Теория вероятностей с определённой степенью надёжности может предсказать численные показатели таких разнородных событий, как рождаемость людей и урожай зерновых, время появления пятен на Солнце и котировку акций на фондовом рынке, результаты выборов и рост населения и многое другое.

А ведь все началось с такого малопочтенного занятия, как азартные игры. И потому приведем немного исторических фактов о том, почему умные и благородные люди углубились в изучение проблемы, связанной с повышением вероятности выигрыша в азартных играх.

Теория вероятностей как наука зародилась в середине XVII – начале XVIII века. У ее истоков стояли такие выдающиеся ученые как Пьер Ферма, Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс.

Толчком к тому, чтобы они занялись проблемой азартных игр, явился кавалер де Мере, обратившийся с письмом к Паскалю по поводу так называемой «задачи об очках».

Де Мере – философ и литератор – интересовался математикой и состоял в переписке со многими видными учеными своего времени.

В письме к Паскалю он пишет: «Вы знаете, что я открыл редкие вещи, которые почтенные математики никогда не обсуждали. О моих открытиях писали Вы, Ферма и Гюйгенс, которые ими восхищались. Эта наука имеет много любопытных вещей, но которые мне кажутся не очень полезными».

Вот суть первой задачи, с которой де Мере обратился к Паскалю. Двое бросают игральную кость, которая, как хорошо известно любому ребенку, представляет собой кубик с нанесенными на его грани точками – от 1 до 6. При бросании наверху может оказаться любая грань. Предположим, что для выигрыша вам нужна грань с 6-ю точками. Начиная с какого по счету броска, вероятность того, что выпадет именно эта грань, будет наиболее велика, чем иной результат?

Приведем содержание второй задачи. Теперь одновременно подбрасываются две одинаковые игральные кости. Начиная с какого броска вероятность того, что одновременно выпадут две шестерки, будет наиболее велика?

Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этих, а также некоторых других аналогичных задач, результатом чего явилось установление ими некоторых общих положений, которые в дальнейшем легли в основу теории вероятностей.

Чуть позже к ним присоединился приехавший в Париж Гюйгенс, выпустивший в 1657 г. книгу «О расчетах при азартных играх», явившуюся первой крупной работой по теории вероятности.

Возвратимся к двум задачам, поставленных де Мере, и постараемся с вами их решить.

1-я задача кавалера де Мере с подбрасыванием одной игральной кости. При первом броске вероятность выпадания любой из шести граней равна 1/6.

Следовательно, вероятность того, что грань с желательным для вас результатом (грань с шестью точками) не выпадет: Q = 5/6.

При втором броске эта вероятность нежелательного результата будет равна:

Q = (5/6)·(5/6) = 25/36 = 0,69444.

Следовательно, желаемый для вас результат при общей вероятности всех событий, равной 1, составит: Р = 1 – Q = 0,30556.

Продолжим наши рассуждения согласно данному алгоритму.

При 3-м броске: Q =(5/6)³ = 0,57870 и Р = 1 – Q = 0,42130.

При 4-м броске: Q =(5/6)⁴ = 0,48225 и Р = 1 – Q = 0,51775.

При 5-м броске: Q =(5/6)⁵ = 0,40188 и Р = 1 – Q = 0,59812.

Прервем наши вычисления. Из них видно, что уже после 4-го броска игральной кости вероятность того, что мы получим желаемый результат превысит противоположный в отношении 0,51775 : 0,48225=1,0736 раза, а после 5-го в 1,4883 раза.

Итак, если вы вступите в подобную игру, то знайте, что только после четырех подбрасываний игральной кости задуманная вами цифра начнет приносить успех и вероятность выигрыша превысит вероятность проигрыша.

Отталкиваясь от полученного результата, на основе метода индукции составим общую формулу расчета вероятности наступления события при подобного рода играх или протекании каких-либо аналогичных событий, укладывающихся в рассмотренную схему:

где К – число вариантов разных равновероятностных ситуаций, N – число повторения выбранного варианта.

Из (1) получим :

По формуле (2), задавшись вероятностью Р наступления ожидаемого события, можно рассчитать требуемое число вариантов испытаний N.

Рассмотрим такой пример. Вы пришли в казино. Перед вами круг, на котором написаны цифры от 1 до К. В каждом сеансе игры вы ставите на одну и ту же цифру. Как связана вероятность выигрыша с числом ваших ставок?

Результаты расчета числа испытаний по формуле (2) при числе угадываемых вариантов К=10 в зависимости от значения вероятности выигрыша Р в пределах от 0,1 до 0,9 приведены в таблице 1. Вычисленные значения числа испытаний N округлены до целого числа в большую сторону (значения М).

Таблица 1

Аналогичные результаты расчета при числе угадываемых вариантов К=50 и разных значениях вероятности Р от 0,1 до 0,9 приведены в табл. 2.

Таблица 2

Из полученных данных следует, например, что для выигрыша с вероятностью не менее 0,5 требуется провести при К=10 не менее 7 игр, а при К=50 – 35 игр.

2-я задача кавалера де Мере с подбрасыванием двух игральных костей. Здесь условия игры усложнены.

Одновременно подбрасываются две игральные кости. Выигрыш считается в том случае, когда одновременно на обеих костях выпадет одно и то же число, например, 6.

При первом броске вероятность выпадания любой из шести граней равна 1/6, а следовательно, вероятность одновременного выпадания одной и той же грани на обеих игральных костях равна 1/36.

Значит, вероятность того, что грань с желательным для вас результатом (грань с шестью точками) не выпадет Q = 35/36.

При втором броске эта вероятность нежелательного результата уже составит:

Q = (353/6)·(35/36) = 0,945216.

Следовательно, желаемый для вас результат (обе грани с шестью точками) при общей вероятности всех событий, равной 1, составит:

Р = 1 – Q = 0,054784.

Продолжим наши рассуждения согласно данному алгоритму.

При 3-м броске: Q =(35/36)³ = 0,918960 и Р = 1 – Q=0,08104 .

При 4-м броске: Q =(35/36)⁴ = 0,893433 и Р = 1 – Q=0,106567.

При 5-м броске: Q =(35/36)⁵ = 0,868615 и Р = 1 – Q=0,131385 .

Отталкиваясь от полученного результата, на основе метода индукции снова составим общую формулу по расчету вероятности наступления события при подобного рода играх или протекании каких-либо аналогичных событий, укладывающихся в рассмотренную схему:

Из (3) получим:

Согласно формуле (4) рассчитаем требуемое число проведения испытаний N, округляемое затем до целого числа М, при числе угадываемых вариантов К=6 (случай, предложенный к рассмотрению кавалером Мере) в зависимости от значения вероятности выигрыша Р.

Результаты такого расчета при изменении вероятности Р от 0,1 до 0,9 и К=6 приведены в таблице 3.

Таблица 3

Из полученных данных следует, что при одновременном подбрасывании двух игральных костей вероятность выигрыша превысит 0,5 только после 25-го броска. Именно такой результат получил Паскаль. Сам кавалер де Мере ошибся на единицу, указав цифру 24.

Конечно, нельзя считать, что теория вероятностей возникла только как отклик на вопросы, выдвинутые азартными играми. Тому были куда более веские причины, такие как необходимость обрабатывать разнообразные статистические данные и потребности страховых обществ в европейских государствах.

Просто случай с кавалером де Мере более ярко высвечивает истоки возникновения новой теории. Тем более что сам Блез Паскаль был человеком исключительно высоких нравственных качеств, значительную часть жизни прожившим в монастыре Пор-Рояль, принадлежавший ордену «Святого Бенедикта».

Паскаль знаменит не только как математик и физик, но и как философ и публицист. Изданная на многих языках книга «Мысли господина Паскаля о религии и некоторых других вопросах, найденные после его смерти в его бумагах» внесла неоценимый вклад в становление европейской цивилизации (см. О французском ученом и философе Блезе Паскале).

Из всего изложенного можно сделать такой вывод: изучайте теорию вероятностей, но не увлекайтесь азартными играми. Надежного пути выигрыша в них нет и быть не может. Там, где правит случай, всё носит вероятностный характер.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА