В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на соискание премии за лучшую работу на тему «О движении твёрдого тела». По условиям конкурса необходимо было усовершенствовать или существенно дополнить теорию по названной проблеме в области механики.

Когда срок конкурса истёк, жюри, составленное из первых математиков Европы, вскрыло конверты, в которых расшифровывались имена авторов-анонимов, принявших участие в конкурсе и подававших свои работы под девизами. Удивлению беспристрастных членов жюри не было предела: автором лучшей из представленных работ оказалась Софья Ковалевская – профессор математики из России, преподававшая в Стокгольмском университете (в России тогда женщинам не разрешали преподавать в университете).

На торжественном заседании Парижской академии наук Софье Ковалевской были вручены диплом и денежная премия. Приведём небольшую выдержку из речи президента академии во время состоявшейся церемонии: «В числе венков, которые мы даём сегодня, один из прекраснейших и труднейших для достижения возлагается на чело женщины. Наши члены из секции «Геометрия» после изучения мемуара, представленного на конкурс, обнаружили в этой работе не только свидетельство широкого и глубокого знания, но и признак ума великой изобретательности».

Тема работы Ковалевской имела такое название: «О движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки». Вариант расположения тела при таком движении приведён на рис. 1.

Ранее данной проблемой занимались такие выдающиеся математики, как Леонард Эйлер (1707–1783), Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) и Симеон Дени Пуассон (1781–1840). Чтобы лучше понять сущность рассматриваемой проблемы, обратимся к частному случаю, связанному с детской игрушкой «волчок».

Как объяснить, почему «волчок» может долго вращаться по ровному полу, выписывая разнообразные фигуры, и только израсходовав на трение свою кинетическую энергию, он с шумом падает? Какая сила придаёт «волчку» устойчивость при вращении, пока его скорость достаточно велика?

Первым в этой замысловатой задаче глубоко разобрался Л. Эйлер, изложив теорию вращения «волчка» для одного из частных случаев в работе «Теория движения твёрдых тел» (1765 г.). Другой частный случай исследовал Лагранж, и на этом дело застопорилось. И вот теперь вслед за титанами математики к решению проблемы, имеющей прямое отношение к процессам, протекающим в природе, приобщилась женщина-математик, на тот момент малоизвестная в научном мире.

В основе исследования Софьи Ковалевской лежат шесть дифференциальных уравнений, определяющих вращение твёрдого тела около неподвижной точки. Такое движение описывается в двух системах координат, одна из которых неподвижна, а вторая, связанная с телом вращения, – подвижна. Начало осей координат подвижной системы совпадает с центром тяжести тела вращения, а направления ориентированы вдоль главных осей инерции.

Суть нового метода, предложенного победительницей конкурса, состояла в применении к решению задачи о вращении твёрдого тела теории функций комплексного переменного. Путём решения системы дифференциальных уравнений было показано, что траектория движения тела носит сложный характер и включает две составляющие: по горизонтальному кругу – так называемую прецессию, с угловой скоростью вращения Ω_ПР, и сравнительно мелкие перемещения по дуге – нутацию.

Примеры вариантов такого сложного движения твёрдого тела показаны на рис. 2.

Из приведённых на рис. 2 примеров следует, что прецессия может быть быстрой, с угловой скоростью Ω_ПР перемещения свободного конца оси тела в неподвижной системе координат, близкой к его собственной скорости вращения Ω, которой соответствует нормированное время прецессии Т_ПР = 2π.

Именно такому случаю соответствуют примеры 1 и 2, для которых Т_ПР = 7 и 8 и, следовательно, угловая скорость Ω_ПР = (2π/Т_ПР) Ω принимает значения Ω_ПР = 0,9Ω и 0,79Ω. В другом случае прецессия может быть медленной, как в примерах 3 и 4, соответственно при Т_ПР = 45 и 17 или Ω_ПР = 0,14Ω и Ω_ПР = 0,37 Ω.

Обе составляющие траектории движения свободного конца тела – прецессия и нутация – зависят от параметров тела и начальных условий.

Быстрое вращение тела, в том числе и «волчка», вокруг оси симметрии придаёт ему устойчивость и является причиной прецессии и нутации. Теория вращения твёрдого тела, заложенная Эйлером и Лагранжем и развитая Ковалевской, имеет прямую связь с явлениями природы и некоторыми техническими устройствами.

