Решение задачи 1. Обозначим через P цену билета. Согласно условиям задачи, количество купленных билетов Q выражается в виде линейной функции от цены

Q = D(P), D(P) = 5000 – 10P.

Выручка театра представляется в виде произведения количества проданных билетов на цену одного билета

R = Q·P.

Её можно рассматривать как функцию от цены

R(P) = P·Q(P).

В нашем случае эта функция будет квадратичной

R(P) = 5000P – 10P².

Причём, она является вогнутой. Поэтому в точке её максимума производная этой функции

R′(P) = 5000 – 20P

должна равняться нулю. Отсюда находим оптимальный уровень цены на билеты

 P¯= 5000 / 20 = 250 монет.

Затем не сложно определить количество желающих купить билеты при этой цене

Q¯= 5000 – 10P¯= 2500 чел.

и выручку театра от продажи билетов

R¯= 250 (мон.)·2500 (чел.) = 625000 монет.

Решение задачи 2. Согласно условиям этой задачи объёмы продаж билетов молодёжи Q₁ и взрослым Q₂ выражаются линейными функциями спроса

D₁(P₁) = 3000 – 7,5P₁,
D₂(P₂) = 2000 – 2,5P₂,

где P₁ – цена билета для молодёжи, P₂ – цена билета для взрослых зрителей.

Объёмы выручки от продажи билетов для этих двух групп населения

R₁(P₁) = P₁·D₁,
R₂(P₂) = P₂·D₂

будут квадратичными выпуклыми функциями

R₁(P₁) = 3000P₁ – 7,5P₁²,
R₂(P₂) = 2000P₂ – 2,5P₂².

Производные функций R₁ и R₂ будут линейными функциями

R₁′(P₁) = 3000 – 15P₁,
R₂′(P₂) = 2000 – 5P₂.

Приравняв эти производные нулю, получим оптимальные значения цен на билеты для молодёжи и для взрослых

P¯₁= 200 м./чел.,
P¯₂= 400 м./чел..

Цена билета для молодёжи стала меньше, чем было при единой цене на билеты для всех групп населения. Поэтому Комитет по молодёжной политике это вполне может записать себе в «актив», как результат его положительной деятельности.

При этом на концерт придёт значительно больше молодёжи, что также может рассматриваться как положительный итог деятельности Комитета по молодёжной политике города N. При единой цене на билеты P¯= 250 мон. на концерт пришло бы молодёжи и взрослых

Q^~₁= 3000 – 7,5·250 = 1125 чел.,
Q^~₂= 2000 – 2,5·250 = 1375 чел.

При дифференцированных ценах на концерт придёт молодёжи и взрослых:

Q^~₁= 3000 – 7,5·200 = 1500 чел.,
Q^~₂= 2000 – 2,5·400 = 1000 чел.

Это в сумме составит те же 2500 чел., что было определено в результате решения задачи 1. При этом молодёжи придёт на концерт на 375 чел. больше. На такую же цену сокращается число «взрослых» зрителей.

А что произойдёт с доходами театра. Выручки от продажи билетов «молодёжи» и «взрослым» составит

R₁(P^¯₁) = P^¯₁· Q^¯₁ = 200·1500 = 300 000 м.,
R₂(P^¯₂) = P^¯₂· Q^¯₂ = 400·1000 = 400 000 м.,

следовательно, суммарная выручка составит 700 тыс. монет, что больше выручки, которая была при единой цене (625 тыс. монет).

То есть, не только Комитет по молодёжной политике, но и сам театр выиграют от введения дифференцированных цен на билеты по категориям населения. Полученный результат можно рассматривать как пример того, что за фасадом проведения социальной политики может скрываться и простой экономический расчёт организации, проводящей эту политику. Например, под таким углом можно рассматривать введение пониженной цены для пенсионеров и студентов на транспорте.

В завершение анализа ситуации, сформулированной в задаче 2, интересней будет рассмотреть вопрос, откуда взялись дополнительные 75 тыс. монет дохода театра. Если бы цена была единой в 250 монет за билет, то выручки от продажи билетов молодёжи и взрослым составили бы:

R^~₁= 250·1125 = 281250,
R^~₂= 250·1375 = 373250,

что в сумме равно указанным 625 тыс. монетам. Из полученных цифр видно, что увеличение доходов театра произошло в результате увеличения расходов обоих групп населения. Сокращение цены для молодёжных билетов сопровождалось ростом количества купленных билетов. Что в итоге привело к росту затрат на покупку билетов молодёжи города  на величину

 Δ₁ = 300000 – 281250 = 18750 монет.

Рост цен на билеты для взрослых, хотя и сопровождался сокращением количества покупок билетов, в конечном итоге дал также прирост денежных затрат этой группы населения на величину

Δ₁ = 400000 – 343750 = 26550 монет.

Решение задачи 3. Фактически здесь две задачи, поскольку необходимо определить, к чему приводит ограниченность мест в театре для двух разных ситуаций.

Задача 3.1. Случай единой цены для всех покупателей.

Согласно решению задачи 1, в этой ситуации без учёта ограниченности мест для зрителей цена билета установится на уровне 250 монет. При этом будет подано 2500 билетов, что на 500 билетов больше числа мест в театре.

Для определения цены билета, при которой будет продано заданное количество мест, необходимо воспользоваться обратной функцией спроса. Из приведенной в процессе решения задачи 1 прямой функции спроса D(P) следует, что обратная функция спроса имеет вид

D^-1(Q) = 500 – 0,1Q.

При рассматриваемом количестве мест

Q^{^}= 2000,

цена билета составит

D^-1(2000) = 300 монет.

Информация к размышлению: Какие потери несёт театр из-за ограниченности мест?

Это не праздный вопрос. Он может появиться в связи с поиском возможности расширения числа мест путём установки дополнительного ряда, приставных стульев или в результате аренды более вместительных помещений.

На первый взгляд, дополнительная выручка театра от каждого дополнительного места должна быть равна цене одного билета, то есть 300 монетам. Тогда ожидаемое увеличение выручки от дополнительных 500 мест оценивается величиной в 150 тыс. монет.

Увы, в приведенных рассуждениях упущен закон спроса. По цене 300 монет за билет будет продано 2000 билетов. Чтобы было продано 2500 билетов, необходимо иметь цену, согласно решению задачи 1, в 250 монет за билет. При такой цене доход от продажи 500 билетов составит всего 125 тыс. монет, что на 25 тыс. монет меньше, чем по приведенным выше расчётам.

Оказывается, и эти «уточнения» рассуждений ошибочные. Мы не учли, что доходы театра сократятся от продажи исходных 2000 билетов в результате снижения цены с 300 до 250 монет за билет. Это сокращение составит 100 тыс. монет, поэтому театр дополнительно получит не 125, а всего лишь 25 тыс. монет.

Это можно проверить и путём простых расчётов. Согласно решению задачи 1, выручка театра при продаже 2500 билетов по цене 250 монет за билет составит 625 тыс. монет. Согласно решению задачи 2, выручка театра при продаже 2000 билетов по цене 300 монет за билет составит 600 тыс. монет. Разница как раз и составит 25 тыс. монет. Таким образом, в среднем каждое дополнительное из 500 мест даст прирост выручки по 50 монет, что в пять раз меньше цены билета в этом случае.

При этом важно, что средняя эффективность дополнительных мест рассчитывается при условии их прироста именно по 500 мест. Если смотреть прирост выручки театра при увеличении количества мест только на одно, то получим другое значение – 100 монет.

Если рассматривать прирост в 10, 50, 100, 150 и т.д. мест, то удельный дополнительный доход театра в среднем от одного места будет сокращаться и дойдёт до величины 50 монет за место при приросте количества мест до 500.

Задача 3.2. случай разных цен для молодёжи и взрослых.

На первый взгляд и вроде вполне естественно может оказаться, что необходимо увеличить цену и тем самым сокращать число зрителей для той группы населения, у которой цены ниже. В нашем случае, исходные для анализа цены при отсутствии ограничения на число мест ниже у зрителей «молодёжной» группы.

Обратная функция спроса для молодёжной группы населения имеет следующее выражение

D₁^-1(Q₁) = 400 – (2/15)·Q₁.

Найденная в результате решения задачи 2 цена билета для молодёжи составит 200 монет. При этой цене будет куплено, как было установлено, 1,5 тыс. билетов. Чтобы молодёжных билетов купили на 500 меньше, необходимо в приведенную здесь обратную функцию спроса поставить значение

Q₁ = 1000.

Требуемая для достижения такого спроса цена составит величину

 P₁ = 267 монет,

(с определяющими в десятых долях) эта цена по прежнему меньше, чем цена билета для взрослых

P₁ = 400 монет,

полученной в результате решения задачи 2. Также с решением задачи 2 было установлено, что взрослых придёт при указанной цене

 Q₁ = 1000 чел.

В итоге получаем следующую величину выручки театра от продажи билетов

R = R₁+R₂ = 667 тыс. монет,

где

R₁ = P₁·Q₁ = 267 тыс. монет,
R₂ = P₂·Q₂ = 400 тыс. монет.

Но это не наилучшее решение. Наилучшим решением будут следующие цены на билеты для молодёжи и взрослых

P^¯₁= 250, P^¯₂= 450

или, согласно функции спроса, будут соответственно следующие объёмы продажи билетов

Q^¯₁= 1125, Q^¯₂= 875.

Выручка театра в таком случае составит

R¯= R¯₁+ R¯₂ = 675000 монет,

где объёмы выручки от продажи молодёжных билетов и от продажи билетов для взрослых составляют соответственно

R¯₁ = P¯₁·Q¯₁ = 281250 монет,
R¯₂ = P¯₂·Q¯₂ = 393750 монет.

Такое решение даёт увеличение выручки на 12 тыс. монет по сравнению с предыдущим, полученным на основании вроде очевидной истины.

Главное, что это – действительно самое наилучшее решение в данной ситуации. Это значение цен и количество зрителей являются решением задачи максимизации суммарной выручки театра

F(Q₁,Q₂) = Q₁·D₁^-1(Q₁) + Q₂·D₂^-1(Q₂) → max,

при условии, что суммарное число обоих типов зрителей ограничено

Q₁+ Q₂ = Q_Σ,

где Q_Σ – заданное количество посадочных мест в театре. В рассматриваемой задаче

Q_Σ = 2000.

Из ограничений задачи можно выразить одну переменную через другую. Например, можно воспользоваться выражением

Q₁ = Q_Σ–Q₂.

Подставим его в минимизируемую функцию и придём к задаче максимизации функции одной переменной

f(Q₂) = F(Q_Σ–Q₁, Q₂) → max.

Эта функция будет квадратично вогнутой. Приравняв её производные нулю, получим оптимальное значение Q^¯₂, затем из выражения Q₁ через Q_Σ можем определить Q^¯₂. Из обратной функции спроса определяем оптимальные цены на билеты для обеих групп населения

P^¯₁= D₁^-1(Q^¯₁), P^¯₂= D₂^-1(Q^¯₂).