Если кто-то спросит «сколько поверхностей имеет бумажный лист писчей бумаги?», на задающего такой вопрос могут посмотреть с некоторым подозрением, ведь каждый здравомыслящий человек знает, что у такого листа две стороны – лицевая и оборотная.

Тем не менее, если два противоположных края бумажного листа соединить между собой, взаимно повернув их при этом на 180°, то вы получите удивительный результат: обыкновенный двусторонний плоский лист превратится в замкнутую одностороннюю поверхность – так называемый лист (ленту, петлю) Мёбиуса.

В уникальности этого, возможно на первый взгляд и не совсем «симпатичного» объекта, достаточно легко убедиться. Для этого нужно просто взять ручку или карандаш и, не отрывая стержня или грифеля от бумаги, провести продольную непрерывную линию до тех пор, пока она не достигнет исходной точки.

Затем, убедившись, что линия выполнена, например, на «верхней» стороне листа, посмотрите на его «нижнюю» сторону – линия будет и там, т.е. попасть из одной точки этого объекта в любую другую можно, не пересекая его края!

Иными словами, если двигаться вдоль по ленте Мёбиуса, не пересекая её границ, то, в отличие от двухсторонних поверхностей, например, сферы или цилиндра, можно попасть в исходное место, оказавшись в перевёрнутом положении по сравнению с первоначальным.

Этот поразительный эффект тесно связан с неориентируемостью ленты Мёбиуса: если отметить на ней небольшую окружность с фиксированным направлением обхода и двигать её вдоль ленты Мёбиуса, не пересекая границы, то можно придти к начальному положению так, что направление обхода окружности изменится на противоположное.

Таким образом, лента Мёбиуса – это топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство.

При этом в Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (хотя топологически они неразличимы).

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом (1790–1868) и Иоганном Бенедиктом Листингом (1808–1882) и рассмотрена ими в 1858–1865 годах.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества трёхмерного пространства является параметризация:

где 0 ≤ u < 2π и –1 ≤ ʋ < 1.

Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x–y с центром в точке (0, 0, 0). Параметр u движется вдоль ленты, в то время как параметр ʋ задаёт расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r, θ, z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Поскольку лента Мёбиуса ограничена всего лишь одной замкнутой линией, то при разрезании этой удивительной ленты по средней линии она не распадётся на две части, а вместо ожидаемых двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской лентой».

Если же после этого полученную «дважды закрученную» ленту разрезать вдоль посередине, то образуются две ленты, намотанные друг на друга.

Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна – более короткая лента Мёбиуса, а другая – длинная лента с двумя полуоборотами («афганская лента»).

Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них.

Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Существует заблуждение, что лента Мёбиуса стала основой символа бесконечности ∞. Однако это не так: символ ∞ стал использоваться для обозначения бесконечности ещё за два столетия до открытия ленты Мёбиуса.

Стилизованный лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг физико-математической тематики «Библиотечка „Квант“», а также основного элемента международных кодов переработки – специальных знаков, применяемых для обозначения материала, из которого изготовлен товар, а также упрощения процесса сортировки перед его отправкой на переработку для вторичного использования.

Взгляните на нижнюю либо тыльную часть практически любого пластмассового изделия, и вы в этом легко убедитесь.

Ещё одной односторонней поверхностью является бутылка Клейна – неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925).

Её название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

В отличие от обыкновенной бутылки, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась, т.е. у этого объекта нет «внутри» и «снаружи».

Бутылке Клейна даже посвящён один из шуточных лимериков* Джеймса Альберта Линдона (1914–1979):

Некто Клейн, не любивший вина,
Раз придумал бутылку без дна.
Восклицал он: «К тому же
Что внутри – в ней снаружи!
Даже пробка совсем не нужна!»

 Одними из первых, кто оценил удивительные свойства ленты Мёбиуса, стали инженеры и изобретатели, предложившие множество чрезвычайно эффективных технических решений.

Так, одной из первых промышленных разработок с использованием ленты Мёбиуса, стала ременная передача для передачи вращения между двумя валами, в том числе и расположенными под прямым углом друг к другу (патент Германии № 38782, 11 декабря 1885 г.).

Также были предложены шлифовальные ремни с поперечным сечением в виде правильных многоугольников (треугольника, квадрата, пяти-, шести- и т.д. «угольников»).

При изготовлении каждого из таких ремней концы заготовки перед соединением их в кольцо поворачивали на одну грань, тем самым в несколько раз увеличивая рабочую поверхность ремня.

Однако такие ремни имели существенный недостаток – с увеличением количества граней уменьшалась их ширина, а значит, и производительность шлифования. Поэтому следующим шагом в этом направлении стало изобретение «звёздчатого» шлифовального ремня (правда, традиционные шкивы при этом также пришлось несколько изменить).

Нашёл использование «мёбиус» и в приборостроении: выполнив подвижную шкалу прибора в виде ленты Мёбиуса (при этом стрелка-указатель оставалась неподвижной), инженеры вдвое увеличили длину шкалы, тем самым повысив точность отсчёта прибора.

В виде ленты Мёбиуса была изготовлена и ленточная пила (понятно, с режущими зубьями на «обоих краях» ленты).

Также были предложены ленточные фильтр и конвейер, магнитофонная лента, лента для пишущей машинки, бритвенное лезвие, рыхлитель для грунта, мешалка для жидкостей, игрушечная железная дорога, различные головоломки и даже женский шарф.

Существует легенда, согласно которой знаменитую ленту изобрёл вовсе не Август Фердинанд Мёбиус, а его несколько рассеянная горничная, которая однажды неправильно пришила воротничок рубашки своего хозяина. Возможно, это и правда. Но, тем не менее, удивительная поверхность вошла в историю именно под именем Мёбиуса.

* Лимерик – стихотворный жанр английского происхождения, пятистишие абсурдного содержания.

Источники информации
1. Лента Мёбиуса. Википедия.
2. Мёбиус, Август Фердинанд. Википедия.
3. Бутылка Клейна. Википедия.
4. Двадцать знаменитых неудачников // Секретные материалы 20 века. – 2014. – № 5 (379).

И.О. Микулёнок, доктор технических наук, профессор, КПИ им. Игоря Сикорского