Деякі проблеми простих чисел пов’язані з адитивною арифметикою (addition – додавання), тобто представленням цілих чисел у вигляді суми також цілих чисел, але певного (наперед заданого) вигляду.
Наприклад, важливою теоремою адитивної теорії чисел є теорема: просте число вигляду 4k + 1 може бути представлене у вигляді суми двох квадратів і до того ж єдиним способом. Цю теорему довів П’єр де Ферма в 1651 році.
(1607–1665)
До нерозв’язаних проблем адитивної теорії чисел відносяться такі знамениті проблеми:
Проблема 9 (проблема Гольдбаха). Будь-яке непарне натуральне число, починаючи з 7, є сумою трьох простих чисел.
Проблема 10 (проблема Ейлера). Будь-яке парне натуральне число, починаючи з 4, є сумою двох простих чисел.
Проблема 11 (проблема Гольдбаха-Ейлера). Будь-яке непарне натуральне число, починаючи з 5, є сумою простого числа і подвоєного квадрата, тобто може бути представлене у вигляді p + 2k2, де p – просте число, k – ціле число.
Проблема 12 (проблема Варинга). Довільне натуральне число n ≥ 2 можна представити у вигляді суми однакових степенів натуральних чисел, а саме n = ak + bk + ck + … + zk, причому кількість доданків залежить лише від показника степеня k.
Проблема 13 (проблема Харді і Литлвуда). Довести, що існує нескінченно багато простих чисел, які можна представити у вигляді суми трьох кубів натуральних чисел.
Христиан Гольдбах, член Петербурзької Академії наук першого її складу, в 1742 р. у листі до Леонарда Ейлера висловив свою гіпотезу (проблема 9), яку він перевірив на багатьох конкретних прикладах. Ейлер відповів, що має свою гіпотезу (проблема 10), з якої, очевидно, зразу ж випливає гіпотеза Гольдбаха. Однак довести ці гіпотези нікому не вдалося ось уже протягом 260 років.
Великого успіху в дослідженні проблеми Гольдбаха (проблема 9) досяг у ХХ столітті відомий російський математик Іван Матвійович Виноградов (1891–1983). Він довів, що будь-яке непарне число, починаючи з деякого числа С, є сумою трьох простих чисел. Праці самого І.М. Виноградова залишили відкритим питання про величину числа С. Але його учні зробили оцінку цього числа: С = еS, де s = е16,038, е = 2,71828...
Що стосується проблеми Ейлера (проблема 10), то в її розв’язанні ще не досягнуто суттєвих успіхів. Можна лише зазначити, що за допомогою сучасних комп’ютерів її справедливість встановлена для всіх парних чисел від 4 до 4∙1014.
Теоретичне доведення її справедливості для довільного парного числа ще поки не знайдено. Нещодавно видавництво «Faber and Faber» сумісно з «Bloomsbury Publishing» встановило приз у розмірі 1 000 000 доларів за доведення гіпотези Ейлера (проблема 10). До цього часу також ще залишається нерозв’язаною проблема 10.
Англійський математик Едуард Варинг (Уоринг) у 1770 році висловив припущення, що довільне натуральне число є сумою не більше 4 квадратів або 9 кубів або 19 четвертих степенів натуральних чисел (більш загально – проблема 12).
Праці Ейлера та Лагранжа показали, що будь-яке натуральне число є сумою не більше 4 квадратів. Пізніше було доведено, що довільне натуральне число є сумою не більше 9 кубів. Відомі лише два числа, які є сумами 9 кубів: 23 і 239, для всіх інших достатньо меншого числа кубів.
Загальне розв’язання проблеми 11 знайшов Давид Гільберт (1909 р.), однак він отримав занадто грубу оцінку для числа доданків. Досить громіздке доведення запропонували в 20-х роках ХХ ст. англійські математики Г. Харді та Д. Литлвуд. У 1934 р. І.М. Виноградов дав нове розв’язання, близьке до остаточного. І, нарешті, радянський математик Юрій Володимирович Лінник (1942 р.) знайшов розв’язання проблеми Варинга (проблема 12) за допомогою елементарних методів.
Відомий угорський математик Пал Ердьош (1913–1996), який жартівливо називав себе «машиною по переробці кави в теореми», заснував кілька грошових премій, розміри яких коливалися від 10 000 доларів за «безнадійні» задачі до 25 доларів за ті, які він пропонував прямо на своїх лекціях. Усього ж П. Ердьош опублікував фантастичну кількість наукових праць – близько 1500! До цього часу ще не розв’язана така проблема.
Проблема 14 (гіпотеза Ердьоша). Якщо n арифметичних прогресій не охоплюють усієї множини натуральних чисел, то існує таке натуральне число xÎ(0,2n), що не належить жодній з цих прогресій.
Цікава проблема пов’язана із узагальненням Великої проблеми Ферма. Відомий меценат Ендрю Біл – банкір із Далласу (США), який до того ж захоплювався математикою, сформулював таку гіпотезу.
Проблема 15 (гіпотеза Біла). Рівняння xa + yb = zc не має натуральних розв’язків при умові, що натуральні a, b, c > 2 і x, y, z – взаємно прості натуральні числа.
Сам Е. Біл протягом кількох років прагнув довести свою гіпотезу, однак зазнав невдачі. Тоді він вирішив установити приз у розмірі 100 000 доларів тому, хто доведе або спростує його гіпотезу. Час минає, але поки ще нікому не поталанило знайти ефективні підходи до розв’язання цієї проблеми.
Детальніше з теорією чисел можна ознайомитися за книжками:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.
2. Бородін О.І. Теорія чисел. – К.: Вища школа, 1970.
3. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю., Крафт Х., Янцен Е. Живые числа. Пять экскурсий. – М.: Мир, 1985.
4. Godefroy G. The Adventure of Numbers. – AMS, 2004.
М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук
Засновник та видавець