Всё есть число.
Древние пифагорейцы[1]
4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Рассматривая рациональные числа, мы установили, что каждое рациональное число изображается бесконечной периодической дробью. Легко установить, что множество рациональных чисел является плотным в том смысле, что между двумя рациональными разными числами существует третье рациональное число. Действительно, если a и b рациональные числа, где a < b, то число 
находится между a и b, поскольку
a < < b.
Если к операциям сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел добавить операцию извлечения корня 
, то оказывается, что это множество не является плотным. То есть, во множестве рациональных чисел нет, например, числа √2. Действительно, допустим, что √2=a/b является рациональным числом, где a и b взаимно простые целые числа. Тогда,
Отсюда следует, что число a2 должно быть кратно 2. Но это значит, что число a чётное. Если a чётное, то a = 2n и тогда
2b2 = 4n2 или b2 = 2n2.
А это значит, что b тоже должно быть чётным числом. Приходим к противоречию с тем, что a и b взаимно простые, так как в этом случае они должны были бы иметь общий делитель 2.
Следовательно, среди рациональных чисел нет числа, которое отвечает √2.
Аналогично можно доказать, что числа √3, √6 не являются рациональными числами.
Такого типа числа называются иррациональными. Термин иррациональное число (в переводе с латинского языка – «неразумное» число) возник, видимо, в связи с геометрическими задачами. Древние математики, особенно геометры, не могли представить, что в природе существуют неизмеримые между собой отрезки. А оказывается, что общей меры между сторонами квадрата, длина сторон которого равна 1, и его диагональю, не существует. Это было в некотором смысле шоком для древнегреческих математиков. В связи с этим обстоятельством эти числа и получили название иррациональных.
Хорошо, если √2, √3 и √6 иррациональные, то каким будет число √2+√3? Допустим, что
|
|
(6) |
где x – рациональное число. Возводя в квадрат левую и правую часть (6), получаем:
|
|
|
Поскольку (x2–5)/2 – рациональное число (на основании замкнутости множества рациональных чисел относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления), то √6 – тоже рациональное число. Полученное противоречие показывает, что √2+√3 – иррациональное число.
Определение. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел.
4.1. Иррациональные числа
В отличие от рациональных чисел, множество которых замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления, множество иррациональных чисел не имеет ни одного из этих свойств. Поначалу покажем, как можно выстроить бесконечно много иррациональных чисел, имея в распоряжении одно иррациональное число.
Теорема 3. Пусть α – произвольное иррациональное число и r – произвольное рациональное число, отличное от нуля. Тогда α + r, α – r, α · r и α / r – иррациональные числа, как и числа –α и 1/α.
Доказательство. Допустим, что
,
где r1, r2,r3, r4 – рациональные числа. Тогда
– рациональные числа. Из замкнутости множества рациональных чисел относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления, следует, что α является рациональным числом. Получаем противоречие с иррациональностью чисел α.
Из этой теоремы вытекает широкий класс иррациональных чисел, исходя из иррациональности √2, √3 и √6, которые были рассмотрены в предыдущем подразделе, получаем:
Рассмотрим вопрос замкнутости множества иррациональных чисел.
Относительно сложения это множество незамкнутое. Действительно, √2 + (–√2) = 0 является числом рациональным, а также 3 + √3 +5 – √3 = 8 – число рациональное.
Относительно вычитания тоже незамкнуто, поскольку (√3 – 1) – (2 + √3) =–3 – число рациональное.
Относительно умножения и деления тоже незамкнутые, поскольку
.
5. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И КОМПЬЮТЕРЫ
В рассмотренных выше разделах мы пользовались десятичной системой счисления, которая за годы обучения почти на подсознательном уровне вошла в нашу жизнь. Каждое целое число можно представить в виде суммы по степеням числа 10, являющимся основанием такой системы. Например,
2021 = 2·103 + 0·103 + 2·103 + 1·103,
670 = 6·103 + 7·103 + 0·103.
Вообще, число m = anan-1 … a2a1a0 означает в десятичной системе счисления такое число
|
m = an·10n + an-1·10n-1 +…+ a2·102 + a1·10 + a0, |
(7) |
где коэффициенты ai могут принимать значения из множества {0,1,2,...,9}.
Известны и другие системы счисления, которые использовались народами мира. К примеру, система с основанием 60, которой пользовались ещё шумеры и вавилоняне, до сих пор используется в делении часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, делении углов на 360 градусов, 180 градусов и т.д.
Почему побеждает десятичная система? Одной из причин является эффективность выполнения вычислений в такой системе по сравнению с другими системами. До появления компьютеров десятичная система счисления полностью господствовала при выполнении расчётов, а интерес к другим системам счисления носил исторический или познавательный характер. Но когда появились компьютеры, возникла задача сделать электронные вычислительные машины (ЭВМ) наиболее компактными и экономичными. Это привело к детальному изучению систем счисления с целью нахождения наиболее подходящей системы. По целому ряду причин (в основном физического и экономического характера) преимущество было на стороне двоичной системы счисления. Основой этой системы является число 2, по степеням которого подобно разложению (7) изображается произвольное целое число. То есть, если a = anan-1…a2a1a0, то
|
a = an·2n+ an-1·2n-1+…+ a2·22 + a1·2 + a0, |
(8) |
где ai∈{0,1}.
Например,
|
202110 = 111 1110 01012, |
(9) |
Единственным недостатком двоичной системы является то, что от нас требуются определенные усилия для того, чтобы чувствовать себя в этой системе как дома, поскольку мы привыкли к десятичной системе. Поскольку числа должны вводиться в компьютер в двоичной системе, которые обычно записаны в десятичной системе, то нужно иметь устройство, которое переводит их в двоичную систему, а результаты вычислений выдавать в десятичной системе. Перевод десятичного числа n в двоичную систему выполняется путём деления на основание двоичной системы 2. Например, числа 2021 и 670 в двоичной системе имеют такие разложения:
Следовательно, 202110 = 111 1110 01012, а 67010 = 10 1001 11102, что и было приведено в (9).
Перевод двоичного изображения чисел в десятичное изображение выполняется сложением степеней двойки, коэффициенты при которых отличны от нуля.
Например, 10100111102 = 1·29+1·27+1·24+1·23+1·22+1·2=512+128+16+8+4+2=67010.
5.1. Изображение отрицательных и дробных чисел
Выше речь шла о двоичном изображении целых положительных чисел. Но ЭВМ должна выполнять действия и над отрицательными и дробными числами.
Отрицательное число изображается двоичным числом, к которому прибавляется один двоичный разряд, называемый знаковым битом. Этот бит указывает знак числа, изображённого двоичным числом в так называемом дополнительном коде. Такое изображение при выполнении операций сложения и вычитания даёт возможность не контролировать знак результата. Смысл такого изображения состоит в следующем.
Неотрицательные числа из интервала [0, 2n–1] изображаются с основанием 2 длины n со старшим разрядом, значение которого 0. Пусть число x из этого интервала изображается x= anan-1…a2a1a0 с основанием 2, где an = 0. Тогда –x будет изображаться в виде дополнительного кода
–x= ān ān-1… ā1 ā0+1,
где āi=1–ai, ān=1, а операция + является обычным сложением. Например, числа 7 и -7 будут иметь такие изображения:
7=01112, –7=10012 и 5–7=0101+1001=11102,
а 1110 – дополнительный код числа – 2 (2=0010, т.е. –2=1101+1=1110).
Рассмотрим изображение дробных чисел, представленных в виде десятичной дроби. Покажем его сначала на примере. Пусть n = 2,367, тогда отдельно изображаем целую часть двоичным числом – 10, а затем изображаем дробную часть следующим образом: - умножаем 0,367 на основание 2, дробную часть результата снова умножаем на 2 и т. д., до тех пор, пока не достигнем заданной точности.
Следовательно, 2,367 = 10,010112, где числа после запятой есть целыми значениями в правых частях вышеприведенного разложения. Перевод этого изображения в десятичную дробь дает число
Отсюда мы видим, что точности изображения не хватает, следовательно, нужно продолжить разложение, увеличивая тем самым точность изображения числа.
Рассмотрим более подробно способы приближения числа и достижения точности выполнения операций над числами.
5.2. Приближение целыми числами
При округлении рационального числа путем замены его ближайшим целым числом погрешность не превышает 0,5. Такая же погрешность будет и при замене иррационального числа ближайшим целым числом, поскольку справедлива такая теорема.
Теорема 4. Каждому иррациональному числу α соответствует единственное целое число m, такое, что
.
Доказательство. Возьмём целое число m, ближайшее к α, например, если α = √3 = 1,73…, то берём m = 2, а если α = 2√3 = 3,46… берём m = 3. Отсюда видно, что m может быть как первым целым числом, большим α, так и последним целым числом, меньшим α, в зависимости от того, к какому из этих двух чисел α ближе.
Понятно, что к одному из этих чисел α ближе, чем к другому, поскольку в противном случае α находилось бы в точности посредине между двумя последовательными числами, между n и n + 1 и оно было бы равным числу n + ½. А это противоречит иррациональности числа α. Следовательно, m находится строго между α–½ и α+½, то есть
или, вычитая α, получаем
.
