Такой школьной задаче, конечно, не стоило бы уделять столько внимания, если бы не поучительный метод её решения, а главное – некоторые мысли, связанные с физикой и косвенными измерениями, которые возникают при этом.

Решение алгебраических уравнений, а именно о них дальше пойдёт речь, уходит корнями в древний Вавилон и Египет. Клинописным текстам с решениями таких уравнений не меньше 4000 лет. Задачи, которые приводили к решению таких уравнений, возникали в связи с потребностью определения площади земельных участков, проведения земляных работ военного характера, а также в связи с астрономическими расчётами.

Одно из таких уравнений, обнаруженное в клинописных текстах, в современных обозначениях имеет вид: х² + х = 3/4. С помощью особых таблиц решали даже некоторые уравнения 3-й степени. Но в этих текстах приводили только рецепт решения.

Простейшие уравнения вавилонские писцы решали на основе здравого смысла. Вопрос о том, почему следует действовать именно так, оставался открытым. Видимо, причина в секретности, которой окутывали тайну решения уравнений её обладатели, часто приближённые к правителю жрецы. Простые пользователи решали по правилам, которые выдавали посвящённые: делай как я.

Иначе подходили к вопросу решения уравнений в древней Греции. Появилось непременное требование – объяснять решение. Почему решать надо именно так, каковы доказательства правильности решения?

В Греции того времени геометрия считалась наукой всех наук. И в методах решения уравнений использовали идеи геометрии. Так квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Выдающийся древнегреческий учёный Евклид (III век до н.э.), автор первого из дошедших до нас трактатов по математике, посвятил геометрической алгебре в своих «Началах» целую вторую книгу, где приведены сведения о квадратных уравнениях.

«Начала» (в латинской форме – «Элементы») содержат планиметрию, стереометрию, вопросы теории чисел, подведен итог трудам предшественников. «Начала» стали фундаментом дальнейшего развития математики.

Греческий математик и инженер Герон Александрийский (I век н.э.) первым дал чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения. Известно, что он занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой, изобрёл паровой двигатель. Пользовались популярностью его автоматизированный театр и фонтаны.

Он дал описание работы рычага, блока, винта, военных машин, сформулировал законы отражения света, способы измерения важнейших геометрических фигур. Герон опирался на труды Евклида, Архимеда, Стратона и других знаменитых учёных. Повышенный интерес к его работам начался в III в. н.э. Греческие, а позже византийские и арабские учёные комментировали и переводили его произведения.

Греческий учёный III века н.э. Диофант уже решал чисто алгебраически некоторые квадратные уравнения и даже системы уравнений со многими неизвестными в рациональных числах, не прибегая к геометрии. Причём само уравнение и его решение записывал в символической форме, применяя буквы для обозначения неизвестных.

Большой вклад в становление алгебры сделал узбекский математик и астроном Мухаммед аль Хорезмиль Хорезми (IX век). Он написал трактат: «Книга о восстановлении (аль-джебр) и противопоставлении (825 г.)». Под словом «аль-джебр» понимали перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Это первый в истории учебник алгебры. В нём приведены шесть видов квадратных уравнений и для каждого из них в словесной форме сформулировано правило решения.

Общий метод решения квадратных уравнений в XII век н.э. дал индийский математик Бхаскаре Акариа.

Уравнениями занимался замечательный французский математик «отец алгебры» Франсуа Виет (1540–1603). Он сформулировал и доказал известные каждому школьнику формулы Виета, глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, а также своих ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина.

Виет не только восхищался ими, но и осознал трудность изучения их работ из-за сложной для понимания словесной символики. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решали по особому правилу. Почти все действия и знаки записывали словами. Не было тех удобных правил и обозначений, которыми мы пользуемся сегодня.

Не умели записывать, а потому и изучать в общем виде алгебраические выражения. Виет установил, что не имеет значения, будет ли число в уравнении количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с подобными числами можно производить действия и в результате снова получать числа того же рода.

Такое понимание позволяло ввести отвлечённые буквы в запись уравнения. Виет не только ввёл своё буквенное исчисление, но сделал важное открытие: надо изучать не числа, а действия над ними. Новый способ записи позволил Виету рассматривать общие свойства алгебраических уравнений, за что он и получил имя «отца» алгебры.

Громкую славу Виет приобрёл при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. За несколько недель Виет разгадал шифр сложной тайнописи, с которой испанские инквизиторы вели переписку с врагами Генриха III в самой Франции. После чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными в том, что шифр разгадать невозможно, враги обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, инквизиторам его не выдали.

Важный вклад в теорию уравнений внёс норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829). Он доказал, что общее уравнения пятой степени нельзя выразить в радикалах. Уравнения, общую формулу для корней которого до него безуспешно искали математики всего мира.

Немного позже гениальный французский математик Эварист Галуа (1811–1832) нашёл общие условия разрешимости в радикалах уравнения произвольной степени. При этом он создал новый раздел математики – теорию групп, которая сегодня играет важную роль в самых передовых разделах не только математики, но и физики.

И вот мы подошли к истории возникновения метода, о котором речь будет дальше. Конечно, эта история не такая впечатляющая, но уж точно поучительная. Несколько слов о моём математическом образовании, имеющем отношение к нашей теме.

Так случилось, что мне повезло с первым учителем математики. Это был человек крутого нрава, фронтовик, участник Великой Отечественной войны, артиллерист – Лев Ихилович Каган. Он не терпел лентяев и говорунов, дисциплина была военная, но если ученик любил его предмет – ему многое прощалось. С его легкой руки я стал посещать воскресный математический кружок при Киевском университете, открытый для всех желающих.

В те времена не было пропусков и охраны на входе в школу или ВУЗ. Учёба поощрялась, только учись, будь полезен своей стране и людям. И охранять кого-то никакой необходимости не было.

Учился у него всего два года, но с неплохим результатом – призовое место на городской олимпиаде. Надо сказать, что, несмотря на то, что позже увлёкся физикой, всегда с удовольствием решал трудные школьные задачи по математике.

А ещё мне в жизни повезло – провалил вступительные экзамены на мехмат Киевского университета. Следующей попыткой, уже на год позже, стал университет Новосибирский (НГУ), куда поступил на физический факультет. А почему сказал, что повезло, объясню. Мой НГУ в Академгородке в Сибири, в те времена не так давно возникший (всего 5 лет), с полным правом можно было считать одним из лучших университетов, думаю, не только в Советском Союзе.

Особенно это касалось точных наук – математики и физики. Не буду даже перечислять тех выдающихся учёных, которые у нас преподавали (об этом в статье «О моих учителях»). Среди них немало именитых академиков, а из более молодых высокие регалии многие получили чуть позже. Один из профессоров даже общался с Альбертом Эйнштейном.

Практику мы проходили в расположенных тут же в Академгородке институтах Сибирского отделения АН. Спецкурсы нам читали действующие учёные. В большинстве своём, эти учёные были увлечены наукой и передавали своё воодушевление нам, молодым. А происходило всё это во второй половине 1960-х годов.

По распределению я работал в очень засекреченном (сегодня, думаю, уже не секрет: институт занимался космической тематикой) филиале ГОИ (Государственный оптический институт) в Казани. Хотя специальность моя была «теплофизика», но подготовка позволила мне без особых усилий освоить теорию упругих оболочек переменной толщины и решать задачу о распределении температур и напряжений, точно не знаю, но, думаю, в иллюминаторе космического аппарата или объективе оптического прибора.

И вот мы вплотную подошли к теме нашего рассказа. Приходит как-то ко мне наш молодой лаборант, звали его Анвар, а он готовился поступать на мехмат Казанского университета, и просит помочь решить задачу по алгебре. А задача была на решение уравнения 4-й степени с числовыми коэффициентами.

Надо сказать, когда сам готовился к вступительным экзамену по математике, то решал задачи из известного задачника П.С. Моденова «Сборник задач по специальному курсу элементарной математики», издательства МГУ. По тем, да и нынешним временам, очень серьёзный задачник для педвузов. Пишу об этом потому, что потом нашёл там эту задачу и убедился, что в условии ошибка в числовых коэффициентах. Это показала подстановка ответа в уравнение, но это случилось намного позднее.

И вот с энтузиазмом взялся за задачу. А надо сказать, что в своё время, при подготовке к вступительным экзаменам, перерешал множество подобных уравнений. Но в этом случае решение никак не давалось. Уж чего только не пробовал, даже, наверно от отчаянья, обращался к общему методу Лодовико Феррари из Болоньи (1522–1565).

