Слово «симметрия» в переводе с греческого и латинского языков означает «соразмерность» или «мера одинаковости». Рассмотрим, как эффект симметрии используется в организации и анализе разных игр.

Площадки для игровых видов спорта симметричны, что даёт соперникам равные возможности.

В настольных играх фигуры соперников размещены симметрично, чтобы дать им равные начальные возможности.

Но право первого хода несколько нарушает это равноправие.

Рассмотрим игру, выигрышную стратегию в которой можно найти, используя идею симметрии.

Игра «Стол и блюдца».

Правила игры очень простые: играет два игрока. Игроки по очереди ставят круглые блюдца на прямоугольный стол. Проигрывает тот, кто не сможет поставить блюдце.

Вопрос: кто из игроков имеет выигрышную стратегию, и какова эта стратегия?

Попытайтесь самостоятельно догадаться.

Ответ в конце статьи.

Поучительным является парадокс Монти Холла. Это парадокс теории вероятностей, названный так по названию шоу Монти Холла, из которого он собственно возник. Финалисту игрового шоу предлагают выбрать одну из трёх дверей. За двумя дверями спрятано по козе, за третьей – автомобиль.

После того, как игрок выбрал дверь (и ещё не открыл её), ведущий открывает одну из оставшихся дверей (это обязательно дверь с козой) и предлагает игроку выбор – открыть ранее выбранную дверь, либо изменить свой выбор и открыть другую.

Возникает вопрос: какой стратегии должен придерживаться игрок?

Стоит ли ему настаивать на своём выборе или нужно менять дверь?

Оказывается, что оптимальная стратегия игрока такая:

Сначала нужно выбрать каждую из дверей с вероятностью 1/3.

Затем, после показа ведущим козы за одной из дверей обязательно поменять ранее выбранную дверь на оставшуюся.

Это гарантирует игроку вероятность выигрыша 2/3 против любых действий ведущего.

Действительно, при такой стратегии игрок выиграет, если он предварительно выбрал козу (и потом поменяет её на машину) – с вероятностью 2/3 или проиграет, если предварительно выбрал машину (и потом поменяет её на козу) – с вероятностью 1/3.

Никакая другая стратегия не может гарантировать игроку вероятность выигрыша большую, чем 2/3, поскольку по правилам игры одна из трёх дверей остаётся неоткрытой.

Объяснение парадокса простое. Когда игрок выбрал одну из дверей, то выбранная им дверь и две оставшиеся симметричны (в смысле вероятности нахождения за ней машины). Но когда ведущий открывает дверь с козой (а этот выбор является по сути предвзятым), то это нарушает принцип симметрии, и вероятности нахождения машины за изначально выбранной и оставшейся дверью отличаются.

Правила игр в казино «почти симметричны», но при этом обязательно присутствует какой либо элемент, нарушающий симметрию, и дающий таким образом казино преимущество перед игроком. О разных уловках, которые используют казино, чтобы отбирать деньги у посетителей, читайте в нашей предыдущей статье (Страна знаний, № 6 за 2021 г.).

Например, на колесе рулетки есть 18 красных, 18 чёрных номеров и ещё 0 (или зеро).

При ставке «простой шанс» если игрок угадывает цвет, то выигрывает, если нет, то проигрывает.

Асимметрия заключается в том, что если выпадает 0, то игрок проигрывает в любом случае. Таким образом, шансы игрока на выигрыш составляют 18 к 19.

В игре Blackjack игрок ведёт игру против дилера.

И игрок, и дилер «тянут» карты и суммируют очки на них. Задача – набрать как можно больше очков, но не более 21 (в этом случае игрок «прогорает»). Кто набрал больше очков, тот и выигрывает.При равенстве очков фиксируется ничья.

На первый взгляд игра кажется справедливой, поскольку игрок и дилер находятся в одинаковом положении. Но это не совсем так.

Асимметрия игры состоит в том, что если одновременно прогорели и дилер, и игрок, то выигрывает дилер.

Ещё одна азартная игра носит название Сик бо. Она более распространена в США и Латинской Америке, в Европе она чаще встречается в онлайн-варианте. Правила её простые. Игрок может сделать ставку на цифру от 1 до 6. После этого подбрасывается три кубика, и если цифра, на которую поставил игрок, выпала на одном кубике, то ему выплачивается две ставки, если на двух – то три, а если на трёх – то четыре. Если цифра не выпала ни разу, то игрок теряет ставку.

