Как случилось, что один из ведущих советских физиков академик Лев Давидович Ландау в разгар Великой отечественной войны занимался классической гидродинамикой, точнее, задачей о затопленной струе вязкой жидкости?

Как такое могло произойти в стране, в которой почти все (а может и все) работоспособные физики занимались вооружением или атомной бомбой? Не говоря о том, что классическая гидродинамика, насчитывающая уже около 200 лет, вовсе не была передним краем физической науки, чем полагалось бы заниматься ведущим ученым.

Надо заметить, что у Лева Давидовича уже были выдающиеся достижения самого высокого уровня. Это сверхтекучесть, за которую он получил Нобелевскую премию, и сверхпроводимость, – удивительные явления, имеющие место при сверхнизких температурах. Это, не учитывая 10-ти томного курса теоретической физики, который не потерял актуальности и сегодня за свою полноту, лаконичность и доходчивость.

Об оригинальности решения задачи о струе мы поговорим позже, но интересен сам факт занятий гидродинамикой в такое непростое время.

Ландау пришлось в полной мере испытать тяжесть сталинских репрессий. Целый год он провёл в лагерях. Лишь благодаря бесстрашному ходатайству другого выдающегося физика, Петра Леонидовича Капицы, любимого ученика отца атомной физики Эрнеста Резерфорда, его удалось спасти от печальной участи.

Заметим, что гидродинамикой в это время занимался не только Лев Давидович. Так, замечательный математик и механик Михаил Алексеевич Лаврентьев, будущий президент сибирского отделения АН СССР, занимался кумулятивными струями. Особенность этих струй в том, что при больших скоростях твёрдое тело при столкновении с другим таким же телом ведёт себя как жидкость, растекаясь по поверхности последнего.

Оставляя в стороне мысль о том, что любая физика интересна для настоящего учёного, попробую дать свою версию причины возникновения их «интереса» к классической гидродинамике.

Одна из важных проблем при создании атомной бомбы состоит в получении критической массы радиоактивного материала. То есть такой массы, в которой рождается достаточно нейтронов для того, чтобы началась цепная реакция распада ядер урана с выделением огромной энергии. Казалось бы, взять и перемешать две массы, близкие к критической, миксером. Но насколько это эффективно?

Для начала цепной реакции в течение достаточно короткого промежутка времени должны «соприкоснуться» большие поверхности радиоактивного вещества. Это необходимо для ускорения хода реакции, которая тем эффективнее, чем больше поверхность взаимодействия. При этом объём, где происходит реакция, должен оставаться достаточно малым.

Именно здесь могла возникнуть идея: направить одну из половин критической массы с большой скоростью на другую, неподвижную. Для того, чтобы рассчитать требуемую поверхность, как раз и нужно было решить задачу о затопленной струе с учётом кумулятивного эффекта. Этой проблемой и мог быть обусловлен интерес учёных. То есть исследования могли быть связаны с технической необходимостью, а не с чистой теорией.

А теперь, отвлекаясь от наших детективных исследований, коснёмся непосредственно задачи о затопленной струе.

Конечно, рассказать популярно о решении системы труднейших, несмотря на их возраст, уравнений физики без использования математического аппарата непросто, но сделаем такую попытку. И здесь потребуется только немного вашего внимания и усилий для усвоения, возможно, непривычных понятий.

Но поверьте, красота решения, данного Л.Д.Ландау, стоит того, чтобы уделить ему внимание. Для теоретического решения задачи физики часто формулируют её в виде дифференциальных уравнений с граничными условиями.

Первые успехи гидродинамики связаны с именем великого Леонарда Эйлера, который написал уравнения движения идеальной жидкости.

Это были уравнения для трех компонент поля скоростей жидкости v = (v_x, v_y, v_z), где v_x(x,y,z), v_y(x,y,z) и v_z(x,y,z) – компоненты скорости в точке (x,y,z). Следует также учесть уравнение неразрывности, которое в школьном варианте имеет вид: ρ·v·S = const, где ρ – плотность жидкости, v – скорость жидкости в сечении трубки площадью S.

Но указанные уравнения приводили к парадоксам. Разрешить их удалось, приняв во внимание вязкость – свойство, которым обладает реальная жидкость. Это сделали французский ученый Анри Навье (для несжимаемой жидкости – в 1822 г.), кстати, один из создателей современной теории упругости, и Джордж Стокс (в 1845 г. он обобщил уравнения Навье на сжимаемые жидкости).

Их усилиями и возникли уравнения движения вязкой жидкости, которым справедливо присвоили их имя, – уравнения Навье-Стокса. Прямо скажем, уравнения не из простых.

Перед тем, как перейти к сути задачи, скажем несколько слов о дифференциальных уравнениях вообще для тех, кому это в новинку. Решением такого уравнения, в отличие, например, от известного из школы квадратного уравнения, является не набор из двух чисел, а целая функция. Дифференциальными их называют потому, что рассматривается объект очень малых размеров и в малой области пространства, где все интересные для анализа величины, можно считать постоянными.

Уравнений Навье-Стокса четыре, как и уравнений Максвелла, но с одним существенным отличием, – они нелинейные. Эта маленькая добавка приводит к очень большим сложностям.

Неслучайно задача разрешимости уравнений Навье-Стокса вошла в 7 труднейших задач тысячелетия и за неё назначена немалая премия. Нелинейность играет не последнюю роль и в явлении турбулентности, которое тоже остаётся непонятым до настоящего времени, хотя проблеме уже почти 100 лет.

Обо всём этом мы говорим, чтобы подчеркнуть важную причину, почему, несмотря на длинную историю, точные решения уравнений Навье-Стокса можно пересчитать по пальцам. Каждое точное решение – событие. Так вот, одно из таких решений принадлежит Л.Д.Ландау, и ему будет посвящено наше дальнейшее повествование.

Существует несколько форм записи уравнений Навье-Стокса. Одна из них, – это форма Лагранжа. При этом рассматривается движение реальной частички жидкости достаточно малых размеров. Уравнения очень похожи на уравнения динамики Ньютона. Учтены только силы, действующие на частицу жидкости со всех сторон. У Ньютона тело или материальная точка тоже может двигаться в поле сил, но в сплошной среде точек, окружающих выбранную частицу жидкости, континууме.

Другую форму предложил Эйлер. Это полевой способ описания жидкой среды (о понятии поля в физике можно прочитать в статье в журнале «Страна знаний», №4 за 2017 г.). При этом рассматривают поле скоростей или давлений (напряжений), существующих в жидкой среде. Неизвестной функцией, которую надо найти, является скорость, точнее поле скоростей.

Но заметим, что есть и другая форма уравнений Навье-Стокса. Когда неизвестным является так называемый тензор потока импульса. Мы остановимся на этой форме уравнений, поскольку именно ею пользовался Л.Д.Ландау в своём решении.

Чтобы не усложнять, скажем, что уравнение в такой форме аналогично закону Ньютона в виде: скорость изменения импульса равна силе. Перед тем, как рассказать об уравнении Навье-Стокса в тензорном виде, объясним подробнее понятие «тензор».

Рассмотрим его на примере давления, которое в школе считают скалярным полем, то есть в каждой точке пространства давление описывается одним числом. В реальной жидкости, находящейся в поле, например, сил тяжести, сила, действующая на малую единичную площадку (а это и есть давление), будет зависеть от её ориентации в пространстве.

Таких независимых площадок, через которые можно выразить силу, действующую на произвольно расположенную площадку, всего три. Каждой из таких независимых площадок соответствует вектор силы (три числа), и поскольку площадок тоже три, то локальное силовое действие на произвольно ориентированную площадку будет зависеть от трёх векторов (или 9 чисел).

Совокупность таких 9 чисел в каждой точке пространства и составляют тензор давления (напряжений) 2 ранга (кто знает, это – матрица 3×3). Если чисел – 27, будет тензор 3 ранга и т.д.

В гидродинамике используют тензор потока импульса П_ik, где i и k пробегают значения 1, 2, 3. В него входят и описанный выше тензор давления, и тензор внешних сил.

Особо широко используется тензорный аппарат в теории тяготения (общей теории относительности) Альберта Эйнштейна, где тензоры описывают с одной стороны геометрию пространства-времени, с другой – энергию поля и вещества.

Чтобы написать уравнение Навье-Стокса в тензорном виде, введём специальное тензорное обозначение вектора: х_k. Обычная запись х = (х₁, х₂, х₃). Наше уравнение имеет очень простой вид (уравнения неразрывности для тензора П_ik):

 ∂П_ik / ∂х_k = 0.

 Словами это уравнение можно выразить так: изменение в пространстве тензора потока импульса равно нулю. Чтобы не очень пугать читателя, впервые сталкивающегося с такой записью, скажем только, что сложность скрыта в явном выражении самого тензора П_ik.

Своё решение Л.Д. Ландау получил, как мы упоминали, ещё в военные годы, и оно было опубликовано в его (вместе с Е.М.Лифшицем) книге «Механика сплошных сред» (1944 г.).

Подобную задачу решали и другие учёные. Например, автор солидной монографии по гидродинамике Лев Герасимович Лойцянский нашёл приближённое решение, которое качественно соответствовало решению Л.Д.Ландау, но занимало много страниц.

Перейдём к самому решению, и дальше постараемся обойтись без формул. Итак, перед нами задача: из погружённой в воду трубы бьёт струя воды и требуется найти поле скоростей воды в окружающем трубу пространстве.

Ландау рассмотрел простой вариант осесимметричной струи, когда поле скоростей не меняется при повороте трубы вокруг её оси на произвольный угол. Кроме того, он предполагал, что труба имеет очень малый диаметр (идеализация, имеющая определённый смысл). Это случай так называемой автомодельной задачи.

Как же Лев Герасимович решал эту задачу?

Первое, что он сделал, это предположил, учитывая осевую симметрию задачи, что все компоненты тензора, а их 9, равны нулю, кроме одной. Следующим шагом, он написал совсем неочевидное, хотя и легко проверяемое, соотношение для этой отличной от нуля компоненты. А уже отсюда получил совсем простое обыкновенное дифференциальное уравнение.

Его называют уравнением Бернулли. Оно имеет очень простое решение, известное из школы как закон сохранения энергии небольшого объёма жидкости.

Заметим, что, при решении уравнения Навье-Стокса стандартным способом (достаточно громоздким и непростым), приходят к другому, гораздо более сложному обыкновенному дифференциальному нелинейному уравнению Риккати, решение которого в общем случае не выражается через элементарные функции. Уравнение Бернулли есть очень простой частный случай уравнения Риккати.

Так вот, у Ландау решение получилось как фокус, сразу и просто, минуя длинные и сложные вычисления. Интересно, что немного позднее, известный специалист в области теории турбулентности Михаил Александрович Гольдштик, показал, что решение Л.Д. Ландау не просто самое простое, но ещё и единственно возможное в условиях поставленной задачи.

То есть, уравнение Риккати в задаче Л.Д. Ландау всегда упрощается до уравнения Бернулли. Интересно то, что многие учёные, решая разные случаи уравнения Риккати, получили множество решений, не имеющих в действительности физического смысла.

Вот такая интересная история струи воды. Как Л.Д.Ландау до всего этого додумался, остаётся загадкой. Сама работа, где изложено решение, выглядит каким-то фокусом, наглядным, но непостижимым.

Теперь о физическом смысле полученного решения, которое записывали в виде функции тока. Что такое функция тока? Это аналог силовой линии электрического поля. То есть эта функция описывает линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости жидкости.

Полученная Л.Д.Ландау функция тока давала линии, которые вблизи устья, откуда вытекала вода, немного приближались к оси трубы, а дальше располагались на поверхности очень медленно расширяющегося от оси конуса. Картина линий тока, взятая из упомянутой книги Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, приведена на рисунке. Такой режим течения называют «сомкнутым».

Кроме этого, решение Л.Д. Ландау обладало рядом особенностей. Одно из них – решение годится только для очень вязких сред и не содержит перехода к идеальной жидкости, что достаточно странно. Обычно в предельном случае должна работать теория идеальной жидкости, так же, как предельным случаем ускоренного движения является равномерное движение.

Другое странное ограничение состоит в равенстве нулю потока жидкости, бьющей из отверстия. Точнее, источник каким-то образом сообщает среде лишь импульс, а масса струи формируется за счёт притекания к оси окрестной жидкости.

Казалось бы, следует поставить точку в нашем повествовании, но здесь есть ещё кое-что интересное. Что же это за «сомкнутый» режим течения? Насколько он отвечает реальному течению воды, вытекающей из трубы?

Прежде всего, трудно понять, каким образом при нулевом расходе жидкости из трубы вообще возникает какое-то движение окружающей трубу воды. Если опираться на здравый смысл, следовало бы рассуждать так. Вода, вытекающая из устья трубы, даже если расход очень большой, встречая лежащие впереди слои воды, должна растекаться в стороны. То есть струя должна была бы расширяться. Но такого решение Л.Д. Ландау не даёт.

Может причина в автомодельности, то есть, связана с пренебрежимо малым диаметром трубы? На этот вопрос ответил близкий друг Л.Д. Ландау, профессор Юрий Борисович Румер, с которым они стажировались в Геттингене. Он обобщил описанное решение на трубу конечного радиуса. Но полученное им решение всё равно описывало сомкнутый режим течения.

Парадокс, связанный с точным решением, сохранялся. Так что же, надо сомневаться в правильности точного решения уравнения? Но известные многочисленные аналитические и численные решения уравнений Навье-Стокса подтверждались экспериментом и не давали повода для сомнений в их достоверности.

В чём разгадка парадокса? Юные исследователи могут задуматься над качественным его решением, а мы на этом остановимся, оставляя место для не менее интересного продолжения.

А.М. Пальти, доцент, кафедра общей и теоретической физики Физико-математического факультета Национального технического университета «КПИ» им. И.Сикорского