Так, вращающиеся небесные тела обладают именно такими качествами, следующими из теории: их оси совершают в космическом пространстве прецессию и нутацию. Например, ось вращения Земли движется по траектории, напоминающей пример 3 на рис. 2.

На использовании свойств быстро вращающегося твёрдого тела основан прибор, называемый гироскопом, который широко применяется в корабельной, авиационной и космической технике. Термин «гироскоп», введённый французским физиком Жаном Бернаром Леоном Фуко (1819-1868), в буквальном переводе означает: «прибор, обнаруживающий вращение».

Главной частью гироскопа (рис. 3) является ротор – массивный круглый диск, вращающийся с высокой скоростью – до 120 и более тысяч оборотов в минуту, благодаря чему прибор имеет большой момент количества движения M= J ω, где J – момент инерции вращающегося ротора, ω – угловая скорость вращения.

Статор гироскопа подвешивается в корпусе ракеты или самолёта таким образом, чтобы обеспечивался его свободный поворот вокруг одной или двух взаимно перпендикулярных осей, что обеспечивает вместе с вращением ротора вокруг главной оси две или три степени свободы. Случай, соответствующий двум степеням свободы, приведён на рис. 3.

Пусть внешнее воздействие на гироскоп создаёт момент М_ВН. Тогда угловая скорость дополнительного движения ротора, связанная с прецессией, составит:

Ω = М_ВН / J ω = М_ВН / М <<1 .

Благодаря малости Ω направление главной оси быстро вращающегося ротора остаётся практически неизменным в пространстве, что и позволяет использовать гироскоп в качестве высокочувствительного датчика углового отклонения направления объекта, на котором установлен прибор, от первоначальной ориентации.

Три степени свободы и быстрое вращение ротора гироскопа сообщают ему способность сопротивляться усилию, стремящемуся изменить направление его оси и плоскость вращения. В результате, несмотря на перемещение объекта, на котором установлен гироскоп, его ось вращения сохраняет своё направление в пространстве в течение определённого времени. Поэтому гироскоп используется для сохранения движения в строго заданном направлении самолёта, ракеты или подводной лодки.

В других случаях гироскопы используются для стабилизации объектов, например, остронаправленных в космос антенн, расположенных на кораблях, подверженных морской качке. Вот какие глубокие корни прорастают порой из науки в практику.

В заключение – несколько слов о самой Софье Ковалевской. Она была незаурядной личностью, с редким, уникальным даром быстро схватывать суть проблемы в самых разнообразных областях знаний – в точных и гуманитарных науках. Немногих людей она считала себе ровней. На то были веские основания: она была и профессором математики с мировым именем, обладательницей высшей премии Парижской Академии, и литератором, правда, в этом качестве была известна немногим современникам.

И внешности Софья Васильевна была замечательной. Близкая подруга, шведская писательница Анна Эдгрен-Леффлер, описывала её так: «У неё был большой рот, с полными, извилистыми свежими губами, очень выразительными, и необыкновенно маленькие, точно детские руки, белые и нежные, с резко выступавшими синими жилками. Меня поразил необыкновенный блеск её глаз. Но в её обращении заметны были при этом некоторая робость и смущение, какая-то сдержанность».

Совместно две подруги – Софья и Анна – написали пьесу «Борьба за счастье». Для Софьи Ковалевской это был отдых от математики. Но личная жизнь у Софьи Васильевны была непростой. Её муж – известный палеонтолог В.О. Ковалевский – покончил жизнь самоубийством, не сумев расплатиться с денежным долгом. Умерла Софья Ковалевская молодой – в возрасте сорока одного года: она простудилась на пароходе, возвращаясь в Швецию после отпуска.

Вот фрагмент одной из речей, произнесённых на Стокгольмском кладбище во время её похорон: «Софья Васильевна! Благодаря Вашим знаниям, Вашему таланту и Вашему характеру Вы всегда были и будете славой нашей Родины. Недаром оплакивает Вас вся учёная и литературная Россия…

Вам не суждено было работать в родной стране, и Швеция приняла Вас. Честь этой стране, другу науки! Особенно же честь молодому Стокгольмскому университету! Но, работая по необходимости вдали от Родины, Вы сохранили свою национальность, Вы оставались верной и преданной союзницей юной России. России мирной, справедливой и свободной, той России, которой принадлежит будущее. От её имени прощаюсь с Вами в последний раз».

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МГТУ МИРЭА

По теме: