22 августа 1876 г. виднейший русский востоковед Николай Владимирович Ханыков из городка Рамбуйе́, лежащего в 50 км к юго-западу от Парижа, где он проживал последние годы, отправил письмо своему другу — главе Петербургской математической школы, академику Пафнутию Львовичу Чебышёву.

Письмо (оно опубликовано в пятом томе собрания сочинений П.Л.Чебышёва и потому не представляет тайны) начиналось фразой: «Долго и часто думал я, Пафнутий Львович, после Вашего обязательного (любезного – ред.) посещения меня в Рамбуйе о третьей задаче Вашей жизни, которую Вы собираетесь разрешить так же успешно, как разрешили первые две…»

Но прежде чем говорить об этой задаче великого русского математика XIX века П.Л. Чебышёва, рассмотрим одну из успешно им разрешённых математических задач.

В теории оптимального проектирования и радиотехнике часто используются понятия и объекты, связанные с именем Чебышёва и ставшие нарицательными. В качестве примера можно привести такое название как «чебышёвский фильтр» или синтез устройств согласно чебышёвскому полиному.

Что все это означает? И как имя русского математика так прочно вошло в научные дисциплины спустя десятки лет после его смерти?

Ответ на поставленный вопрос заключается в том, что оптимальное проектирование многих радиоэлектронных и иных устройств проводится на основе теории наилучших приближений, разработанной математиком Чебышёвым ещё в середине прошлого века. Вот что значит фундаментальная наука математика, умеющая опередить ход развития техники и позволяющая дать ключ к решению проблем будущего.

Чтобы перекинуть «мост» от теории Чебышёва к техническому расчёту на компьютере такого устройства, как фильтр, повсеместно используемого в радиотехнике, разберёмся сначала в сути проблемы, на первый взгляд, весьма отвлечённой.

Пусть задан класс функций в форме полинома:

Спрашивается, какая функция среди них уклоняется менее всего от нулевого значения в пределах изменения аргумента х от –а до +а? Произведя нормирование функции по аргументу х, можно задать пределы: от х = –1 до х = 1.

Чебышёв первым нашел такую функцию:

где T_n (x) называется полиномом Чебышёва 1-го рода n-го порядка.

Значения этого полинома при нескольких значениях n приведены в Табл. 1.

Таблица 1

Полином Чебышёва может быть найден согласно следующему рекуррентному соотношению:

Внутри интервала –1≤х≤1 полином T_n(x) наименее уклоняется от нуля по сравнению с любым полиномом степени n, имеющим тот же коэффициент при старшем члене. Величина этого отклонения для функции Z(x) (2) составляет:

Сказанное подтверждается с помощью графика функции Z(x) (2) при n = 7, построенного при 1≤х≤1 на рис.1.

Внутри данного интервала полином Чебышёва может быть свёрнут и представлен в таком виде:

T_n(x)=cos(n·arccos(x)) при –1≤х≤1. (5)

После такого математического отступления обратимся к радиотехнике. Фильтр является одним из наиболее часто используемых элементов в радиоэлектронных устройствах. Его назначение состоит в том, чтобы пропускать сигналы в одной или нескольких полосах частот и задерживать в других.

В каждом телевизоре и радиоприемнике используются в большом количестве самые разнообразные фильтры. Только с помощью фильтров можно настроиться на выбранный телевизионный или радиовещательный канал приема.

Оптимальное проектирование таких фильтров с получением наилучших параметров и характеристик осуществляется с использованием полинома Чебышёва, благодаря которому можно так рассчитать фильтр, чтобы он вносил минимальное затухание в определённой полосе пропускания и максимальное — вне её, т.е. наилучшим образом справлялся со своей функцией — фильтрацией сигнала.

Частотная характеристика такого оптимального фильтра, спроектированного по Чебышёву, определяется следующей зависимостью для затухания в децибелах (дБ):

где х — нормированное значение частоты; e<1 — амплитудный множитель; T_n(x) — полином Чебышёва n-й степени; n — определяет число звеньев фильтра.

Частотная характеристика затухания, определённая согласно (6) при n = 7, полосового фильтра, беспрепятственно пропускающего сигнал в полосе частот –1≤x≤1 и задерживающего его слева и справа от этой полосы (пример на рис. 2). Т.е. при х < –1 и х > 1, где х = Δf / f₀ — относительное отклонение частоты сигнала Δf относительно центрального значения частоты f₀.

На рис.2 построены два графика характеристики полосового фильтра — в узкой и широкой полосах частот.

В заключение вернёмся к письму из Франции, адресованному Пафнутию Львовичу. Дело в том, что Чебышёв был не только математиком с мировым именем, состоящим в тесном контакте с ведущими европейскими учёными, членом ряда европейских академий (Берлина, Парижа, Лондона, Италии и Швеции), участником многих научных конгрессов, но и удачливым предпринимателем. После реформы 1861 г. он занялся бизнесом, что было необычно для учёных, не желавших заниматься ничем, кроме науки.

Чебышёв разрушил этот стереотип, занявшись прибыльным, хотя и рискованным бизнесом: скупкой имений разорившихся после реформы 1861 г. дворян и сдачей их в аренду. (Почти как в «Вишневом саде» А.П. Чехова, только там подобным бизнесом занялся безграмотный мужик — бывший крепостной Ермолай Лопахин).

В результате Чебышёв стал богатым человеком, полностью независимым от государства и потому способным заниматься научными проблемами по собственному выбору. В этом и состояла третья жизненная задача Чебышёва: в обретении им независимости, к чему он призывал и других учёных. Бизнес не помешал крупному учёному, видному математику заниматься математикой и изобретательством до последних дней его жизни.

Задание. Рассчитайте согласно (6) характеристику затухания полосового фильтра при n=5, постройте её график и сравните его с характеристикой фильтра, построенной на рис.2.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА