Об индийском математике Сринивасе Рамануджане

Книга «Порядки бесконечностей» английского математика Гарольда Харди произвела неизгладимое впечатление на молодого человека в далекой Индии. Юноше, хотя он и не имел высшего образования, удалось даже решить одну из задач по теории чисел, размещённой в названной книге, которую тогда никому, в том числе и самому автору, разрешить не удалось. После такого успеха юноша, преодолев свойственную ему застенчивость, решился всё же обратиться с письмом к маститому ученому.

Вот содержание этого письма, отправленного 16 января 1913 г. из индийского города Мадрас в Лондон: «Дорогой сэр, разрешите мне сказать о себе, что я чиновник бухгалтерии Мадрасского управления почт с окладом всего лишь 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около 23 лет. Я не имею университетского образования, но я окончил школу.
После школы я всё своё свободное время занимался математикой. Я не следовал регулярной системе обучения, по которой занимаются в университетах, а избрал свою дорогу.
Особенно усердно я занимался расходящимися рядами, и результаты, которые я получил, местные математики называют поразительными. Я прошу Вас просмотреть прилагаемые материалы.
Я беден и не могу их опубликовать, но если Вы найдете среди них что-нибудь ценное, то прошу Вас это опубликовать. Я не сообщаю Вам ни моих выкладок, ни полученных окончательных выражений, а только намечаю пути, по которым я шёл. Так как я очень неопытен, я буду высоко ценить любой совет, который Вы мне соблаговолите дать.
С просьбой извинить меня за доставленные хлопоты, я остаюсь, дорогой сэр, искренне Ваш……».

К письму автор приложил после тщательного отбора 120 наиболее важных из полученных им формул и теорем с интегралами, бесконечными рядами и непрерывными дробями.

Письмо из Индии было адресовано профессору Кембриджского университета достопочтенному сэру Харди – крупнейшему математику Англии.

Позже Харди вспоминал по поводу полученного им письма, что приведённые в нём результаты поставили его в тупик – он никогда не видел ничего подобного.

«Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса. Они должны быть верными, так как если бы они были неверны, то ни у кого не хватило бы воображения их изобрести», – вот такое заключение вынес первый математик Кембриджского университета по поводу полученных им формул.

Кем же был автор письма, содержание которого так изумило всемирно известного английского математика?

Автором оказался молодой человек по имени Сриниваса Рамануджан, родом из Индии, тогдашней колонии Великобритании, воспитанный в строгих традициях замкнутой касты брахманов.

Незаурядные математические способности мальчика проявились уже в школе: в 14 лет он познакомился с тригонометрией, самостоятельно выведя формулу Эйлера о синусе и косинусе, в 16 лет – с книгой Ш. Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», в которой было помещено 6165 теорем и формул практически без доказательств и пояснений. Юноша, не знавший высшей математики, погрузился в общение с этим сводом формул, в результате чего у него сложился определенный способ мышления и своеобразный стиль доказательств.

Переписка двух увлеченных математикой людей кончилась тем, что в марте 1914 г. Рамануджан по приглашению Харди отправился в Англию стажироваться в Кембриджском университете. Там он исключительно плодотворно работал со своим единственным учителем, опубликовав ряд оригинальных работ.

Но вскоре Сриниваса тяжело заболел и потому в 1918 г. он возвратился в Индию, где умер в апреле 1920 г. в возрасте 32-х лет.

Обширная сфера математических интересов Рамануджана включала такие проблемы, как магические квадраты, квадратура круга, гладкие числа, разбиение чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определенные интегралы, эллиптические и модульные функции. Рамануджан был профессором Тринити-колледжа и членом Королевского общества.

Два крупнейших математика Англии первой половины 20-го века Гарольд Харди и Джон Литлвуд – оба члены Королевского общества и профессора Кембриджского университета, известные своими совместными работами по теории чисел, тригонометрическим рядам и теории функций – дали самую высокую оценку математическим способностям и научным трудам Сринивасы Рамануджана.

Вот, например, что написал о нем в книге «Математическая смесь» Джон Литлвулд: «Наиболее ценными свидетельствами, которыми мы располагаем, являются письма и списки результатов, сообщенных им без доказательств, имеющиеся в собрании его сочинений.
Эти свидетельства заставляют предполагать, что его записные книжки дали бы ещё более определенную картину сущности его математического гения, и следует очень пожелать, чтобы проект их полного опубликования был в конце концов претворен в жизнь». Заметим, что записные книжки Раманужана полностью были изданы в Англии в 1957 г.

Далее Литлвуд продолжает: «Нельзя не удивляться глубине, разнообразию и силе таланта Раманужана. Вряд ли существует область формул, за исключением формул классической теории чисел, которую бы он не обогатил, и в которой он не открыл бы новые, совершенно не подозревавшиеся ранее возможности.
Красота его результатов, единственных в своем роде, совершенно поразительна. Не являются ли они даже более необычайными, чем специально подобранная коллекция уникумов?
Мораль, по-видимому, такова, что наша фантазия недостаточна; во всяком случае, читатель Раманужана постоянно переживает радостное изумление, и если он пожелает доказать какой-либо наугад взятый недоказанный результат, то - если он вообще будет в состоянии его доказать - он обнаружит по меньшей мере некоторую "изюминку", какой-то новый и неожиданный поворот».

Рамануджан, образно выражаясь, как одиночка–скалолаз самостоятельно вскарабкался на вершину математических знаний, и только в последние годы жизни мог творить в атмосфере содружества с английскими математиками.

Через год после смерти Рамануджана Харди писал: «Можно расходиться во мнениях относительно значимости работ Рамануджана, критериев, с которыми следует подходить к нему как математику, и влияния, которое он окажет на развитие математики.
Его работы не обладают той простотой и неизбежностью, которые характеризуют труды самых великих математиков; его результаты были бы значительней, если бы они не были столь необычными.
Они отличаются, однако, одной неоспоримой чертой – глубокой и неуязвимой оригинальностью. Он стал бы наверно более крупным математиком, если был бы обуздан в молодости. Он открыл бы, вероятно, больше новых фактов, и притом большей значимости.
С другой стороны, он был бы тогда в меньшей степени Рамануджаном и в большей степени европейским профессором, и трудно сказать, явилось бы это приобретением или потерей...».

А теперь обратимся к одной из задач, решенной Рамануджаном и изложенной им в своём первом письме к Харди.

Задача по непрерывными дробям выглядит следующим образом. Пусть две непрерывные дроби имеют вид согласно (1). Тогда справедливо равенство (2).

Алгоритм и результаты примера расчета по формулам (1) и (2) при десяти значениях числа x от 0,1 до 1 с шагом 0,1 представлены на рис. 1.

Критерием справедливости уравнения (2) является превращение его в тождество при любых значениях x или близость к нулю относительной ошибки при конечном числе членов в дробях выражения (1):

где А1 – левая часть уравнения (2), А2 – правая.

Анализ результатов, представленных на рис.1, показывает, что в большинстве случаев при учёте 10 членов в дробях (1) значение относительной ошибки Δ не превышает сотых долей процента. Однако и здесь при учёте большого числа членов в формулах (1) ошибка стремится к нулю.

Таким образом, на конкретном примере нам удалось подтвердить справедливость одной из формул Рамануджана.

Рис.1. Алгоритм, результаты примера расчёта по формулам (1) и (2)

В заключение приведём строки из любимой каждым образованным индусом поэмы «Ригведа» – первого из четырёх сборников древнейшего памятника древнеиндийской литературы на ведийском языке, написанных стихами и прозой ещё до возникновения буддизма:

В разные стороны текут наши мысли,
Различны бывают обеты людей:
Плотник хочет поломки, лекарь – увечья,
Брахман – желающего выжать сому.
Для Индры, о капля, растекайся вокруг!

Зададимся вопросом: чего желает математик? Решения всё новых и новых математических задач, с которыми до них никто не сумел справиться. Вот к числу таких людей, одержимых поиском математической истины, и относился Рамануджан – возможно, самый гениальный математик за всю историю Индии.

Задание

Попытайтесь проверить справедливость формул (1) и (2) при изменении значения x от 1 до 2 согласно алгоритму, приведённому на рис.1

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА