Весы – один из древнейших приборов, изобретённых человеком для определения массы тел по действующей на них силе, которую полагали равной силе тяжести. Процесс определения массы тела называют взвешиванием.

Вес тела можно определить или путём сравнения с весом эталонной массы (такой принцип применяют в рычажных весах), или измерением силы тяжести с помощью других физических явлений, например, растяжения пружины.

К сожалению, имя изобретателя весов история не сохранила. Первые образцы, найденные археологами в долине реки Инд на территории современного Пакистана (Ближний Восток), относятся к V тысячелетию до н. э.

Истории весов мы уже касались в нашем журнале, сейчас начнём прямо с XVII века и с изобретения Жиля де Роберваля как раз тех весов, с которыми и связан парадокс. Чуть ниже мы поясним, что это за весы и в чём суть парадокса, но сначала немного об их изобретателе и судьбе самого изобретения.

Весы – только эпизод в многогранной и продуктивной жизни известного французского учёного-математика и механика Жиля Персонье де Роберваля (1602–1675), одного из основателей Парижской Академии наук.

Познания в математике он приобрёл путём самообразования. При этом сумел сделать весомый вклад в создание математического анализа, можно даже сказать, был одним из его создателей. Широкую известность получил открытый им кинематический метод проведения касательной к кривой в произвольно заданной точке (определение производной).

В 1640 году он опубликовал полное изложение своего метода и основных его применений. Здесь уже присутствовали элементы будущего дифференциального исчисления, хотя изложение было недостаточно общим.

Он изобрёл оригинальные методы вычисления объёмов различных тел. С помощью неделимых он первым в 1634–1636 годах вычислил площадь циклоиды и объёмы производимых ею тел вращения, а также первым изобразил график синусоиды.

С 1634 года Роберваль работал на кафедре математики в Коллеж-Руайяль, высшем учебном заведении Парижа (ныне – знаменитый Коллеж де Франс), где преподавал механику. Интересно, что претендент на эту должность должен был дать наилучшее решение предлагаемой на ежегодный конкурс математической задачи. Выполняя это условие, Роберваль оставался на своей должности до самой смерти в 1675 году.

Работы Роберваля посвящены математике, механике, астрономии. Он поддерживал гелиоцентрическую модель устройства Солнечной системы Коперника и теорию взаимного тяготения между материальными телами.

Успешно применяя свои методы, Роберваль, к сожалению, не подтвердил приоритет многих из них, так как не публиковал результатов. Представление о содержании его неопубликованного «Трактата по механике» дает обзорный труд «Всеобщая гармония» (1636 г.) известного учёного тех лет Марена Мерсенна (1588–1648).

В этом трактате Роберваль завершил геометрическую статику, начало которой положил фламандский учёный Симон Стевин (1549–1620), предложив закон сложения перпендикулярных сил. Но общее правило сложения произвольно направленных векторов дал герой нашего рассказа Жиль де Роберваль. Это знаменитое правило параллелограмма. Кроме закона сложения сил в трактате предложено правило моментов (в равновесии суммарный момент сил равен нулю).

Упоминая о Симоне Стевине, нельзя не отметить тот факт, что в 1586 году он экспериментально доказал, что тела разных масс падают с одинаковым ускорением, результат, который приписывают Галилео Галилею.

Итак, в 1669 году Жиль де Роберваль существенно улучшил известные с древних времён весы в виде коромысла, увеличив их точность. Так случилось, что довольно скоро после их изобретения широкое применение приобрёл динамометр Роберта Гука (1635–1703, автор известного закона упругости) – достаточно точные и простые, при этом лёгкие и компактные, пружинные весы (кантор).

Это способствовало тому, что широкое применение весов Роберваля произошло только через два века после их изобретения. В большом количестве их можно было увидеть в магазинах и на рынках уже во второй половине ХХ века.

Широкую популярность весов Роберваля можно связать с важным их свойством – они затрудняли обвешивание. В этих весах возникает интересная ситуация, которая позволяет понять общие условия равновесия в сложной механической системе.

Итак, что же это за весы и в чём состоит связанный с ними парадокс? Прежде всего – это платформенные весы, в которых балка-коромысло располагалась под чашами весов, а не над ними. Здесь коромысло уже играло роль платформы.

В основе весов лежит шарнирный параллелограмм ABDC из четырёх жёстких стержней и шести шарниров, рис. 1.

Противоположные стороны параллелограмма AB и DC закреплены с помощью расположенных в их середине неподвижных шарниров О и О₁ так, что при любом движении параллелограмма две другие его стороны AC и BD остаются вертикальными. К ним под прямым углом жёстко присоединены два стержня EF и MN, с которыми связаны чаши весов.

Ж. Роберваль отмечает кажущееся парадоксальным свойство данной механической системы: одинаковые по весу грузы уравновешиваются при любом их расположении на чашках. То есть здесь как бы не работает правило рычага: взвешивание на них не зависит от того, ближе или дальше к оси расположены сравниваемые грузы. Такой случай как раз и показан на рис. 1. Это свойство весов и не даёт возможности обвесить. Доказательство своего утверждения Роберваль не оставил.

Современники Роберваля не сумели разобраться с парадоксом. Решение «парадокса Роберваля» методами геометрической статики только в 1804 году дал в книге «Начала статики» французский учёный, один из создателей современной механики Луи Пуансо (1777–1859). Ниже мы приведём его решение.

Когда авторы заинтересовались парадоксом и обратились к интернету, то самое лучшее, что смогли найти по вопросу парадокса, так это ссылку в книге по истории механики на ...те самые «Начала...» Пуансо. Сам Луи Пуансо, замечательный учёный, своей книгой положил начало современной теоретической механике. Выпущенная в 1804 году, она более 100 лет верно служила тем, кто изучает механику.

Начнём с нескольких определений. Основные понятия механики – сила и перемещение – будем считать качественно понятными. Мы только немного их уточним. Например, известно, что сила в пространстве, как и перемещение, имеют по три независимых компоненты (три степени свободы), Такое свойство физической величины связывают с понятием вектора.

Для наших целей важным является более простое понятие энергии, которое описывают не три числа, как вектор, а одно число. Энергия – скаляр. Простейший вид энергии – работа – возникла гораздо позднее, чем сила.

Из школы вы, наверное, помните, что работа есть произведение силы на перемещение. Но и сила, и перемещение имеют по три независимых компоненты. Перемещение вдоль дороги можно рассматривать совершенно независимо от движения в перпендикулярном направлении. Эта независимость выражается в том, что для горизонтального движения имеет значение только составляющая силы вдоль дороги.

Именно в связи с работой и возникло математическое понятие скалярного произведения векторов. Двум векторам сопоставили одно число (скаляр) – работу, по правилу, названному скалярным произведением вектора силы F на вектор смещения s:

А = F s cos a = (F, s).

Понятие энергии интересно тем, что в любых процессах её величина сохраняется. Это один из фундаментальных законов природы. Для изучения равновесия механической системы (этот раздел механики называют статикой) удобна формулировка закона сохранения в виде «принципа виртуальных (возможных, воображаемых, фиктивных) перемещений». Этот принцип решения задач статики впервые предложил в 1717 году известный учёный Иоганн Бернулли (1667–1748).

Вот несколько эквивалентных формулировок:

- в равновесии суммарная работа сил самой системы и сил, действующих на систему извне, равна нулю,

- в равновесии сумма работ, совершаемых силами системы, должна компенсироваться работой внешних сил сопротивления,

- в состоянии равновесия при малом перемещении точек системы происходит взаимная компенсация всех работ, обусловленных возможными перемещениями этих точек.

Дальше воспользуемся наглядно очевидным фактом. Любое небольшое перемещение твёрдого тела можно разбить на два движения. Поступательное движение, при котором любой отрезок, соединяющий две точки твёрдого тела, перемещается параллельно самому себе, и поворот тела относительно некоторого центра.

Тогда полная энергия перемещения складывается из двух частей – поступательной и вращательной. Отсюда нетрудно вывести основные законы статики. В самом деле, работа всех сил Р₁, Р₂, …, вызывающих поступательное движение тела, – это

А_п = Р₁ s₁ + Р₂ s₂ + …,

где s₁, s₂, ... – перемещения при поступательном движении, которые, очевидно, для одного тела все одинаковы s₁ = s₂ =... = s.

Тогда

А_п = (Р₁ + Р₂ + … )·s.

Работа при повороте под действием сил F₁, F₂, ... на один и тот же угол a, обуславливает перемещения s₁ = a r₁, s₂ = a r₂, ... , где r₁, r₂, ... – радиусы соответствующих окружностей. При этом полная работа

А_в = F₁ a r₁ + F₂ a r₂ + ... = (F₁ r₁ + F₂ r₂ + ...) a,

но произведение силы на перпендикулярное ей плечо – это момент силы, поэтому

А_в = (М₁ + М₂ + ...) a.

И принцип возможных перемещений А = А_п + А_в = 0 приводит к известным законам статики

Р1 + Р2 + … = 0

(Р)

и

М1 + М2 + ... = 0.

(M)

Этих законов, как понимает читатель, шесть (три для векторов силы и 3 для векторов момента).

В простом случае равновесия рычага с разными плечами закон моментов приводит к золотому правилу механики (правило рычага). Это правило выражается в равенстве произведений каждой из сил на соответствующее, перпендикулярное силе, плечо Р а = F b, что было хорошо известно ещё Архимеду (ІІІ век до н. э.). Если на простой рычаг наложить дополнительные условия, их называют условиями связи, например, закрепить ещё одну ось, то он вообще будет неподвижным.

Наш случай более сложен, тело состоит из нескольких шарнирно связанных между собой твёрдых тел. Такую систему Луи Пуансо назвал машиной. И даже, если закреплены две оси, остаётся возможность движения.

Очевидно, для равновесия машины необходимо, чтобы в равновесии находились все тела, из которых она составлена.

Дадим качественное объяснение парадокса на основе принципа возможных перемещений.

Наличие двух закреплённых осей в такой машине приводит к тому, что все точки стержней АВ и CD только поворачиваются, рис. 1. При этом работает только правило моментов (М). Точки стержней АC и ВD движутся только поступательно, и работает только правило сил (Р). Наложенные на систему связи запрещают для расположенных вертикально стержней вращательное движение.

В таких условия, независимо от того, где находится груз или гиря на чашах весов, обе чаши перемещаются на одно и то же расстояние в вертикальном направлении. Закон сохранения энергии в виде принципа возможных перемещений приводит только к правилу сил (Р).

Правило моментов (М) для элементов машины АC и ВD не имеет смысла. Но именно это правило используют, формулируя парадокс.

Перед тем, как дать объяснение парадокса, данное Луи Пуансо, сделаем несколько замечаний.

В простом рычаге имеется одна закреплёенная ось. Поворот плечей возможен в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Любые грузы, связанные с плечами рычагов, вызывают моменты, векторы которых параллельны этой оси. То есть эти векторы лежат в одномерном пространстве, и их можно складывать как скаляры.

Возможно, именно поэтому в школе правило моментов рассматривают только в скалярном (инвариантном) виде, как произведение силы на плечо. Всё же, почему с моментом силы связывают вектор? Причём особый вектор – векторное произведение вектора силы на вектор плеча. Модуль этого вектора

М = r F sinα,

(1)

где М, r и F – модули векторов момента, плеча и силы, α – угол между этими векторами. Заметим, что вклад в произведение даёт только перпендикулярная плечу составляющая силы (F sina) или перпендикулярная силе составляющая плеча (r sina) Понятно, что составляющая силы вдоль плеча момента не создаёт. Приведенное определение обобщает упомянутое выше правило рычага, когда сила перпендикулярна плечу.

Так почему вводят этот особый вектор момента силы?

Ответ заключается в том, что выражение (1) не даёт никакой информации о направлении вращения. Если посмотреть на поворот с одной стороны плоскости, в которой происходит вращение, увидим поворот в одну сторону, если смотреть с другой стороны плоскости – направление будет противоположным. Какое в действительности направление вращения, скалярное выражение для модуля момента силы ответа не даёт.

Для конкретизации направления вращения вводят определённую систему координат, например, правую. В этой системе, если смотреть со стороны положительного направления оси Оz, вращение от оси Ох к оси Оy происходит против часовой стрелки.

Вектор момента потому и определяют, как векторное произведение вектора силы на вектор плеча М = [r, F], что в правой системе координат поворот от вектора r к вектору F, если смотреть с конца вектора М, происходит против часовой стрелки. Так можно определить направление поворота.

Теперь можно привести объяснение Луи Пуансо. Для этого нам потребуется некоторое понятие, которое он придумал, для объяснения парадокса. Это понятие – пара сил. Дальнейшее изложение будет достаточно кратким и схематичным, и некоторые качественно понятные вещи придётся принять на веру. Иначе необходимо было бы изучить какой-нибудь полный курс теоретической механики.

Итак, парой сил называют две параллельные силы противоположного направления, приложенные к концам отрезка – плечу пары. Момент пары определяют как векторное произведение вектора плеча на вектор одной из одинаковых сил.

Заметим, что смысл формул для момента пары сил и момента одной из сил пары разный, хотя выражение у них может быть одинаковым. Момент каждой из сил пары в отдельности зависит от расположения соответствующей оси вращения, а момент пары сил зависит только от вектора плеча.

Простые выкладки поясняют сказанное, см. рис. 2.

Пусть M₁ = [r₁,F] и  M₂ = [r₂,P] – моменты отдельных сил пары, F = – P, вектор плеча пары Dr, тогда момент пары

M = M1 + M2 = [r1,F] + [r2,P] = [r1,F] + [r2,– F] = [r1 – r2, F] = [Δr, F].

(2)

Как видно из (2), моменты отдельных сил зависят от расстояния до оси, а момент пары – только от вектора плеча Δr. Отсюда следует важное свойство момента пары: возможность, не меняя состояния системы, переносить пару в её плоскости или переносить её в параллельную плоскость, а также поворачивать в плоскости, сохраняя значение её момента.

Пусть вес правой чаши весов равен P, а левой – F. На рис. 3 приведена половина всего симметричного устройства. Дальше Пуансо рассуждает так. В точке M приложим две равные и противоположно направленные силы – Р и -Р . При этом состояние системы не изменится. Одна из сил (-Р) вместе с силой Р, приложенной в точке N, образует пару.

Эту пару РNM(-Р) повернём так, чтобы её плечо стало mn, а силы подберём так, чтобы момент пары с силами Р¢ и –Р¢ равнялся моменту нашей исходной пары. При этом в системе опять-таки ничего не изменится.

Но действие новой пары уничтожают неподвижные шарниры О и О₁ (в которых возникают противодействующие силам Р¢ и -Р¢ реакции опор). При этом в системе останется только сила Р, действующая вдоль участка ВD нашего параллелограмма. Слева ситуация полностью симметричная, и та же сила Р будет действовать на параллельную сторону параллелограмма АС. Моменты обеих сил полностью компенсируют друг друга.

Приведенное решение немного сложнее, чем данное выше качественное, но никакой высшей математики здесь нет. И если приложить усилия, а может быть даже открыть книжку самого Луи Пуансо, написанную очень ясно и просто, и конечно, гораздо подробнее, чем это сделали авторы, то трудности непременно будут преодолены.

Отметим, что современным авторам есть чему поучиться у классика. На этом авторам остаётся только пожелать читателям успехов в освоении очень увлекательного и практически полезного раздела механики – статики.

Литература:
Гончаренко С.У. Фізика для допитливих. Механіка. – Київ: Техніка, 1970. 276 с.
Луи Пуансо. Начала статики. – Пг.: Науч.-техн. изд-во, 1920. 213 с.

Г.Д. Радзивилов, кандидат технических наук, доцент, А.М. Пальти, кандидат технических наук, старший научный сотрудник по физике ВТНП

 

По теме:

Об истории весов