Начало в №2, 2016

2. Результаты Клапейрона

В 1834 году Бенуа Клапейрон изучил работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развить эту силу» и по достоинству оценил открытия, сделанные С. Карно.

Клапейрон ознакомил широкую научную общественность своего времени с идеями Карно и развил их далее в своих работах. Клапейрону удалось формализовать принцип Карно, придав ему графическую и аналитическую форму, и вывести формулу для вычисления коэффициента полезного действия (КПД) тепловой машины.

Полезная работа A в цикле Карно равна

A = Q₁ – Q₂,

где Q₁ – количество тепла в рабочем теле до выполнения работы, Q₂ – количество тепла в рабочем теле после выполнения работы.

Клапейрон также выяснил, что количество тепла в конкретном тепловом цикле пропорционально температуре, т.е. Q = λ∙T, где λ – константа. КПД (η) действия машины Клапейрон определил как отношение работы к затраченной теплоте:

где T₁ и T₂ – температура рабочего тела до и после выполнения работы.

Кроме того, Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона, часто записываемое в форме уравнения Менделеева-Клапейрона), которое обобщает закон Бойля-Мариотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля и позволяет пересчитать объем 1 моля газа для произвольных значений температуры и давления.

Результаты, полученные Карно и Клапейроном, позволили вплотную подойти к возможности введения понятия энтропии в термодинамике. Образно говоря, их достижения в исследованиях по термодинамике образуют своеобразную предысторию возникновения в науке понятия энтропии. Автором понятия «энтропия» можно назвать преподавателя физики в Цюрихской школе Рудольфа Клаузиуса, который в 1850 году первым сформулировал второе начало термодинамики как закон о том, что теплота не может сама собой перейти от более холодного тела к более горячему.

В 1851 году Уильям Томпсон, профессор натуральной философии в университете Глазго, дал несколько иную формулировку второго начала термодинамики и предложил использовать термин «энтропия» для меры превращений энергии. Как отмечалось выше, термин «τροπη» в переводе с греческого языка означает «изменение», «превращение», «преобразование», «обращение внутрь». При этом учитывался тот факт, что эта величина как раз и является мерой превращения тепловой энергии в механическую энергию, и наоборот.

3. Термодинамическое определение энтропии

Рудольф Клаузиус ввел представление о новой термодинамической величине, которую он назвал термодинамической энтропией. Подставляя соотношения из уравнения для КПД (η) в выражение для полезной работы A, для цикла Карно получаем соотношение

A=Q₁–Q₂=Q₁ ∙

Следовательно, в цикле Карно справедливы пропорции  или . Таким образом, в цикле Карно значение отношения Q/T является постоянной величиной. Этой постоянной величине и было дано название энтропия.

Результаты Клаузиуса так и остался бы известным лишь специалистам по теплофизике, если бы идея о превращениях энергии не была распространена на все процессы. Более того, Уильям Томпсон распространил эту идею на всю Вселенную и, основываясь на втором начале термодинамики, пришел к выводу о неизбежности тепловой смерти Вселенной.

Тепловая смерть – это термин, характеризующий конечное состояние любой замкнутой термодинамической системы и, в частности, Вселенной. Согласно второму началу термодинамики, любая физическая система, не обменивающаяся энергией с другими системами (для Вселенной в целом такой обмен, очевидно, невозможен), стремится к наиболее вероятному равновесному состоянию, т.е. к состоянию, обладающему максимально возможным значением энтропии.

Для Вселенной такое состояние и представляет собой её тепловую смерть. Споры о неизбежности тепловой смерти Вселенной не утихают до сих пор. При этом трудно сказать, что больше движет участниками этой научной дискуссии: желание дойти до самой сути и выяснить истинную судьбу видимого мира, эсхатологические ожидания или инстинкт самосохранения.

Малопонятный, но звучный, термин «энтропия» и, в первую очередь, апокалиптический сюжет с тепловой смертью Вселенной сделали свое дело и об энтропии заговорили все: от философов и теологов до журналистов и простых обывателей, при этом каждый вкладывал в это слово свой смысл. Из чисто научного термина постепенно «энтропия» превратилась в обыденное слово. В сознании широкой публики второе начало термодинамики и по сей день окружено величественным нимбом загадочности.

Об энтропии пишут стихи и песни, читают лекции, как научные, так и популярные. Тем не менее, доминирует мнение, что просто и доступно объяснить суть этого понятия невозможно.

4. Статистическое определение энтропии

Крупнейший учёный Людвиг Больцман потратил значительную часть жизни, стараясь объяснить смысл энтропии.

Сразу отметим, что переоценить вклад Больцмана в учение об энтропии невозможно.

Один из ведущих специалистов в области кинетической теории и статистической физики, известный итальянский физик-теоретик Карло Черчиньяни (1939-2010), написавший биографическую книгу о Л. Больцмане, следующим образом характеризует важность его работ в этой области: «Только хорошо поняв второе начало термодинамики, можно ответить на вопрос, почему вообще возможна жизнь».

Все живые существа вынуждены постоянно поддерживать в порядке свои форму и структуру, борясь с всеобщей тенденцией к рассеянию, беспорядку и хаосу. Клаузиус считал, что именно эту тенденцию и описывает второе начало термодинамики.

В 1877 году Людвиг Больцман установил связь энтропии с вероятностью состояния системы. Несколько позже Макс Планк представил эту связь в виде следующей формулы: S = k∙lnW, где S – энтропия термодинамического состояния системы, k – постоянная Больцмана, W – статистический вес состояния системы, который равен числу возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние системы.

Значение постоянной Больцмана в Международной системе единиц СИ равно k = 1,3806∙10 ^{– 23} Дж/K.

Очевидно, числовое значение постоянной Больцмана очень мало. Название константе k предложил Макс Планк.

Альберт Эйнштейн (1879-1955) назвал этот постулат принципом Больцмана. Принцип Больцмана положил начало статистической механике, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонент.

Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы (W) с одним из ее термодинамических свойств (S). Согласно определению, энтропия является функцией состояния, т.е. не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния.

Так как W может быть только натуральным (и, наверняка, большим двойки) числом, то, исходя из свойств логарифма, можно утверждать, что энтропия Больцмана всегда принимает только неотрицательные значения.

Больцману удалось дать кинетическую интерпретацию энтропии. Он показал, что логарифм числа W равновероятных микросостояний термодинамической системы обладает всеми свойствами термодинамической энтропии Клаузиуса, а умножение логарифма числа W на постоянную Больцмана и дает функцию, которая полностью тождественна (в физическом смысле) размерной энтропии Клаузиуса.

Людвиг Больцман, вводя физико-статистическое определение энтропии, заметил, что энтропия характеризует недостающую информацию о системе.

Следовательно, энтропия представляет собой меру неполноты информации о системе.

Таким образом, Больцман первым разглядел информационный смысл энтропии. Лишь через 80 лет теоретико-информационная интерпретация энтропии стала общепризнанной.

Несомненно, формула S = k∙lnW является удивительным научным открытием Больцмана. Поначалу научное сообщество восприняло идеи Больцмана об энтропии с недоверием и даже враждебностью.

Но, в конце концов, научный подвиг Больцмана по выявлению кинетической и информационной природы энтропии был оценен по достоинству. Неслучайно на надгробном камне могилы Людвига Больцмана, расположенной на Центральном кладбище Вены, выбита формула «S = k∙log W».

5. Энтропия Гиббса

В 1876 году Джозайя Гиббс в своей фундаментальной работе «Основные принципы статистической механики» ввел энтропию, используя распределение плотности вероятностей состояний.

В 1901 году Гиббс был удостоен Медали Копли Лондонского королевского общества, высшей награды международного научного сообщества того времени. Медаль Копли учреждена в 1731 году и вручается ежегодно только одному ученому за достижения в какой-либо из областей науки.

Гиббсу была присуждена Медаль Копли за то, что он стал «первым, кто применил второй закон термодинамики для всестороннего рассмотрения соотношения между химической, электрической и тепловой энергией и способностью к совершению работы».

Основные работы Гиббса относятся к химической термодинамике, математической теории термодинамики и статистической физике. Гиббс разработал так называемые энтропийные диаграммы, играющие большую роль в технической термодинамике, показал, что трехмерные диаграммы позволяют представить все термодинамические свойства вещества.

Интерес Гиббса к исследованию вопросов равновесия и энтропии подтверждает тот факт, что в качестве эпиграфа к одной из своих статей Гиббс выбрал крылатую фразу Клаузиуса: «Энергия мира постоянна. Энтропия мира стремится к максимальной».

Впрочем, справедливости ради, отметим, что в последнее время ряд учёных выражают сомнения различной степени в справедливости принципа возрастания энтропии. Энтропия Гиббса представляет собой некоторый интеграл, обобщает энтропию Больцмана и стала первым существенным обобщением понятия энтропии со времени Клаузиуса.

Отметим, что Гиббс в своих исследованиях по термодинамике и теории энтропии опирался, прежде всего, на работы Клаузиуса и Гельмгольца.

Уже в своих первых научных работах при изучении процессов брожения и теплообразования в живых организмах Гельмгольц пришел к формулировке закона сохранения энергии.

Впоследствии идеи Гиббса были развиты такими крупными физиками, как Джеймс Максвелл и Макс Планк.

Максвелл одним из первых ввел в физику статистические представления, показал статистическую природу второго начала термодинамики, получил такие важные результаты в молекулярной физике и термодинамике, как термодинамические соотношения Максвелла, правило Максвелла для фазового перехода жидкость-газ.