Но тогда α – m тоже будет находиться между –½ и ½. Таким образом, неравенство доказано.
Покажем единственность числа m. Предположим, что существует другое целое число n, для которого –½ < α – n < ½ а также, –½ < n – α < ½. Прибавляя к каждой составляющей этого неравенства a, видим, что n должно удовлетворять неравенству
α – ½ < n < α + ½.
Но между
α – ½ и α + ½
находится лишь одно целое число, и потому n = m.
5.3. Приближение рациональными числами
Из предыдущего подраздела следует, что иррациональное число приближённо выражается целым числом с точностью до 0,5. В большинстве вычислений этой точности мало и практика показала, что приближение рациональными числами иррационального числа можно выполнить с какой угодно заранее заданной точностью. Обратимся к примеру.
Пример 2. Один из способов изображения иррационального числа, например √2, состоит в том, чтобы использовать его десятичное изображение: √2=1,41421…
Числа 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421, ... являются последовательностью, члены которой все точнее и точнее приближаются к √2. Все такие приближения являются рациональными числами и мы получаем бесконечную последовательность рациональных приближений к √2:
|
|
(10) |
Более того, имеют место следующие неравенства:
и т.д.
Отсюда следует, что бесконечное число членов последовательности (10) находятся так близко к √2, как мы того потребуем. Но все рациональные числа в (10) имеют знаменатели, являющиеся степенями 10. Оказывается, что произвольное иррациональное число можно приблизить к рациональному числу, знаменатель которого может быть произвольным.
Теорема 5. Пусть β - произвольное иррациональное число и n – произвольное положительное целое число. Тогда существует такое рациональное число m/n со знаменателем n, что 
.
Доказательство. Рассмотрим число nβ, которое на основании теоремы 3 иррациональное. Найдем теперь m, ближайшее к nβ целое число. На основании теоремы 4 –½ < nβ – m < ½ .
Разделив эти неравенства на положительное число n, получаем . А это доказывает теорему.
Пример 3. Найдем числа n/m, о которых идет речь в теореме 5.
Решение. Вычисления показывают, что ближайшими целыми числами к числам √2, 2√2, 3√2, 4√2, 5√2, 6√2, 7√2, 8√2, 9√2, 10√2 являются числа 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14. Следовательно, искомыми рациональными числами будут 1/1, 3/2, 4/3, 6/4, 7/5, 8/6, 10/7, 11/8, 13/9, 14/10. Ошибка приближения каждого из этих чисел меньше, чем 1/2n, где n – число в знаменателе.
Сделаем в заключение одно замечание общего характера. Множество рациональных чисел, как следует из сказанного, состоит из дробей вида m/n, где m и n – целые числа. Это позволяет при вычислениях значений рациональных дробей манипулировать только целыми числами, изображая m/n парой (m, n). Например,
Тогда операции выглядят так:
Такой способ позволяет операцию деления числителя на знаменатель выполнять последней, что увеличивает точность вычислений. Например,
Непосредственное вычисление даёт значение 4,6(6).
В заключение нашего рассмотрения чисел заметим, что когда речь заходит о точности вычислений, то единственные числа, которые мы умеем точно вычислять, это целые числа и то лишь относительно операций сложения, вычитания и умножения. Кроме того, даже эти операции требуют осторожности, поскольку их точность зависит от разрядности компьютера. Таким образом, всё, что вычисляется, вычисляется с некоторой точностью, на которую влияет как природа самих чисел, так и возможности компьютерной техники. Для того чтобы разрядность ЭВМ не влияла на точность вычислений, используются языки программирования, которые манипулируют с типами данных «список». Такой тип данных позволяет при вычислениях не зависеть от технических характеристик ЭВМ.
Нижеследующий список литературы имеет особенность. Для первого знакомства с числами рекомендуются книги 4), 5), а для более глубокого знакомства – книги 1), 2), 3).
Литература:
1. Бородін О.І. Теорія чисел. – Київ: Радянська школа. – 1965. – 261 с.
2. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Просвещение. – 1966. – 383 с.
3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука. – 1972. – 167 с. 4.
4. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука. – 1980. – 125 с.
5. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю., Крафт Х., Янцен Э. Живые числа. Пять экскурсий. – М.: Мир. – 1985. – 126 с.
[1] Пифагорейцы – представители школы Пифагора.
С.Л. Крывый, д.ф.-м.н., профессор;
В.П. Шевченко, к.ф.-м.н., доцент;
Киевский национальный университет имени Траса Шевченко
По теме:
Основатель и издатель
Copyright © 2016–2021 Научно-популярный