ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 Формирование интегрального и дифференциального исчисления происходило на основе операций с бесконечно малыми (инфинитезимальными) величинами в процессе развития интегральных и дифференциальных методов и установления тесных связей между ними.

 Источники возникновения и средства создания этих методов возникли независимо друг от друга на разных этапах развития математики. Долгое время эти методы применялись для решения двух разных групп задач.

Первая группа задач сводится к нахождению сумм бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. Это - задачи об определении площадей, объёмов, работы, центров масс, моментов инерции и т.д.

Чтобы избежать бесконечности в исчислении мер древнегреческий учёный Евдокс (408-355 до н.э.) предложил метод вычерпывания. Этот метод плодотворно развивали и применяли Евклид (356-300 до н.э.), Архимед (287-212 до н.э.) и другие математики.

Метод заключался в построении двух фигур U и V, между которыми одновременно находились фигуры А и В, такие, что площадь фигуры А известна, а площадь фигуры В неизвестна. Фигуры U и V подбирались так, чтобы разница площадей U–V была сколь угодно малой. Тогда методом от противного доказывалось, что площадь фигуры А равна площади фигуры В.

Значительный вклад в развитие интегральных методов сделал Архимед. Греки и до Архимеда умели находить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей и объёмов. Для этого он усовершенствовал и виртуозно применил метод вычерпывания Евдокса.

В своём труде «Послание к Эратосфену о методе» (другое название: «Метод механических теорем») он использовал бесконечно малые величины для вычисления объёмов. Идеи Архимеда впоследствии легли в основу интегрального исчисления. (См.: Архимед. Сочинения. - М., 1962).

Таким образом, уже античная математика содержала элементы интегрального исчисления, однако ещё не в строгой форме, без чёткой теоретической основы.

Метод Архимеда для вычисления площадей и объёмов несколько упростил и обобщил итальянский математик Лука Валерио (1552-1618). Но его трактат «Три книги о центре тяжести тел» (1604) не получил такой популярности, как труды немецкого учёного Иоганна Кеплера (1572-1630) и итальянского математика Бонавентуры Кавальери (1598-1647).

Иоганн Кеплер, используя идеи Архимеда, обращался к интуитивным приемам и совсем не обосновывал их. Чтобы вычислить площадь какой-то фигуры, он разбивал её на бесконечное множество бесконечно малых элементов одной с ней размерности. Из этих элементов образовывал новую фигуру, площадь которой уже умел вычислять.

Этот метод он применял и к объёмам тел. В частности, считая, что каждое тело вращения состоит из множества «тонких кружочков», он определил объёмы 92 таких тел. Большинство результатов Кеплера были правильные, хотя несколько ошибок он всё же сделал. Свои исследования он изложил в трудах «Новая астрономия» (1609) и «Стереометрия винных бочек» (1615).

Ещё дальше пошёл Бонавентура Кавальери. Он стал самым влиятельным представителем «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили ещё до открытия математического анализа успешно решить ряд задач аналитического характера.

Сравнение площадей плоских фигур Кавальери сводит к сравнению «всех линий», которые можно представить себе как сечения фигур прямыми, движущимися, но такими, что остаются все время параллельными некоторой направляющей линии - так называемой регуле. Аналогично для сравнения объёмов тел вводятся взятые во всей их совокупности плоские сечения.

Основной опорой новой геометрии Б. Кавальери считал следующую теорему: Плоские фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по произвольной регуле, а пространственные тела - как все их плоскости, взятые по произвольной регуле.

Отсюда следует, что для нахождения отношения между двумя плоскими фигурами или пространственными телами достаточно найти отношения между всеми неделимыми обеих фигур или тел по какой-то регуле.

Б.Кавальери предложил много примеров успешного применения метода неделимых, как для известных тел, так и для новых (например, гиперболоида вращения). Он привёл пример парадокса, который может привести к ошибочным результатам из-за неудачного выбора неделимых сечений. Но понятного правила того, как избежать ошибок, он не дал.

В первой половине XVII века математики установили, что большое количество разнородных задач по геометрии и механике имеют общие пути решения и сводятся к квадратуре или кубатуре. Идеи, содержащие элементы определённого интегрирования, быстро распространялись среди математиков Западной Европы.

Их использовали и развивали Э. Торричелли, Паскаль, П. Ферма, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Д. Валлис, Н. Меркатор, И. Барроу. Однако при всей значимости результатов, интегральное исчисление как общего метода и универсального алгоритма ещё не было создано. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих конкретных задач.

Создание анализа бесконечно малых произошло во второй половине XVII века благодаря гениальным трудам Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница.

Вторая группа задач охватывает задачи на движение и другие процессы. Для определения направления движения тела в некоторой точке его траектории нужно было ввести понятие касательной. Исследования кривых (в направлении которых летят снаряды, движутся планеты) ставили задачи на максимум и минимум.

Изучение движения вообще требовало понятия мгновенной скорости. Такого типа задачи ставились с древних времён, но решались тогда геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей. Так, Архимед исследовал, как построить касательную к кривой, как найти наибольшее значение произведения и т.д.

Только в XVII в. математики обнаружили, что все эти задачи можно решать единым методом, используя бесконечно малые величины. Этот метод получил развитие в трудах Р. Декарта, П. Ферма, Д. Грегори, Д. Валлиса, И. Барроу и других учёных. Развитие метода бесконечно малых величин привело к созданию дифференциального исчисления.

Наилучшие результаты в то время получили П. Ферма и И. Барроу. Выдающийся французский учёный Пьер Ферма (1601-1665) по сути умел находить производную произвольного многочлена от одной переменной. Пользуясь этим, он показал, как решать задачи на экстремум, в том числе - о вписывании в данный шар конуса наибольшего объёма, цилиндра наибольшей площади поверхности и т.п. Но само понятие производной он не выделил.

Приёмы, разработанные П. Ферма, стали непосредственными предшественниками новой теории - дифференциального исчисления. Это отмечали Ж. Д'Аламбер, Ж. Лагранж и П. Лаплас. Д'Аламбер, в частности, в «Энциклопедии» (1750) писал, что у Ферма мы встречаем первое приложение дифференциалов к нахождению касательных.

Последнее открытие, предшествовавшее созданию математического анализа, сделал английский учёный Исаак Барроу (1630-1677). В своём труде «Оптические и геометрические лекции» (1669-1670) он установил связь между двумя важными задачами: вычислением площади и проведением касательной.

Применяя современные обозначения, доказанное им утверждение (теорема Барроу) можно записать так:

.

Таким образом была установлена взаимная обратимость операций дифференцирования и интегрирования. К доказательству этой зависимости И. Барроу подошёл двумя путями: кинематически и геометрически.

Теорема Барроу даёт возможность по результатам какого-либо дифференцирования или интегрирования найти результат обратной операции (т.е. установить первоначальную функцию). Используя этот результат, он решил ряд обратных задач на касательные.

С трудами И. Барроу ознакомились многие учёные, но они не поняли всеобщности и важности этой зависимости из-за громоздкой геометрической формулировки и пренебрежения аналитическими методами. Впоследствии учёные усовершенствовали формулировку и доказательство этой теоремы.

Это позволило теореме Барроу стать одной из важнейших в классическом математическом анализе. Именно она позволяет вычислять определённые интегралы (границы интегральных сумм) с помощью первоначальной функции.

Н.В. Шмигевский, кандидат физико-математических наук

По теме: