В XII веке недалеко от Парижа в дикой, болотистой долине был основан монастырь Пор-Рояль. В 1626 г. женская община монастыря перебралась в новую, более обширную обитель, построенную в Париже. Освободившееся строение, называемое теперь загородным Пор–Роялем, было отдано, выражаясь современным языком, интеллектуалам, склонным к уединённой, созерцательной жизни, одухотворённым идеей покаяния и поиска истинного блага и смысла человеческого существования.

В 1655г. загородная община пополнилась новым, уважаемым собратом – тридцати двух летним Блез Паскалем, вся дальнейшая жизнь которого была связана с этим уединённым и благочестивым местом. Что послужило тому причиной? Почему автор нескольких выдающихся работ по началам теории вероятности, гидростатике и другим проблемам, решил отойти от мирской суеты, расстаться со светским обществом и начать вести по существу монашеский образ жизни, сохраняя, правда, известную самостоятельность и независимость? Судя по высказываниям самого Паскаля, поиск истинной веры и желание преломить христианское учение к реалиям жизни привели его к такому решению.

В Пор–Рояле Паскаль вёл аскетический образ жизни: вставал в пять утра к раннему богослужению, питался весьма скромно, свободное время посвящал философии и теологии, приступив к фундаментальному сочинению по религии «Апология христианства», стремясь передать в нем своё видение мира через призму христианского учения.

Забегая вперёд, скажем, что Паскалю не удалось завершить свой труд – смерть оборвала его титаническую работу. Но на основании его обширного наследства, включавшего вполне законченные тексты по отдельным вопросам, друзья Паскаля через восемь лет после его кончины издали в Париже в 1670 г. труд под названием «Мысли господина Паскаля о религии и некоторых других вопросах, найденные после его смерти в его бумагах». Переведённая на множество языков, в том числе и на русский, эта книга многократно издавалась в разных странах мира под более сокращённым названием «Мысли». Каждое высказывание, каждая мысль «Мысли» – это итог раздумий и наблюдений интеллектуала, наделённого особым, глубинным зрением на природу и поведение человека, его разум и инстинкты, светлые и тёмные стороны человеческого бытия.

Вновь возвратимся в Пор–Рояль, где жил Паскаль, полностью поглощённый своим сочинением о религии, а вернее, о людях и жизни. Однако Паскаль недолго пребывал в таком благостном для него состоянии: не помогли ни уединение и тишина кельи, ни высокие стены монастыря. Вскоре он оказался в эпицентре самого громкого скандала по проблемам морали и нравственности, разразившегося во Франции в середине XVII века.

Вот суть происшедшего. Глава общины Пор–Рояля – видный теолог и философ Арно – за одно из своих сочинений был осуждён собранием теологов богословского факультета университета Сорбонны и фактически отлучён от церкви, что грозило ему заключением в Бастилию. Арно обратился с просьбой к Паскалю сочинить текст возражения неправедному суду, попавшему под влияние иезуитов. Сочинение Паскаля в форме анонимного письма под названием «Письмо к провинциалу одного и его друзей по поводу прений, происходящих теперь в Сорбонне» и последовавшие за ним ещё 17 писем, тайно распространяемые в Париже, с одобрением и захватывающим интересом читала вся мыслящая Франция. Письма словно всколыхнули страну и явились сокрушительным ударом по ордену иезуитов. Каким отчаянно смелым человеком, каким поборником справедливости надо было быть, чтобы совершить такой поступок.

К чести парижан следует сказать, что, несмотря на все усилия королевского двора, ни автор писем, ни типография, где они печатались, так и не были обнаружены. В 1660г. постановлением Государственного Совета Франции книга «Письма к провинциалу» была запрещена, а обнаруженные экземпляры сожжены в торжественной обстановке с соблюдением действующего ритуала. Это сожжение книги последовало вслед за решением римского папы о внесении её в индекс запрещённых книг, как произведения еретического характера. Решение, правда, было запоздалым, ибо начиная с 1657 г. уже вышло несколько изданий «Писем к провинциалу», разошедшихся по разным европейским странам.

Сам автор так откликнулся на вынесенный приговор своим «Письмам»: «Не только не раскаиваюсь, но если бы мне пришлось снова писать, я придал бы им ещё большую силу». «Письма» остались целы в сотнях экземплярах у смелых французов и преспокойно дожили до наших дней. Перефразируя слова Флобера, можно сказать, что Паскаль своими письмами словно «проветрил» Францию в XVII веке.

Прошёл год после опубликования последнего письма, страсти немного поутихли, и Паскаль возобновил работу над «Апологией христианства». И вновь размеренный труд был внезапно прерван, на сей раз болезнью. Вот как рассказала о случившемся племянница и крестница Паскаля Маргарита Пертье, духовно очень близкий ему человек.

Передадим её рассказ в сокращённом виде. Зубная боль, которой страдал Паскаль, к ночи усилилась. Чтобы отвлечь своё внимание от этой боли, он решил заняться математикой, которой не касался уже много месяцев. Паскаль вспомнил задачу, связанную с фигурами, образуемыми циклоидой, которую ранее не мог решить. Теперь же всего за одну ночь он нашёл искомое решение. Незаметно прошла и зубная боль.

Через несколько дней по совету своих друзей по религиозной общине Паскаль разослал всем известным ему геометрам (так называли в то время математиков) письмо с приглашением принять участие в конкурсе на решение шести задач по циклоиде. За победу на конкурсе было назначено солидное вознаграждение в размере 60 пистолей. Необходимо было согласно условиям конкурса определить площадь, объем и центр тяжести нескольких фигур, образованных с помощью циклоиды.

На конкурс было отведено полтора года. Установленное время прошло, но никто из участников не смог представить полного решения задачи. И тогда Паскаль раскрыл своё доказательство, а 60 премиальных пистолей использовал на печатание труда, в котором раскрыл секреты, связанные с циклоидой.

А теперь, спустя 360 лет, давайте и мы включимся в объявленный Паскалем конкурс по решению одной из его задач. Приведём сначала уравнение циклоиды – кривой, описываемой точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой, – в параметрической форме:

где r – радиус окружности, t=α /2π, α –угол поворота окружности.

При одном полном повороте окружности на угол, равный α=2π параметр t=1.

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции и её площадь показаны на рис.2.

Если Вы знаком с интегральным исчислением, то три из названных выше параметров: координаты центра тяжести и площадь фигуры, образованной циклоидой, можно определить по формулам

Результаты расчета по ним для пяти случаев приведены в табл.1

А теперь обратимся к еще одной математической работе Паскаля – «Трактату об арифметическом треугольнике», изданной в 1654 г. и вошедшей в математику под именем «Треугольник Паскаля». Этот равнобедренный треугольник представляет собой таблицу чисел, в любой из строк которой по краям стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предыдущей строке (рис.3).

Поскольку сумма чисел n–ой строки треугольника равна 2ⁿ, то при переходе от одной строки к следующей сумма членов удваивается. Главное же заключается в том, числа каждой строки треугольника Паскаля есть коэффициенты разложения бинома Ньютона:

где биноминальный коэффициент при k -ом члене :

Дополнения

1. Если же Вы еще не овладели интегральным исчислением, то поступите следующим образом: на листе с сеткой координат (это может быть и тетрадка в клеточку) постройте циклоиду и по количеству клеточек, находящихся внутри фигуры (рис.2), определите площадь фигуры S . Полученный результат сравните с цифрами, приведенными в табл.1.

2. Продолжите строить треугольник Паскаля еще на две-три строчки, рассчитывая члены согласно формуле (4) или приведенному выше правилу.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА