4.1. Отметив, что число М=996 703 628 669  близко к 10¹² =(10⁴)³ , предположим, что  М=(10⁴-х)³ . Теперь, обозначив 10¹² –М = К, сопоставим К=3 296 371 331 с числом, которое вычитается из  10¹²  в формуле

(10⁴ – х)³=10¹²-3∙10⁸х+3∙10⁴ х²-х³

и которое близко к числу 3∙10⁸∙11. Непосредственная проверка гипотезы х=11 подтверждает нашу догадку. Значит, число М=(10⁴-11)³  = 9 989³.

Аналогично определяем, что число

Р = 1 011 443 374 872 =(10⁴+38)³  = 10 038³.

4.2. Подмечаем, что числа -8 и 4,  -6 и 2 располагаются на числовой оси симметрично относительно числа -2, поэтому, приняв х-2=у, мы сразу получим удобный для решения  вид уравнения 4-й степени – биквадратное:

(у²  -16)(у²-36)-2925=0.

Оно имеет два вещественных корня: у_1,2 =±9 или х₁= -7, х₂=11.

4.3. Сопоставление целой части заданного уравнения со знаменателем его дробной части даёт надежду выделить в её составе  квадрат знаменателя. Обозначим

3^х-4^х+2^х+1=у(*).

Возведём в квадрат обе части этого уравнения:

9^х+16^х +4^х+1-2 ∙12^х +4∙6^х  -4∙8^х  = у².

Произведя в заданном уравнении соответствующую замену, получим уравнение

у²-3(у-1)= 1/у  или у³ -3у²+3у-1=0, иначе (у-1)³=0, у=1.

Возвращаясь к (*), получим уравнение 3^х-4^х+2^х+1=1, 3^х=4^х-2 ∙2^х+1, (2^х-1)²=(√3^х)²,√3^х =│2^х-1│.

При 2^х-1≥0,  х≥0 и √3^х =2^х-1, (1/2)^х+(√3/2)^х=1, т.е. sin^х30˚+cos^х30˚=1 и х=2. Корень единственный, т.к. графики функций у=2^х и  у=√3^х+1 пересекаются только в одной точке.

При 2^х-1<0,  х<0, и √3^х =1-2^х..

Это уравнение  можно решить лишь приближённо. Графическое решение даёт корень х≈-1.

4.4. Пусть х и у – целые числа, тогда М=ху((х²-у²)=ху(х+у)(х-у). Если х и у делятся на 3, то и М кратно 3. Если же ни х, ни у не делятся на 3, то возможны четыре случая (m, n – натуральные числа):

1) х=3n+1, y=3m+1, тогда х-у делится на 3;
2) х=3n+1, y=3m+2, тогда х+у делится на 3;
3) х=3n+2, y=3m+1, тогда х+у делится на 3;
4) х=3n+2, y=3m+2, тогда х-у делится на 3.

В каждом случае какой-нибудь множитель числа М делится на 3, значит и М кратно 3.

4.5. Пусть искомое число -7k (k и n- натуральные числа), а набольшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 равно 60. Исходя из условия, при делении числа 7k на 60 в остатке также будет 1, значит, 7k=60n+1. Наименьшее из чисел вида 60n+1, кратных 7, получается при n=5, следовательно, искомое число 7k=60·5+1=301.