Разберёмся, в чём секрет данной игры, и почему она невыгодна для игрока. Иногда в сети можно встретить ролики: некто рассказывает, что якобы интернет-казино просчиталось и запустило невыгодную для себя игру. Раз подбрасывается три кубика, а вероятность выпадения цифры на кубике – 1/6, то вы на месте игрока будете выигрывать в половине случаев. При этом в случае выигрыша ваша ставка умножается на два, а иногда (если цифра выпадет на двух или трёх кубиках), то соответственно на три и на четыре.

Однако, это не так. Игрок проигрывает, если его цифра не выпадет ни на одном из кубиков. Вероятность того, что цифра не выпадет на одном кубике, равна 5/6, а для трёх кубиков эта вероятность по правилу произведения вероятностей составляет , т.е. игрок проигрывает в 58% случаев и выигрывает соответственно, лишь в 42%.

Однако, понять, что игра невыгодная для игрока можно, и не вдаваясь в вероятностные подсчёты, а используя принцип симметрии. Поскольку статус всех цифр от 1 до 6 в игре одинаков, то и средний выигрыш при ставке на каждую из цифр будет одинаковым. Мысленно поставим одинаковые ставки на все 6 цифр сразу и проанализируем, что может произойти. Если выпадет три разные цифры, то три ставки проиграют, а три удвоятся, т.е. мы получим обратно свои 6 ставок и таким образом не выиграем и не проиграем.

Если какая-либо цифра выпадет на двух кубиках, а какая-то другая – на одном, то четыре ставки проиграют, одна ставка умножится на 3, другая – на 2, и в сумме мы получим 5 ставок (заплатив за игру 6), т.е. проиграем 1 ставку.

Если какая-либо цифра выпадет на трёх кубиках, то пять ставок проиграют, а одна умножится на 4, и в сумме мы получим 4 ставки (опять же заплатив 6), т.е. проиграем две ставки. Таким образом, при разных исходах игры можно либо вернуть свои деньги, либо проиграть их часть, что и доказывает, что игра для игрока невыгодная.

Таким образом, в каждой из рассмотренных игр против казино игрок оказывается в «чуть невыгодном» положении, что приведёт к тому, что при длительной игре он обязательно окажется в суммарном проигрыше.

Использование идей симметрии позволяет сводить вмешательство случая к минимуму, что видно на примере игры «спортивный бридж». Здесь была использована замечательная идея сравнения результатов. Один и тот же расклад карт разыгрывается разными четвёрками игроков (пара против пары). После определённого количества сдач следует сравнение результатов пар. Задача каждой пары – показать лучший результат, нежели у других пар на точно таком же раскладе. В сущности, одинаковые расклады как раз и наводят своеобразные мосты между игроками (bridge по-английски – мост).

Поясним это на примере.

Пусть в командах А и В по 4 игрока, и команды играют друг против друга.

Команды разбиваются на пары. В одной комнате А1 и А2 играют против В1 и В2, а в другой – А3 и А4 против В3 и В4 .

Судьи тасуют колоду в 52 карты и раздают карты. Таким образом образуется 4 руки по 13 карт: Р1, Р2, Р3, Р4.

При помощи двух колод делается две копии расклада Р1, Р2, Р3, Р4.

В 1-й комнате игроки А1 и А2 получают руки Р1, Р3, а В1, В2 – Р2 и Р4 соответственно.

Во 2-й комнате наоборот – А3 и А4 получают руки Р2 и Р4, а В3 и В4 – Р1 и Р3 соответственно.

Рассмотрим упрощённую наглядную иллюстрацию.

Пусть есть 2 масти по 8 карт (в реальной игре 4 масти по 13 карт).

Пусть играют между собой две команды по 4 игрока в каждой – команда А (Коля, Петя, Вася, Миша) против В (John, Paul, George, Ringo).

Пусть была выбрана рассадка игроков такая, что в первой комнате Коля с Петей играют против Джона и Пола.

Пусть результат сдачи карт (жеребьевки) оказался такой:

1-я рука – 7♠, 8♠, A♠; J♥,

2-я рука – 9♠, 10♠; Q ♥,K ♥,

3-я рука – J♠, Q♠, K♠; J♥,

4-я рука – 8♥, 9♥, 10♥, A♥.

Тогда раздача (судьями) карт игрокам будет такой:

Из данной иллюстрации видно, что оппоненты игроков из каждой из команд, сидящие в другой комнате, имеют на руках расклад карт, совпадающий с их собственным раскладом. Поэтому ни у кого нет оснований радоваться, если на руках хорошие карты – значит у товарищей из твоей команды, играющих в другой команде, плохие. Равно как и нет оснований огорчаться, если пришли плохие карты – значит у товарищей они хорошие. И тренер на разборе игры будет хвалить либо ругать игроков не за то, сколько они набрали очков, а за то, насколько они эффективно смогли разыграть тот расклад, что им достался.

Аналогичная идея, позволяющая уменьшить вмешательство случая, применяется при тестировании. Пусть стоит задача сравнения нескольких кандидатов с целью выбора наилучшего, и при этом претендентам предлагается некоторая совокупность задач или тестов. Чтобы такого рода тестирование было объективным, кандидаты должны сдавать в тайне друг от друга одинаковые тесты или по крайней мере аналогичные, различающиеся лишь числовыми данными.

Такой же принцип используется и в математическом моделировании. Например, пусть менеджер супермаркета решает, какому количеству касс дать «экспресс»- статус, что, например, означает, что покупатель имеет право воспользоваться такой кассой, если количество купленных им единиц товара не превышает трёх. Чтобы выбрать между несколькими системами обслуживания покупателей, менеджер сравнивает их математические модели. В этих моделях разыгрывается случайным образом виртуальный поток покупателей – в случайные моменты времени на кассу поступают заявки случайного объёма. Но что важно, после того, как виртуальный поток покупателей был разыгран и сгенерирован, его копии направляются во все сравниваемые системы и потом выбирается лучшая.

Американский математик и экономист Джон Форбс Нэш (1928–2015) умело анализировал игры, ставя себя поочередно на место каждого из игроков, и придумал концепцию «украденной стратегии» (более подробно о Джоне Нэше см. в «Стране знаний» № 7 за 2019 г.).

Эту концепцию он продемонстрировал, используя придуманную им игру «Hex (хекс)», или проще «шестиугольники».

Правила игры:

• Игроки ходят по очереди – 1-й ставит в любой свободной клетке крестик, а второй нолик.
• Каждый из игроков имеет по два «своих» берега
• Задача каждого из игроков – построить мост с одного своего берега на другой. Тот, кто построил мост, выигрывает.

Оказывается, что игра не может закончиться вничью (формальное доказательство громоздкое, приведём здесь нестрогое «умозрительное» доказательство).

Пусть плоскость за пределами игрового поля состоит из четырёх частей – A, B, C, D. где А и С – суша, B и D – море.

Пусть крестики – это «земля», а нолики – «вода», и всё игровое поле заполнено крестиками либо ноликами.

Тогда справедливо одно из двух утверждений – либо B и D соединяет река, либо между А и С есть брод.

Таким образом, либо первый игрок (крестик), либо второй игрок (нолик) имеют гарантированно выигрышную стратегию.

Идея «украденной стратегии» состоит в следующем.

Пусть 2-й игрок (нолик) имеет выигрышную стратегию. Тогда 1-й имеет возможность ее «украсть» или «перехватить» следующим образом:

«Транспонировать» игровое поле так, чтобы свои берега стали чужими, а чужие своими.

Сделать первый ход, поставив крестик в любое поле.

Начиная со второго хода, играть согласно выигрышной стратегии второго игрока (мысленно транспонируя игровое поле и мысленно меняя в выигрышной стратегии нолики и крестики местами).

Если поле, которое нужно занять согласно выигрышной стратегии, уже занято (своим же крестиком), то поставить крестик в любом свободном поле и т.д.

Таким образом, 1-й игрок тоже имеет выигрышную стратегию. Но тогда выходит, что и 2-й, и 1-й игрок имеют выигрышные стратегии – противоречие.

Значит, 2-й игрок не имеет выигрышной стратегии.

Поскольку игра не может закончиться вничью, то выигрышную стратегию имеет только 1-й игрок.

Симметрия в правосудии

Богиню правосудия Фемиду изображают с завязанными глазами. Это значит, что она взвешивает все обстоятельства дела на весах и не смотрит на истца и ответчика.

Она не должна видеть, насколько богатым, влиятельным или внешне привлекательным является каждый из них.

Великая французская революция (1789–1799) выдвинула лозунг «Свобода, равенство, братство». При этом под равенством понималось именно равенство перед законом (а не равенство социального положения вне зависимости от трудолюбия, уровня образования и т.д.).

Необъективный взгляд на людей или социальные явления (в котором изначально заложено нарушение принципов симметрии) принято называть «двойные стандарты».

Двойные стандарты могут возникать как на бытовом, так и на геополитическом уровне. Например, для неких родителей, чужой ребёнок, ударивший их ребёнка за то, что тот взял поиграть игрушку и не вернул её по первому требованию, будет назван ими хулиганом или маленьким бандитом. В то же время, если аналогичным образом поступит их ребёнок, то это будет расценено как «молодец, растёт мужчина, умеющий постоять за себя и отстоять свои интересы».

В геополитическом плане – аналогичная ситуация. Гражданин иностранного государства, задержанный за ведение разведывательной деятельности на территории другой страны, именуется шпионом (слово с негативным оттенком). В то же время, «свой» гражданин, ведущий разведку в чужой стране – разведчик или резидент (слова с положительным оттенком).

Поэтому для того, чтобы прийти к объективному мнению, нужно уметь поставить себя на место участников конфликтной ситуации и беспристрастно взглянуть на проблему с разных точек зрения.

Например, поучительной является китайская притча о копьях и щитах.

Странствующий мудрец ходил по рынку и увидел, что возле оружейной лавки собралась толпа, которая внимала крикливому торговцу.

Торговец кричал: «Покупайте мои щиты – они защитят вас от любого копья» – и показывал, как копьё ломается о щит, или же: «Покупайте мои копья – они пробивают любой щит»» – и показывал, как копьё пробивает щит.

Люди были заворожены такой убедительной рекламой, а мудрец понял, что торговец лжёт, и сказал: «Зачем мне твои копья, если они ломаются о щиты. Зачем мне твои щиты, если их пробивают копья».

Иногда в проблеме выбора решений симметрия играет злую шутку.

Трудность выбора между одинаковыми альтернативами носит название «буриданов осёл». Французский философ Жан Буридан (1300–1358) сочинил притчу об осле, который проходил на равном расстоянии между двумя одинаковыми копнами сена, не мог выбрать, к какой из них подойти, и умер от голода.

Пробема буриданового осла может возникать на кольцевой ветке московского метро при выборе маршрута между диаметрально противоположными станциями (например, Киевская – Курская).

Кольцевая ветка представляет из себя 12 станций, расположенных по кольцу. Например, от станции «Киевская» до диаметрально противоположной ей станции «Курская» в одном направлении 6 станций, а в противоположном – тоже 6. Поэтому на станции «Киевская» станция «Курская» стоит в конце списка станций назначения на обеих платформах. Если нужно ехать – не раздумывайте долго, садитесь в первый из подошедших поездов.

Часто разнообразие товаров в супермаркете вводит покупателя в замешательство, он ищет оптимальный вариант и долго не может выбрать среди однотипных товаров (например, среди гелей для стирки), которые зачастую имеют практически одинаковый состав и отличаются между собой цветом жидкости, а то и вовсе только цветом упаковки.

Приложение. Ответ на задачу «стол и блюдца». Выигрышную стратегию имеет первый игрок. Чтобы гарантированно выиграть, ему нужно своим первым ходом поставить блюдце в центр стола. Далее, на каждый ход второго игрока отвечать тем, что ставить блюдце симметрично относительно центра стола. Если второй игрок нашёл место для блюдца, то найдётся и симметричное ему место. Рано или поздно второй игрок не найдёт места для блюдца и проиграет.

С.И. Доценко, кандидат физико-математических наук, доцент факультета информационных технологий, КНУ имени Тараса Шевченко

 

По теме:

Лотереи как налог на глупость

Во что играли Пушкин и его герои, и причём здесь комбинаторика

Формула Байеса – давайте разберёмся

Закон Пуассона, или почему редкие события случаются не столь уж редко

Что такое математическая теория игр