1. Если f(x) > 0 для всей области определения, то график функции y = |f(x)| везде совпадает с графиком функции y = f(x). Если же в некоторых интервалах f(x) < 0, то график функции y = |f(x)| на этих же интервалах является симметричным графику функции относительно оси абсцисс, а на остальных интервалах совпадает с ним.

2. График функции y = |f(x)| является симметричным относительно оси ординат, причем для x ≥ 0 он совпадает с графиком функции y = f(x). Если функция y = f(x) определена только для x < 0 (например ), то выражение не имеет смысла.

3. График функции y = f ²(x) лежит над графиком функции для х, при которых f(x) < 0 или f(x) > 1. Для х таких, что 0 < f(x) < 1 – наоборот. Совпадают графики при значениях х, где f(x) = 0 или f(x) = 1.

4. Такая функция должна обладать свойством: для любых a и b для всех х из области определения f(ax) = f(x + b). Поскольку такое равенство должно выполняться и при b = 0, то есть f(ax) = f(x), то отсюда следует, что f(x) = const. Действительно, например, для функции y = 1 для всех х выполняется f(ax) = f(x + b).

5. Если функция y = f(x) четная, то получим тождество y = f(x)–f(–x) = 0. Если она нечетная, то есть график функции y = 2f(x), то есть график функции y = f(x) просто растягивается по вертикали в два раза. Если функция y = f(x) четная, то график функции y = f(x) + f(–x) = 2f(x) растягивается по вертикали в два раза. Если она нечетная, то получим тождество y = f(x) + f(–x) = 0. В других случаях следует строить разницу или сумму графиков. Отметим, что функции y = f(x)–f(–x) и y = f(x) + f(–x) всегда будут четными.