Александр Михайлович Ляпунов родился в Ярославле в семье известного астронома Михаила Васильевича Ляпунова. Незадолго до рождения сына отец оставил научную деятельность в обсерватории Казанского университета после столкновений с реакционной администрацией университета, установившей полицейский казарменный режим после освобождения Николая Ивановича Лобачевского от должности ректора.

В 1864 году отец совсем оставил службу и поселился с семьёй в имении жены в Симбирской губернии, где посвятил себя обучению двоих старших сыновей – Александра и Сергея.

После внезапной смерти отца обучение продолжалось в семье дяди Рафаила Михайловича Сеченова (брат знаменитого физиолога Ивана Михайловича Сеченова), где Александр готовился по предметам гимназического курса и языкам.

В 1870 г. Александр Михайлович вместе с матерью и братьями переехал в Нижний Новгород, где был принят сразу в третий класс гимназии.

В старших классах у Александра появилось стремление к точным наукам, которым он уделял много внимания. Окончив гимназию в 1876 г. с золотой медалью, он поступил на естественное отделение физико-математического факультета Петербургского университета, где слушал лекции по химии профессора Дмитрия Ивановича Менделеева.

Вскоре он понял, что имеет большую склонность к математическим наукам, и уже через месяц перешёл на математическое отделение университета, где профессорами в то время были Пафнутий Львович Чебышев и его ученики Александр Николаевич Коркин и Егор Иванович Золотарёв, но продолжал посещать лекции Д.И. Менделеева.

Будучи студентом четвертого курса, Ляпунов получил золотую медаль за написанную им работу на предложенную факультетом тему по гидростатике. На основании этой работы он написал и опубликовал свои две первые научные статьи.

Первую из этих работ Александр Михайлович впоследствии защитил как диссертацию на учёную степень кандидата математических наук, его оставили при университете для подготовки к профессорскому званию.

В 1882 г. он успешно сдал магистерские экзамены и начал работать над другой диссертацией, тему которой ему предложил знаменитый П.Л. Чебышев – исследование эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости.

Ляпунов работал над поставленной задачей в течение двух лет, но, как он писал: «После нескольких неудачных попыток я должен был отложить решение вопроса на неопределённое время. Но вопрос этот навёл меня на другой, именно на вопрос об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия, который и составил предмет моей магистерской диссертации».

Эта первая большая работа «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» сразу обратила на себя внимание математиков, механиков, физиков и астрономов во всём мире.

В 1885 г. он блестяще защитил в Петербургском университете эту работу в качестве диссертации на степень магистра прикладной математики. В том же году он был утверждён в звании приват-доцента и получил предложение занять кафедру механики в Харьковском университете.

О прекрасных лекциях А.М. Ляпунова в Харьковском университете можно судить по словам его ученика академика Владимира Андреевича Стеклова: «Силой своего таланта, волшебству которого в большинстве случаев неосознанно поддаётся молодежь, Александр Михайлович, сам не зная того, покорил за один час враждебно настроенную аудиторию. С первого же дня Александр Михайлович занял особое место в глазах студентов: к нему стали относиться с исключительным уважением. Большинство, которым не были чужими интересы науки, стали напрягать все силы, чтобы хоть немного приблизиться к той высоте, к которой вёл Александр Михайлович своих слушателей».

В Харьковском университете Александр Михайлович читал различные общие и специальные курсы теоретической механики, интегрирования дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Эти курсы не были опубликованы и остались в литографированном виде.

По механике А.М. Ляпунов прочитал шесть курсов: кинематику, динамику материальной точки, динамику систем материальных точек, теорию притяжения, теорию деформированных тел и гидростатику. Кроме Харьковского университета, Александр Михайлович читал аналитическую механику в Харьковском технологическом институте (1887–1893).

Начиная с 1888 г. Александр Михайлович опубликовал ряд работ, посвящённых устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы. В 1892 г. он защитил на эту тему докторскую диссертацию. К харьковскому периоду его жизни относятся исследования по теории потенциала и по движению твёрдого тела в жидкости, которые тесно переплетаются с исследованиями его ученика, а в дальнейшем соратника В.А. Стеклова.

С 1899 по 1902 гг. А.М. Ляпунов состоял председателем Харьковского математического общества и редактором его «Сообщений». Работы этого периода посвящены главным образом теории потенциала и теории вероятностей. Занятие теорией вероятностей было лишь кратким эпизодом в научной работе Ляпунова, тем не менее, и в этой области он добился результатов фундаментального значения.

Им дано доказательство, в весьма широких условиях, центральной предельной теоремы, высказанной, но не доказанной полностью П.Л. Чебышевым; применённый в этом доказательстве метод является ныне одним из основных в теории вероятностей.

В 1900 г. Александр Михайлович был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в 1901 г. – ординарным академиком по кафедре прикладной математики, остававшейся вакантной в течение семи лет после смерти П.Л. Чебышева.

В 1902 г. Ляпунов переехал в Петербург и целиком отдался научной работе – исследованию фигур небесных тел, т.е. исследованию форм равновесия равномерно вращающейся жидкости. Этими исследованиями он вписал славную страницу в историю мировой науки и показал ошибочность ряда результатов первоклассных зарубежных учёных.

А.М. Ляпунов обессмертил свое имя главным образом благодаря созданию целой науки об устойчивости и равновесии механических систем. Проблема устойчивости движения принадлежит к категории наиболее важных задач естествознания. Её исследовали многие выдающиеся учёные от Ж. Лагранжа до А. Пуанкаре, причём эта область науки активно разрабатывается и в наше время.

В своей знаменитой докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892 р.) А.М. Ляпунов первым предложил новые общие строгие методы решения задач об устойчивости движения, получил важные по своим применениям критерии устойчивости решений.

Александр Михайлович сделал важный вклад в теорию вероятностей, где разработал оригинальный и чрезвычайно плодотворный метод характеристических функций, который широко используется в современной науке. Большое значение имеют исследования учёного по теории потенциала, которые открыли новые пути для развития методов математической физики.

Учёный предъявлял к себе настолько высокие требования, что многократно отказывался от получения докторской степени, хотя многие из его работ были для этого вполне достаточны.

Как большинство великих людей, он отличался большой трудоспособностью. Вопросами математики мог заниматься круглосуточно, забывая о сне и пище. Когда учёный чем-то увлекался, а это с ним бывало довольно часто, он становился чрезвычайно замкнутым и рассеянным.

Его круг знакомств был весьма ограниченным. Внешняя суровость Ляпунова была следствием огромного творческого напряжения. Хотя на самом деле за внешней сухостью скрывался большой темперамент и чистая душа.

Научные заслуги А.М. Ляпунова были признаны во всём мире: он состоял почётным членом Петербургского, Харьковского и Казанского университетов, почётным членом Харьковского математического общества, иностранным членом Академии в Риме, членом-корреспондентом Парижской академии наук.

«Работы Ляпунова настолько глубокие, что их нельзя ни просмотреть, ни быстро прочитать – их надо изучать» (П. Аппель).

Н.В. Шмигевский, кандидат физико-математических наук