В 1867 году Максвелл придумал мысленный эксперимент, иллюстрирующий кажущееся нарушение второго начала термодинамики. Этот мысленный эксперимент принято называть «демоном Максвелла», как и главного персонажа этого эксперимента.

Демон Максвелла – это воображаемое разумное существо микроскопического размера, позволяющее в сосуде, наполненном газом и разделенном пополам непроницаемой перегородкой, проникать быстрым (горячим) молекулам газа только из левой половины сосуда в его правую половину, а медленным (холодным) молекулам – только из правой половины в левую.

Через большой промежуток времени горячие молекулы газа окажутся в правой половине сосуда, а холодные – в левом. Таким образом, получается, что демон Максвелла позволяет нагреть правую часть сосуда и охладить левую без дополнительного подвода энергии к системе.

Энтропия для системы, состоящей из правой и левой частей сосуда, в начальном состоянии больше, чем в конечном, что противоречит термодинамическому принципу неубывания энтропии в замкнутых системах.

Интересно отметить, что Максвелл с чисто механической точкой зрения не являлся сторонником второго начала термодинамики. Однако Максвелл был первым, кто осознал статистический характер второго начала.

Согласно Максвеллу, оно может нарушаться отдельными молекулами, но остается справедливым для больших совокупностей частиц. Для иллюстрации этого положения Максвелл и предложил парадокс, известный как «демон Максвелла» (термин предложен Томсоном, сам Максвелл предпочитал слово «клапан»).

Парадокс демона Максвелла был разрешен уже в X X веке в работах польского физика Мариана Смолуховского (1872-1917), указавшего на роль флуктуаций в самом управляющем элементе, и американского физика Лео Сциларда (1898-1964), показавшего, что получение «демоном» информации о молекулах приводит к повышению энтропии.

Таким образом, второе начало термодинамики не нарушается. В 2010 году мысленный эксперимент «демон Максвелла» в реальности удалось реализовать группе физиков из двух японских университетов (Тюо и Токийского университета).

Интересно отметить, что научные труды Гиббса привлекли к себе большое внимание и повлияли на деятельность многих учёных, работавших в самых разных областях науки, в том числе и в экономической науке.

Так, американский инженер Говард Скотт (1890-1970) призывал активно применять результаты Гиббса, полученные им в термодинамике, векторном анализе и математической физике, в сфере исследования экономических и других социальных явлений.

В 1932 году Скотт написал эссе об энергетической регуляции экономики «Термодинамическая интерпретация социальных явлений».

Скотт цитировал Гиббса как интеллектуального научного праотца концепций технократии. Особенное влияние на Скотта оказали работы Гиббса в термодинамике и линейном векторном анализе.

Идеи, которые Скотт почерпнул из этих работ, привели к понятиям расчета энергетических потребностей (энергетического учета).

Энергетический учет – это система, используемая в системах энергетического управления, где измерение и анализ энергетического потребления осуществляется с целью улучшения энергетической эффективности в пределах организации.

Энергетическая экономика относится к направлению экономической мысли, называемому «термоэкономика», широкой научной предметной области, которая изучает снабжение энергией и ее использование в обществе.

Термоэкономисты утверждают, что экономические системы всегда включают в себя вещество, энергию, энтропию и информацию. Более того, целью экономической деятельности является достижение определенной структуры.

Имеются и термоэкономические попытки применения для моделирования экономической деятельности, как теории неравновесной термодинамики, изучающей структурные образования, называемые диссипативными структурами, так и теории информации, в которой центральной конструкцией является информационная энтропия. При этом функцией экономической деятельности считается создание недостающих ресурсов из естественных потоков энергии и материи.

В терминологии термодинамики, экономическая деятельность представляет собой развитие диссипативной системы, осуществляемое за счет превращения и обмена ресурсами, товарами и услугами. Эти процессы включают в себя комплексные сети потоков энергии и материи.

Отметим также, что в экономику концепцию энтропии первым ввел американский экономист румынского происхождения Николас (Николае) Джорджеску-Реген (1906-1984).

Одно из главных произведений Джорджеску-Регена называется «Закон энтропии и экономический процесс». Дальнейшее развитие идей Джорджеску-Регена привело к течению экономической мысли, которое называют «экологическая экономика».

В частности, последователи экономических взглядов Джорджеску-Регена, основоположники экологической экономики американский ученый Герман Эдвард Дейли (род. 1938) и японский учёный Козо Маюми (род. 1954) распространили теорию Джорджеску-Регена об энтропии на исследования в энергетическом анализе.

Интересно, что работы Гиббса оказали существенное влияние на формирование научных взглядов известного американского экономиста, первого президента (1931-1934) Международного эконометрического общества Ирвинга Фишера (1867-1947), работы которого по количественной теории денег привели к возникновению в середине XX века макроэкономической теории монетаризма, являющейся одним из главных направлений неоклассической экономической мысли.

А.В. Сигал, доктор экономических наук, Крымский университет имени В. И. Вернадского, г. Симферополь