ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Основные идеи математического анализа (интегрального и дифференциального исчисления), правда, в механической и в геометрической формах, полностью созрели в последней трети XVII века.

По этому поводу Лейбниц писал: «После таких успехов науки недоставало только одного – нити Ариадны в лабиринте задач именно аналитического счисления по образцу алгебры».

Для окончательного создания интегрального и дифференциального исчисления стало необходимым объединить все существующие общие приёмы, которые применялись для решения различных задач, в единый метод на базе понятия бесконечно малой величины и выработать алгоритм для вычисления производных и интегралов.

Это оказалось под силу двум гениальным учёным – английскому математику, механику, физику, астроному Исааку Ньютону (1643–1727) и немецкому философу и математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646–1716).

Оба учёные сделали открытие независимо друг от друга. И. Ньютон ввёл понятие флюксии (производной, в современном понимании) в 1665–1666 гг. – намного раньше, чем Лейбниц (ввёл дифференциал в 1673–1676 гг.).

Однако И. Ньютон не спешил с публикацией своих работ, а Лейбниц раньше напечатал свои труды. К тому же учёные шли разными путями – И. Ньютон опирался на физические задачи, а Лейбниц – на геометрические. Поэтому их обоих считают основоположниками классического математического анализа.

К основным понятиям и к алгоритму исчисления бесконечно малых Ньютон пришёл в середине 60-х годов XVII века. Первое изложение своего нового аналитического метода он записал осенью 1666 г. в черновом наброске, который назывался «Следующие предложения достаточны для решения задач с помощью движений». В это же время он пишет мемуар «Рассуждения о квадратуре кривых», который опубликовал только в 1704 г.

Исчислению бесконечно малых И. Ньютон посвятил ещё две работы: «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (написана в 1665 г., издана в 1711 г.) и «Метод флюксий и бесконечные ряды» (написана в 1670–1671 гг., издана в 1763 г., уже после смерти автора).

Взгляды Ньютона на исчисление бесконечно малых несколько раз менялись. Вначале, под влиянием И. Барроу и Д. Валлиса, Ньютон оперировал с бесконечно малыми величинами, называя их моментами. Он использовал моменты площадей и построил на их основе свой метод квадратуры.

В 1669 году Ньютон установил чёткую связь между понятиями, которые в дальнейшем станут называться интегралами и производными. Следует отметить, что в то время в явном виде ещё не существовало определений производной, интеграла и бесконечно малых приращений.

В 1671 г. Ньютон отказался от бесконечно малых величин и в труде «Метод флюксий и бесконечные ряды» ввёл свой наиболее известный метод. Он рассматривает математические величины как «порождаемые вследствие непрерывного возрастания, подобно пути, который описывает тело или любой движущийся предмет», и вводит понятие «скорости порождающих их движений». Эти скорости были названы им «флюксиями».

Ньютон ввёл понятие флюент и флюксий в следующих выражениях: «Я буду называть флюентами, или текущими величинами, те величины, которые рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита v, x, e, z...

Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюенты (и которые я называю флюксиями или просто скоростями), я буду обозначать такими же буквами, но с пунктиром (точкой сверху), например ˙v, ˙x, ˙e, ˙z».

Такую символику Ньютон применил в работе «Рассуждение о квадратуре кривых», которую он написал примерно в 1690 г. (опубликовал только в 1704 г.). Ньютон также придумал специальный знак, заменяющий интеграл, – штрих слева и сверху буквы: ´v, ´x, ´e, ´z и т.п. В ранних работах Ньютона применяются только флюксии первого порядка; флюксии высших порядков появляются только в 90-х годах XVII века.

В теории флюксий Ньютон решал следующие две основные задачи.

1. Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути (определение соотношения между флюксиями по заданным соотношениям между флюентами).
2. Определение пройденного за данное время пути по заданной скорости движения (определение соотношения между флюентами по заданным соотношениям между флюксиями).

В переводе на современный математический язык первая задача означает дифференцирование функций, которые зависят от времени. Вторая задача означает интегрирование дифференциального уравнения первого порядка.

Большинство результатов теории флюксий Ньютон получил в 60–70-х годах XVII века, но с публикациями не спешил. Одной из причин этого была недостаточная логическая обоснованность теории флюксий. Ньютон искал методы её обоснования и на этом пути создал метод первых и последних отношений – начальную форму теории пределов.

Этот метод он изложил в своём знаменитом трактате «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

Лейбниц другими путями пришёл к созданию исчисления бесконечно малых. В 1672 г. в Париже он познакомился с Христианом Гюйгенсом (1629–1695), который обратил внимание молодого учёного на математику и, в частности, на задачу об определении суммы чисел, обратных треугольным числам.

Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника.

Последовательность треугольных чисел начинается так: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Так Лейбниц начал заниматься суммированием рядов, которое впоследствии рассматривал как подготовку к созданию дифференциального исчисления. Встречи и беседы с Х. Гюйгенсом показали Лейбницу собственную неосведомлённость в новой математике, и он начал усердно изучать труды Б. Кавальери, Ж. Роберваля, Б. Паскаля, Р. Декарта, Д. Грегори, Д. Валлиса, Н. Меркатора и самого Х. Гюйгенса.

Одержимый полученными знаниями, Лейбниц понял, что в области нового анализа накопилось значительное количество решений отдельных задач, и для открытия общего метода не хватает удобной символики. С 1673 г. мысли по этому поводу не покидали учёного.

Обычно Лейбниц помечал датой свои черновые записи, поэтому в общих чертах можно установить последовательность и временные рамки создания им нового исчисления.

1. Нахождение сумм рядов и применение для этого конечных разностей (в период с 1673 г.).
2. Решение задач на касательные, обобщение характеристического треугольника Паскаля, постепенный перенос соотношений между конечными элементами на бесконечно малые величины.
3. Обратные задачи на касательные, нахождения сумм бесконечно малых разностей, открытие взаимной обратимости дифференциальных и интегральных задач (в период до 1676 г.).

В процессе отыскания общего решения о касательных Лейбниц называет приращение абсциссы и ординаты «бесконечно малыми разностями», а в 1675 г. уже появляется знак d для обозначения бесконечно малого прироста величины, перед которой он поставлен – dx, dy.

Лейбниц рассматривал геометрический смысл производной: находил угловой коэффициент касательной к графику функции. Он пользовался не производной, а дифференциалом и отношением дифференциалов. Вместо известных символов Δx, Δy он писал dx, dy. Здесь d – первая буква латинского слова differentia – разность, так как приращение аргумента и приращение функции – разности их значений. Отсюда и пошло название «дифференциальное исчисление».

В это время Лейбниц вводит знак ∫ с замечанием, что ∫ «означает сумму, а d – разность».

Называя интеграл просто суммой, Лейбниц рассматривал сумму бесконечного количества бесконечно малых разностей, и это сразу определило связь между операциями дифференцирования и интегрирования.

Слово «сумма» швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) в переписке с Лейбницем заменил на «интеграл», с чем последний согласился. В печатном виде интеграл появился в 1690 г. в статье Якоба Бернулли.

Итак, символ (знак) интеграла был введён Лейбницем. Этот знак является стилизацией латинской буквы S (первой буквы слова сумма – summa). Само название интеграл придумал Якоб Бернулли.

Вероятно, это слово происходит от латинского іntegero, что переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Возможно и другое происхождение слова «интеграл», а именно: іnteger означает «целый».

Слово «дифференциал» появилось тоже не сразу. Сначала использовали термины «разница», «дифференция». Отметим, что обозначение дифференциала, производной и большого числа других общеупотребительных символов математического анализа принадлежит именно Лейбницу.

Первую научную работу, в которой излагались основные понятия и методы дифференциального исчисления, Лейбниц опубликовал в мае 1684 г. (написал в 1677 г.). Это был мемуар «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные числа, и особый для этого род исчисления».

Отметим, что в те времена названия мемуаров, трактатов, статей были довольно длинными, и уже по названию можно было понять, о чём идет речь в публикации. Мемуар был напечатан в научном журнале «Acta Eruditorum», основанном Лейбницем в 1682 г. Этот журнал со временем стал одним из ведущих научных изданий мира.

Через два года, в 1686 г., Лейбниц напечатал мемуар «О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин», посвящённый интегральному исчислению. В этой работе подавались приёмы и правила интегрирования многих элементарных функций (с использованием знака интеграла). Здесь устанавливалась связь между интегралом и производной, а также приводилась формула, получившая впоследствии название «формула Ньютона–Лейбница».

Основное значение разработанного Лейбницем математического аппарата заключалось в том, что благодаря чёткости формулировки и удобству символики он стал основой нового исчисления. В то же время проблема обоснования анализа бесконечно малых оказалась не под силу Лейбницу, так же как и Ньютону.

В 90-е гг. XVII в. к разработке математического анализа присоединились два выдающихся швейцарских математика – братья Якоб Бернулли и Иоганн Бернулли. К научным поискам их побудило изучение мемуара Лейбница 1684 г. Братья не сразу смогли понять его смысл и написали Лейбницу письмо с просьбой дать некоторые пояснения. Но в то время Лейбниц путешествовал по Европе, а потому получил письмо и ответил на него только в 1690 г.

К тому времени братья Бернулли не только разобрались с содержанием мемуара, но и получили новые весомые результаты. Лейбниц писал братьям, что он считает их авторами дифференциального исчисления не в меньшей степени, чем он сам.

В 1696 г. появился первый учебник по математическому анализу, который назывался «Анализ бесконечно малых для обозначения кривых линий». Его напечатал французский математик Гийом Франсуа Лопиталь (1661–1704).

Книга состоит из предисловия и десяти глав. В предисловии дан краткий исторический обзор развития нового исчисления.

В книге собраны и приведены в стройную систему многие вопросы исчисления бесконечно малых, которые до этого были разбросаны в разных изданиях. Также в книге приведено правило раскрытия неопределённостей, которое впоследствии получило название «правило Лопиталя».

В предисловии Лопиталь указывает, что он пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на всё, что им угодно». Современников, однако, очень удивило то обстоятельство, что Иоганн Бернулли предъявил Лопиталю претензии на весь учебник полностью.

Книга Лопиталя хорошо написана и содержала много примеров: лёгких, средних и сложных. Именно с появлением этого учебника началось широкое знакомство с анализом бесконечно малых и постепенное проникновение его в математическую практику.

В основу своей книги Лопиталь положил лекции И. Бернулли и то, что он заимствовал из трудов и писем Лейбница и И. Бернулли. Самостоятельными в книге Лопиталя являются лишь отдельные примеры и часть книги, касающаяся исследования особых точек кривых.

Но с точки зрения упорядоченности и размещения материала, доступности и систематичности изложения книга Лопиталя довольно оригинальная и высоко ценилась современниками.

Что до исторической справедливости, то отметим, что И. Бернулли по просьбе Лопиталя (за солидный гонорар) читал ему лекции по новому исчислению, а также предоставлял рукописные конспекты прочитанного. Затем накопленные материалы Лопиталь использовал при написании учебника. Как видим, Лопиталь опередил своего учителя и первым опубликовал учебник математического анализа.

Понятно, что научные результаты, приведенные в книге, преимущественно не принадлежат Лопиталю. В частности, «правило Лопиталя» исторически справедливо было бы называть «правилом Лопиталя–Бернулли».

Таким образом, к концу XVII в. анализ бесконечно малых вышел из стадии формирования и предстал перед научным сообществом в образе новой математической науки. Исчисление бесконечно малых расширялось за счёт различных приложений, однако основные его понятия всё ещё не были строго определены.

Н.В. Шмигевский

По теме: