условиях, о которых скажем ниже. Итак, пусть в боевых действиях участвуют две противоборствующие стороны. Их численный состав обозначим через x(t) и y(t). Начало боевых действий пусть соответствует моменту t = 0 дней.

На деле трудно указать критерии, которые учитывали бы при сравнении противников степень боевой готовности и качество вооружения, способности и опыт командного состава, моральный дух и многие другие факторы. Поэтому сделаем некоторые упрощающие предположения.

Пусть x(t) и y(t) меняются непрерывно и, более того, эти функции имеют производные по времени. Конечно, это упрощение реальной ситуации, поскольку как x(t), так и y(t) – число военных, то есть целое число. Но понятно, что при достаточно больших численных составах каждого из противников увеличение их численности на одного или двух человек даёт на деле очень малую величину по сравнению со всем личным составом.

Поэтому можно считать, что за малые промежутки времени численный состав также изменяется на малые (и даже не целые) количества. Это даст нам возможность искать решение в виде непрерывной функции, что очень упрощает поиск.

Этих соглашений, конечно, недостаточно для того, чтобы выписать конкретные формулы для x(t) и y(t) как функций времени t. Однако, можно указать ряд факторов, которые позволяют описать скорости изменения численности противников.

Обозначим через v_mх – скорость, с которой сторона х несёт потери от болезней и других факторов, не связанных с боевыми действиями.

Далее, пусть v_wу – скорость, с которой сторона х несёт потери во время ведения боевых действий со стороной у. Аналогичные обозначения введём для у. Тогда ясно, что скорости изменения x(t) и y(t) можно задать уравнениями

dx/dt = v_mх + v_wу,   dy/dt = v_wх + v_mу.

Теперь надо как-то связать эти скорости v_m и v_w с количествами x и y. После чего можно исследовать полученные дифференциальные уравнения, и анализ решения позволит получить сведения о вероятном победителе.

Предположим, что v_mх = – ax(t) (это значит, что чем большей является численность войск х, тем больше военных могут выйти из строя по болезни, и скорость dx/dt уменьшится). Кроме того, допустим, что v_wу = – by(t) (то есть, численность х уменьшится под огнём противника пропорционально его численности y). Тогда изменения x(t) можно описать уравнением

Для численности у можно написать аналогичное уравнение.

В уравнениях (1) и (2) а, b, с, d – неотрицательные постоянные, характеризующие степень влияния различных факторов на потери в живой силе обеих сторон х и у. Из них за непосредственные боевые действия отвечают только постоянные b, с. Ещё примем начальные условия: x_о и у_o – численный состав сил х и у в начале боевых действий.

Итак, пусть подразделения противника находятся в зоне действия огневых средств другой стороны, и огонь ведётся только по живой силе, непосредственно участвующей в боевых действиях. Понятно, что совсем непросто вычислить коэффициенты b и с. Один из путей найти их – это представить в виде

где r_у и r_х – удельные коэффициенты огневой мощи сторон у и х (доля огневой мощи, приходящаяся на одного бойца), а р_у и р_х – вероятности того, что каждый из выстрелов со стороны у или х окажется метким.

Отметим далее, что члены, которые соответствуют боевым потерям в уравнениях (1) и (2), являются линейными. Заметим, что Ф. Ланчестер рассматривал и нелинейные модели, которые позволяют описать много интересных особенностей военных действий, но мы для начального знакомства ограничимся линейной моделью.

Предположим, что регулярные войска противников ведут боевые действия в упрощённой ситуации, когда потери, не связанные с боевыми действиями, отсутствуют. Если при этом обе стороны ещё и не получают подкреплений, то математическая модель сводится к системе дифференциальных уравнений

Разделив второе уравнение на первое, получим

Интегрируя последнее уравнение (4) с учетом начальных условий, приходим к равенству

Соотношение (5) объясняет, почему систему (3) называют моделью с квадратичным законом. Если обозначить через К постоянную by_о² – cx_о², то уравнение

описывает гиперболу (или пару прямых при К = 0). Такую систему можно назвать дифференциальной системой с гиперболическим законом.

На рис. 1 изображены гиперболы для различных значений К, при этом ясно, что следует рассматривать лишь первый квадрант (так как х ≥ 0 и у ≥ 0). Стрелки на кривых указывают направление изменения численности сил с течением времени.

Чтобы ответить на вопрос, кто побеждает в построенной модели (3), условимся, прежде всего, говорить, что побеждает сторона у (или х), если она первой уничтожает боевые силы стороны х (или у). Так, в случае, если К > 0, побеждает сторона у, ибо в соответствии с уравнением (5) переменная у никогда не обращается в нуль, в то время как при значении y = (K/b)^1/2 переменная х обращается в нуль. Таким образом, чтобы победили силы у, им нужно стремиться достичь такой ситуации, при которой К > 0, то есть, когда

Из равенств (2) следует, что неравенство (7) можно переписать в виде

Левая часть этого неравенства показывает, что изменения в отношении сил y_о/x_о дают преимущество одной из сторон в соответствии с квадратичным законом! Так, например, изменение в отношении сил от y_о/x_о = 1 до y_о/x_о = 2 даёт четырехкратное преимущество силам у. Отметим правда, что уравнение (5) определяет соотношение между силами противников, не учитывая их зависимости от времени.

На всё, о чем выше было написано, автора вдохновила замечательная популярная книжка В.В. Амелькина «Дифференциальные уравнения в приложениях». Но в рамках нашей темы, как раз при построении временной зависимости для численности войск в рассмотренном в книге примере была допущена досадная, но существенная ошибка.

Перед тем, как продолжить чтение, попробуйте самостоятельно обнаружить эту ошибку. Хочу подчеркнуть, что эта ошибка нисколько не снижает ценности книги, к тому же написанной понятным языком, доступно для школьника, интересующегося математикой. Ниже приводится правильное решение.

Чтобы вывести формулы для временной зависимости численных составов, поступим следующим образом. Продифференцируем по t первое из уравнений системы (3) и подставим в него второе уравнение этой же системы. В результате придём к дифференциальному уравнению второго порядка, так называют уравнения, которые содержат вторую производную от неизвестной функции

Используя тогда в качестве начальных условий соотношения

получим решение уравнения (9) в виде

где chх = (е^х +е^–х)/2 и shх = (е^х – е^–х)/2 – гиперболические функции, b = (bc)^1/2, g = (b/c)^1/2. Эти функции напоминают тригонометрические (например, ch²х – sh²х = 1). Но cosx и sinx имеют колебательный характер, а chх и shх экспоненциально растут или падают, как это видно из их графиков на рис. 2 (график функции у = sh х) и 3 (график функции у = ch х). В вышеназванной книге выписаны решения другого уравнения – d²x/dt² + bсx = 0, а это – cosx и sinx.

Подобно формуле (10), можно получить решение для y(t) (сделайте это самостоятельно) в виде

На рис. 4 показаны графики функций, заданных уравнениями (10) и (11), в случае, когда К > 0 (т. е. когда by_о² > cx_о² или когда γy_о > x_о).

В заключение отметим, что для победы сил стороны у не обязательно, чтобы число y_о было больше числа x_о. Требуется лишь выполнение неравенства γy_о > x_о.

Если теперь под х(t) и у(t) понимать заряд q и электрический ток I = dq/dt, то мы придём к описанию апериодического процесса в электрической цепи. Более сложными и более соответствующими описываемому событию являются нелинейные модели.

Например, уравнение dN/dt = aN – bN² – основа дифференциальной модели популяций, которая связана с размножением или вымиранием животных, а также с сосуществованием различных их видов в ситуации «хищник – жертва».

Мы коснулись надводной части айсберга с именем «теория дифференциальных уравнений», которая на рубеже тысячелетий претерпела основательные изменения. Ничего не было сказано о нелинейной динамике, детерминированном хаосе и многом другом, что привело к новому пониманию необычных природных явлений.

Одним из таких явлений природы стала турбулентность, отражающая качественный переход к другой форме движения. В этом явлении и сегодня остаётся много загадок. Видимо, ещё не всё открыто, и молодому поколению есть, где приложить силы в познании окружающего мира.

А.М. Пальти, преподаватель физики