![Среди средних. Научно-популярный журнал для юношества «Страна знаний» №7, 2017 Среди средних. Научно-популярный журнал для юношества «Страна знаний» №7, 2017](/images/201707ru/average.jpg)
… всякая наука успешно совершает своё дело, стремясь к середине
Аристотель. Никомахова этика
и к ней ведя свои результаты, откуда обычай говорить о делах,
выполненных в совершенстве, «ни убавить, ни прибавить»,
имея в виду, что избыток и нехватка гибельны для совершенства,
а обладание серединой благотворно.
Вступление
![]() бельгийский математик, астроном, метеоролог, социолог. Один из родоначальников научной статистики Изучая в школе математику и физику, учащиеся время от времени «натыкаются» на понятия «средних величин». Систематическое изучение средних величин в школьном курсе математики не проводится. Они используются лишь для формулировки некоторых задач на доказательство неравенств [1,2]. В то же время эта тема содержит в себе ряд занимательных и поучительных фактов, которые могут быть компактно изложены в рамках элементарной математики. Представляется, что такое изложение может продемонстрировать школьнику хороший пример введения математиками абстрактных понятий, их развития и применения на практике. Отметим попутно, что интерес к изучению средних величин проявляли многие отнюдь не средние учёные — от Пифагора и Аристотеля до О.-Л. Коши и А. Н. Колмогорова. Начало применению средних величин в количественном анализе общественных явлений положено выдающимся бельгийским учёным XIX века Адольфом Кетле. |
Часть 1. Меж двух огней
Богам, на Олимпе живущим,
любезна всегда середина
Эсхил. Эвмениды
Средняя арифметическая — любимица миллионов
Впервые о «средних» мы узнаём в детстве. Середина реки, среда (середина недели — если считать по-библейски, от воскресенья до субботы) и т.п. Во всех этих случаях интуитивно под серединой понимается точка в пространстве или во времени, равноудалённая от двух других точек, представляющих начало и конец чего-либо.
Что является математической моделью такого рода средних величин? Их интуитивному введению соответствуют постановка и решение следующей математической задачи. Имеется пара чисел a и b (b>a). Требуется найти третье число c, «равноудалённое» от a и b, т.е. такое, при котором c—a = b—c.
Историки науки утверждают, что именно так вводится понятие средней величины в трудах великого древнегреческого учёного Аристотеля (IV век до н.э.). Ясно, что решением этой задачи является .
Это — знакомая по школьному курсу математики средняя арифметическая двух чисел a и b. Правда, в школе эта величина вводится формально, «по определению» — «средней арифметической двух чисел называется полусумма этих чисел» — без разъяснения «физического смысла».
Средняя арифметическая и с понятийной, и с математической точек зрения является настолько естественной, что у школьника создаётся впечатление, будто другого представления о средней величине и быть не может. И что «арифметическая» — ненужный словесный довесок.
Средняя геометрическая — любимица Галилея
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
А. С. Пушкин. Движение
Однако ж прав упрямый Галилей.
Первый удар по, казалось бы, «единственной и неповторимой» средней арифметической наносит геометрия.
Высота h прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, больше меньшего (ha) и меньше большего (hb) из отрезков, на которые делит гипотенузу основание этой высоты. Формула для вычисления высоты имеет вид .
«Под впечатлением» от этой формулы величина названа средней геометрической чисел a и b (в отличие от средней арифметической, средняя геометрическая вводится только для положительных чисел).
Оказывается, средняя геометрическая имеет и негеометрическую интерпретацию. Если (как показано в предыдущем пункте) средняя арифметическая обеспечивает равенство отклонений, то к средней геометрической приводит равенство отношений.
Зададимся целью найти число cg, которое относится к a (меньшему из двух чисел) так же, как b (большее из чисел) относится к cg. Соответствующее уравнение (относительно ) имеет вид: . Его решением и является средняя геометрическая чисел a и b.
Какая же из двух упомянутых средних «более средняя» — арифметическая или геометрическая? Иными словами, какую из них следует использовать на практике?