Замечу, что сам Феррари не нашёл решения уравнения 4-й степени в явном виде, а только свёл его к уравнению 3-й степени, формулу решения которого немного позже нашёл Николо Тарталья (1500–1557), о чём написал в своём трактате Джероламо Кардано (1501–1576), сославшись на автора (почему-то решение называют формулой Кардано).

Обычно к решению по этой формуле прибегают в последнюю очередь. А почему? Уж очень всё получается громоздко и требуется знакомство с комплексными числами. В моём случае в формуле возникали просто огромные числовые коэффициенты. К тому же, оценки показывали, что все решения должны быть комплексными.

Интересно, что к действительным корням, с помощью этих формул, часто приходится подходить через комплексную область, то есть промежуточные корни оказывались комплексными. Такие задачи школьникам даже на олимпиадах не давали. Что-то тут было не так.

И вот месяц бьюсь над задачей без видимого успеха. И как-то меня осенило. Случилось подобно тому, как это было с моей дипломной работой по гидродинамике, о которой уже когда-то писал. Разница была только в мотивации. В случае диплома очень хотелось стать теоретиком, а сейчас это был вызов моему образованию и уверенности в своих способностях решать «простые» задачи.

Итак, рассмотрим уравнение с самой простой квадратичной нелинейностью. Как будет видно дальше, вместо квадрата можно было бы взять любое рациональное число. Итак, есть уравнение

Обозначим d = – а/b, s_o = – c/b. Тогда, вводя ещё одно обозначение x₁ = dх², перепишем (1) так

Используя (2) запишем выражение для x₁, добавив и вычтя ds_o²:

x₁ = dх² = d(s_o + x₁)² + ds_o² – ds_o²= ds_o² + [d(s_o + x₁)² – ds_o²] º s₁ + x₂.

Знак «º» перед последним выражением говорит, о введении ещё двух обозначений s₁ = ds_o² и x₂ = [d(s_o + x₁)² – ds_o²]. И вообще, по аналогии, нетрудно записать ряд

x = s_o + х₁ = s_o + s₁ + x₂ = s_o + s₁ + s₂ + x₃ = ...

Дальше, если сумма слагаемых этого ряда ограничена (при этом x_n ® 0, это можно доказать, попробуйте), можно найти значения корней нашего уравнения. Нетрудно видеть, что метод годится для более общего уравнения:

ах^g + bx + c = 0,

где g – любое, например, положительное рациональное число.

Конечно, можно подробно исследовать сходимость полученного ряда, и тогда в молодости я этим занимался. Собственно математики так и делают, при этом говорят, что, сохраняя нужное количество членов ряда, можно получить решение с любой наперёд заданной точностью.

Тут пришла пора поговорить о физике, её различии с математикой. И коснуться того, о чём упомянуто в заглавии. Любое доступное человеку измерение производится с конечной точностью. Для физика ряд всегда неизбежно обрывается, необходимо учитывать только доступную точность измерений. И поскольку расчёт по формуле – это косвенное измерение, то для физика решение квадратного и любого другого уравнения – это косвенное измерение.

Естественно, при решении уравнения в виде ряда надо предполагать, что он сходится. Но чего бы ни сулила математика, ограниченная точность измерений является главным критерием возможного результата для физика. Опыт – критерий истины в физике.

Имея в руках определённый набор приборов, можно получить определённый числовой результат, и на этом уровне ничего более точного просто нет, подтвердить следующие, обещанные математиками знаки после запятой, просто нечем. Поэтому дальше возможны только модели и предположения, то есть чистая математика.

Математик может бесконечно делить отрезок. Физик – только до определённого предела, обусловленного заданной погрешностью измерения. Не случайно сначала установили наличие атомов, потом, с ростом точности измерений, появились и более элементарные частицы.

Также, видимо, не случайно применение анализа бесконечно малых на очень малых масштабах встречает непреодолимые трудности. Возникают какие-то бесконечные значения энергии, и, вообще, что-то там не работает. Как видите, тут возникает новая тема, тема физического пространства и применения к нему математики. Как вы догадываетесь, этой теме следует посвятить отдельный разговор.

А.М. Пальти, старший научный сотрудник по физике ВТСП

По теме: