(Окончание. Начало в №1 за 2021 г.)

Золотые фигуры

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причём характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2.

Из «Начал» Евклида известен следующий способ геометрического построения золотого сечения с использованием линейки и циркуля (рис. 2). Построим прямоугольный треугольник АВС со сторонами АВ = 1 и АС = 1/2. Проведём окружность с центром в точке С радиуса АС до её пересечения с отрезком ВС в точке D, мы получим отрезок ВD. Проведя окружность с центром в точке В радиуса ВD до её пересечения с отрезком АВ в точке Е, мы получим деление отрезка АВ в точке Е в золотой пропорции.

Таким образом, хорошо известный в древнем мире прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия «теоремы квадратов», золотой пропорции и, наконец, «несоизмеримых отрезков» – трёх великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

Рассмотрим теперь золотой прямоугольник, который имеет следующее геометрическое определение (рис. 3). Золотым прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции Ф.

Рассмотрим случай простейшего золотого прямоугольника, когда AB = Ф и BC = 1. Найдём теперь на отрезках AB и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны AB и DC в золотом сечении.

Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовём этот отрезок «золотой линией». При этом с помощью «золотой линии» EF золотой прямоугольник ABCD оказывается разделённым на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть не что иное, как квадрат.

Очевидно, что прямоугольник EBCF также является золотым. Таким образом, «золотая линия» EF расчленяет исходный золотой прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый золотой прямоугольник EBCF.

Проведём теперь диагонали DB и EC золотых прямоугольников ABCD и EBCF. Из подобия треугольников ABD, FEC, BCE вытекает, что точка G разделяет золотым сечением как диагональ DB, так и «золотую линию» EF. Проведём теперь новую «золотую линию» GH в золотом прямоугольнике EBCF. Ясно, что эта линия GH разделяет золотой прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый золотой прямоугольник EBHG. Более того, точка I делит золотым сечением диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и золотых прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O.

Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и золотого прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму золотого прямоугольника.

Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме – так называли греки звездчатый многоугольник (рис. 4). Он служил символом Пифагорейского союза – религиозной секты и научной школы по главе с Пифагором, которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д.

На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорейский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях.

Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, чётные числа они называли женскими, нечётные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.

Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал чёрного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом.

Фигура на рис. 4 имеет название «пентаграмма» (от греческих слов «pentagrammon», «pente» – пять и «gramma» – линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты.

Диагонали пентаграммы образуют «пятиугольную звезду». Доказано, что точки пересечения диагоналей являются точками золотого сечения. При этом они образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют ещё одну пентаграмму и этот процесс может быть продолжен до бесконечности.

Таким образом, пентаграмма ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентаграмм, которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создаёт чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

В пентаграмме можно найти огромное количество отношений золотой пропорции. Например, отношение диагонали пентаграммы к её стороне равно золотой пропорции. Кроме того, среди отрезков FG, EF, EG, EB отношение каждого последующего к предыдущему также равно золотой пропорции.

Пентаграмма всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своём жилище пентаграмму, надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.

«Пятиугольная звезда», входящая в пентаграмму, состоит из пяти равносторонних золотых треугольников, каждый из которых напоминает букву «А» («пять пересекающихся А») (Рис. 4).

Каждый золотой треугольник имеет острый угол A = 36° при вершине и два острых угла D = C = 72° при основании треугольника. Основная особенность золотого треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра AC = AD к основанию DC равно золотой пропорции Ф.

Исследуя пентаграмму и золотой треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB пентаграммы и делит сторону AC в точке H золотым сечением (Рис. 5). При этом возникает новый золотой треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H' и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность золотых треугольников. Как и в случае с золотым прямоугольником и пентаграммой, бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры (золотого треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.      

Интересен ещё один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90°, 54° и 36°, а их отношение составляет 5:3:2. В нём отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф/2. Это отношение отвечает равенству

Ф/2 = cos 36°. Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом π: Ф =.

Вездесущий филлотаксис

 Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Ещё Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а её корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал учёный Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идёт, по существу, не о спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто смешивают.

Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первый взгляд кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так называемых винтовых дислокаций.

Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений. Отчётливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях листорасположения.

Существует несколько способов листорасположения. В первом листья побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нём отвечает порядку появления в нём листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель – числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

Оказалось, что каждое растение характеризуется своим листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на её поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу φ = 0,61803…

Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.

При изменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев. Формула 1/2 характеризует двурядное расположение листьев под углом 180° друг от друга. При формуле 1/3 угол между листьями будет 120°, а при формуле 2/5 – 144° и т.д. В предельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотой пропорции – 0,38196… угол расхождения листьев станет равным 137°30′28″, который был назван «идеальным» углом, или углом золотой пропорции (360° ÷ 137°30′28″ = Ф²).

Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза.

Литература

1. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
2. Азевич А. Двадцать уроков гармонии. – М.: Школа-Пресс, 1998.
3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.
4. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

Н.В. Шмигевский, кандидат физико-математических наук