Это зависит от целей, для которых используется средняя. В большинстве практических случаев более подходящей является первая модель, а значит средняя арифметическая является «более средней». Но не всегда!
В 1627 году имел место документально зафиксированный спор между самим Галилеем и неким монахом Ноццолино. Предмет спора заключался в следующем: «если лошадь оценена двумя оценщиками в 10 и 1000 единиц, то какую среднюю следует предпочесть в качестве величины, представляющей её действительную цену?
Среднюю арифметическую, как считал Ноццолино или среднюю геометрическую, которую предпочитал Галилей?» [3]. Много позже (в XIX веке) знаменитый математик и астроном Зайдель разрешил этот спор, доказав на основании так называемого психофизического закона Вебера-Фехнера, что «в случае, если оценка основывается исключительно на наших восприятиях, правильно применять среднюю геометрическую, а не среднюю арифметическую» [3]. То есть Галилей и тут не ошибся!
В поисках гармонии
О существовании ещё двух видов средних — средней квадратической и средней гармонической — школьники узнают при решении всё тех же задач на доказательство неравенств. Эти средние вводятся в рассмотрение формально.
Первая из них вычисляется по формуле , и активно применяется в общей [4] и математической [5] статистике. А вот вторая имеет ряд интересных содержательных интерпретаций, одна из которых приводится ниже.
Определение: средней гармонической двух чисел a и b, таких, что a≠0, b≠0 и , называется третье число ch, вычисляемое по формуле:
.
Рассмотрим задачу определения средней скорости движения автомобиля на пути от пункта А до пункта В и обратно, если путь от пункта А до пункта B он ехал со скоростью v1, а обратный путь от B до A — со скоростью v2. Вспоминаем из начального курса физики, что средняя скорость — это весь путь делённый на всё время пути.
Обозначим расстояние между пунктами через s. Тогда средняя скорость вычисляется по формуле . Так вот что такое средняя скорость — это и есть средняя гармоническая скоростей движений «туда» и «обратно».
Интересно, что все упомянутые средние оказываются «одного поля ягодами»! Для положительных чисел и введём в рассмотрение понятие средней s-го порядка (средневзвешенной s-й степени): .
Ясно, что M1(a,b) – средняя арифметическая чисел a и b, M2(a,b) – средняя квадратическая, M-1(a,b) – средняя гармоническая. Но самое интересное, что M0(a,b) – это средняя геометрическая чисел a и b!
Правда, здесь подразумевается применение операции предельного перехода, т.е. . «Голыми руками» такой предел «не берётся», т.к. имеет место неопределённость вида . Однако, она легко преобразуется в неопределённость вида 1∞, которая устраняется с помощью всемогущего правила Лопиталя.
Только для «крутых», т.е. студентов-первокурсников! Делается это следующим образом: . Но
,
. Это уже неопределённость типа 0/0, а раз так — «выкатываем» правило Лопиталя [6].
Последний предел равен отношению пределов производных, т.е. . Таким образом,
.
Оказывается, что параметр s выстраивает средние в определённом порядке. Имеет место замечательная лемма Йенсена, а именно: Ms как функция от s при a=b постоянна, а при a1≠a2 строго монотонно возрастает, т.е. при s1<s2
Доказательство этой леммы относительно несложно. Те, кто хочет с ним ознакомиться, могут обратиться, например, к «Выпуклым множествам» К. Лейхтвейса [7]. Из леммы Йенсена непосредственно вытекает справедливость популярных неравенств между средней арифметической, геометрической, квадратической и т.п. [1,2].
Ещё один генератор средних величин
Вернёмся к задаче о средней гармонической. Обратим внимание на то, что если бы автомобиль ехал весь свой путь (туда и обратно) со средней гармонической скоростью , то затратил бы на прохождение пути то же самое время. В самом деле,
.
Размышления над установленным свойством средней гармонической приводит к полезному понятию «численного соответствия».
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x1, x2). Число c называется численным соответствием чисел x1, x2 по отношению к функции f, если f(c, c) = f(x1, x2) .
Интуитивно числовое соответствие не противоречит понятию средней величины. Фактически же, если функция f не является слишком «экзотической», то имеет место неравенство min(x1, x2) ≤ c ≤ max(x1, x2), т.е. c является средней для чисел x1, x2.
Покажем, как с помощью численного соответствия можно построить уже известные нам средние величины.
1. Пусть f(x1,x2)=x1+x2. Найдём численное соответствие для данной функции. Для этого достаточно решить уравнение, вытекающие из определения числового соответствия: f(c,c)=c+c=x1+x2. Решив этого уравнение, находим: . Таким образом, среднее арифметическое является численным соответствием суммы двух чисел.
2. Пусть f(x1,x2)=x1·x2. Для численного соответствия составляем уравнение: f(c,c)=c·c=x1·x2, откуда . Таким образом, среднее геометрическое является числовым соответствием произведения двух чисел.
3. Точно также устанавливается, что средняя гармоническая является численным соответствием функции , а средняя квадратическая — числовым соответствием функции f(x1,x2)=x12+x22.
Раз уж мы разрекламировали возможность генерирования средних величин с помощью принципа численного соответствия, то почему бы нам, действуя по аналогии с приведенными примерами, не попробовать «соорудить» что-нибудь новенькое в этом жанре?
Рассмотрим, например, функцию . Для численного соответствия получим уравнение:
, откуда
. Вот вам и новая средняя — осталось только придумать для неё название!
Заключение
Смотри, Мелитона, держись среднего тона:
Старец Амвросий Оптинский. Из наставлений монахине Мелтоне
возьмешь высоко, будет нелегко,
возьмешь низко, будет склизко;
а ты, Мелитона, держись среднего тона
Подведём некоторые итоги. Мы теперь знаем, что средняя величина двух чисел — это что-то «промежуточное» между этими числами, причём совсем не обязательно, чтобы это было среднее арифметическое. При построении средних величин можно использовать как формальные, так и некоторые содержательные соображения, например:
- «балансировки», когда среднее должно «сбалансировано» отличаться от «осредняемых» чисел;
- «численного соответствия», когда подстановка средней в некоторую формулу в качестве значений каждой из переменных приводит к тому же значению, что и подстановка «осредняемых» величин, т.е.
.
Различия в понимании того, что такое «сбалансированность», а так же возможность варьирования функции f, являются теми развилками, отправляясь от которых можно строить различные формулы для получения средних величин.
Теперь — стоп! Дальше — для читателей-героев, дочитавших до этого места. У таких подвижников вполне может возникнуть естественный вопрос: а как быть со средними не двух величин, а большего их количества? Ведь тут никакие пропорции не помогут. Но математики с этим вопросом все-таки разобрались! О том, что у них получилось — читайте во второй части статьи, которая будет опубликована в следующем номере нашего журнала.
Литература
Бывают в этой жизни миги,
Игорь Иртеньев
Когда накатит благодать,
И тут берутся в руки книги
И начинаются читать.
1. И. Х. Сивашинский. Неравенства в задачах. — М.: «Наука», 1967. — 302 с.
2. И. С. Слонимский. Элементарная алгебра. Дополнительный курс. — М.: «Наука». — 1964. — с.133-136.
3. К. Джини. Средние величины. — М.: «Статистика» — 1970. — 448 c.
4. И. С. Пасхавер. Средние величины в статистике. — М.: «Статистика».– 1979. — 279 с.
5. Г. Кимбл. Как правильно пользоваться статистикой. — М.: «Финансы и статистика». — 1982. — 294 с.
6. Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — с. 130-131.
7. К. Лейхтвейс. Выпуклые множества. — М.: «Наука». — 1985. — с. 250-251.
Б.Г. Тучинский, средний математик, кстати — доктор философии (PhD) по специальности «прикладная математика для экономики», старший научный сотрудник Института возобновляемой энергетики НАН Украины