Важко перелічити всіх учених, відкриття яких вивчаються в сучасній «шкільній» математиці. Але є два математики, які зробили для неї більше від інших – це Евклід и Вієт.

Французький математик Франсуа Вієт увійшов до історії науки творцем системи алгебраїчної символіки на основі якої він удосконалив теорію алгебраїчних рівнянь. Ученого навіть називають «батьком сучасної алгебри».

Вієт першим став позначати буквами не лише невідомі величини, але й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Тим самим йому вдалося запровадити в науку велику думку про можливість виконувати алгебраїчні перетворення над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він уніс визначальний вклад у створення буквеної алгебри, чим завершив розвиток математики епохи Відродження і підготував підґрунтя для появи фундаментальних результатів титанів науки Нового часу – Декарта, Ферма, Ньютона і Лейбніца.

Генії  народжуються у провінції, а помирають у столиці

Франсуа Вієт народився в 1540 році на півдні Франції в невеликому містечку Фантене-ле-Конт, що знаходиться в 60 км від Ла-Рошелі, яка була на той час оплотом французьких протестантів-гугенотів. Більшу частину життя він прожив поруч із найвідомішими  керівниками цього руху, хоча сам залишався католиком. Мабуть, релігійні розбіжності вченого не хвилювали.

Батько Вієта був прокурором. За традицією син обрав професію батька і став юристом, закінчивши університет в Пуату. 1560 року двадцятирічний адвокат розпочав свою кар’єру в рідному місті, але через три роки перейшов на службу до знатної гугенотської сім’ї де Партене. Він став секретарем господаря будинку і вчителем його доньки дванадцятилітньої Катерини. Саме викладання пробудило в молодому юристові зацікавленість математикою.

Коли учениця виросла і вийшла заміж, Вієт не розлучився з її сім’єю, і переїхав з нею до Парижу, де йому було легше дізнатися про досягнення провідних математиків Європи. Із  деякими вченими Вієт познайомився особисто. Так, він спілкувався з відомим професором Паризького університету Пьєром Рамусом, а з впливовим математиком Італії Рафаелем Бомбеллі вів дружнє листування.

1571 року Вієт перейшов на державну службу і став радником парламенту, а потім  радником короля Франції Генріха III.

У ніч на 24 серпня 1572 року в Парижі відбулася масова різня гугенотів католиками, так звана Варфоломіївська ніч. У цю ніч разом із багатьма гугенотами загинув чоловік Катерини де Партене і математик Пьєр Рамус. У Франції розпочалася громадянська війна.

Через кілька років Катерина де Партене знову вийшла заміж. Цього разу, її обранцем  став один із відомих керівників гугенотів — принц де Роган. За його проханням у 1580 році Генріх III призначив Вієта на важливу державну посаду рекетмейстера, яка надавала право контролювати від імені короля виконання розпоряджень по всій країні та призупиняти накази крупних феодалів.

Знаходячись на державній службі, Вієт залишався вченим. Він прославився тим, що під час франко-іспанської війни зміг розшифрувати код перехопленої переписки короля Іспанії з його представниками в Нідерландах, завдяки чому король Франції був повністю обізнаний із діями своїх противників. Код був складним, містив до 600 різних знаків, які періодично змінювалися. Іспанці не могли повірити, що комусь вдалося розшифрувати їхній код, і звинуватили французького короля у зв’язках із нечистою силою. Вони навіть скаржилися  римському папі та просили його знищити цю «диявольську силу», а також стратити того, хто розкрив їхні таємниці.

До цього часу відносяться свідчення сучасників Вієта про його величезну  працездатність. Якщо вчений чимось був захоплений, то він міг працювати по три доби без сну.

1584 року через придворні інтриги (за наполяганням герцога Гіза, претендента на трон короля Франції) Вієта відсторонили від посади й вислали з Парижу. Саме на цей період припадає пік його наукової творчості. Отримавши неочікуваний спокій і відпочинок, учений поставив собі за мету створення всеохоплюючої математики, що дозволяє розв’язувати  будь-які завдання. У нього склалося переконання в тому, “що повинна існувати загальна, невідома ще наука, яка обіймає і дотепні міркування новітніх алгебраїстів, і глибокі геометричні дослідження древніх”.

1589 року, після вбивства Генріха Гіза за наказом короля, Вієт повернувся до Парижу. Однак у тому ж році короля Генріха III було вбито монахом — прибічником Гізів. Формально французька корона перейшла до Генріха Наваррського — глави гугенотів. Але лише після того, як у 1593 році цей правитель прийняв католицтво, у Парижі його визнали королем Генріхом IV. Так було покладено край кривавій і згубній релігійній війні, що тривалий час чинила вплив на життя кожного француза, навіть тих, хто взагалі не цікавився  ні політикою, ні релігією.

Подробиці життя Вієта в цей період невідомі, що саме по собі свідчить про його бажання залишатися в стороні від кривавих придворних подій. Відомо лише те, що він перейшов на службу до Генріха IV, знаходився при дворі, був відповідальним  урядовим  чиновником і користувався великою повагою як математик.

Уміння розв’язувати алгебраїчні задачі з допомогою геометрії та тригонометрії принесло Вієту славу переможця турніру найкращих математиків того часу. Голландський математик Адріан ван Роомен запропонував математикам усього світу розв’язати рівняння 45-го степеня з числовими коефіцієнтами. Французьким математикам він не надіслав свій виклик, ніби то натякаючи на те, що у Франції відсутні математики, здатні справитися з цією  задачею.

За переказами, посол Нідерландів повідомив про це на прийомі в короля Франції Генріха IV. Це був інтелектуальний виклик усім французам і  король, на службі в якого на той час перебував Вієт, вигукнув: “Та все ж у мене є математик, і вельми видатний. Покличте  Вієта!”.

Настав момент істини для Вієта – учений тут, у присутності короля і посла, знайшов один корінь, а наступного дня знайшов ще 22 додатні корені запропонованого рівняння. Це був справжній успіх  світового рівня, що приніс славу Франції і Вієту. 

В останні роки життя Вієт залишив державну службу, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, наприклад, що він вступив у полеміку з приводу введення нового, григоріанського календаря в Європі. І навіть мав намір створити свій календар.

У мемуарах деяких придворних Франції є вказівка на те, що Вієт був одружений, що в нього була донька, єдина спадкоємниця маєтку, за яким Вієт звався сеньйор де ла Біготьє.

Незадовго до смерті Вієт захворів і відійшов від наукових занять. Існує версія, згідно якої  агенти інквізиції все ж таки помстилися за розшифровані коди й таємно вбили вченого ...  

У придворних новинах маркіз Летуаль писав «…13 грудня 1603 року пан Вієт, рекетмейстер, людина великого розуму і освіченості та один із найвідоміших учених математиків століття помер у Парижі, залишивши, за загальним визнанням, 20 тисяч екю спадщини. Йому було більше 60 років».

Юрист захоплюється математикою і стає «батьком алгебри»

Хоча за освітою Вієт був юристом, але все ж за покликанням він, поза сумнівом, був ученим. Його захоплювали природничі науки, передусім астрономія, і він почав удосконалювати систему світу, створену ще Птолемеєм. Для цього треба було гарно знати математику. Тому вся  робота над математикою повинна була стати підготовкою до створення великого астрономічного трактату, який із різних причин так і не був написаний. Світ математики виявився безмежним і приховував у собі не менше таємниць, ніж космос. Їх вистачило на все життя.

Вієт весь вільний час віддавав математиці, якою захоплювався настільки, що іноді, розв’язуючи якусь проблему, не спав кілька діб підряд.

У своїх математичних працях Вієт, окрім удосконалення алгебраїчної символіки, розвинув теорію розв’язування рівнянь, розширив коло застосування алгебри в геометрії, а також тригонометрії в алгебрі та значно сприяв розвиткові тригонометрії.

Ще з кінця 15 ст. відбувався перехід від словесної (риторичної) алгебри до алгебри символічної, спочатку за допомогою скорочення слів, а потім і введенням спеціальних символів. Вієт, вивчаючи праці італійських математиків Тартальї та Кардано, відчув  практичну незручність їхніх формул і недосконалість існуючої символіки. Недоліком попередників була також велика кількість окремих випадків. Наприклад, Кардано при розв’язуванні кубічного рівняння розглядав 66 окремих випадків, що викликало величезні труднощі для тих, хто прагнув опанувати теорію рівнянь.

Вієт звернув увагу на те, що Евклід у своїх працях іноді позначав довжину відрізку  буквою. Це наштовхнуло вченого на сміливу думку: розуміти під буквою також і число як кількісну характеристику довжини відрізка. Звідси він зробив висновок, що можна виконувати різні дії не лише над числами, але й над величинами, позначеними буквами.

Для цього він розробив символіку, в якій, окрім символів для змінних, уперше  вводились символи для довільних величин, тобто для параметрів. Вієт увів і термін «коефіцієнт». Його символіка була ще не цілком досконалою, вельми громіздкою. У ній багато скорочених і навіть нескорочених слів, зберігся вплив геометричних уявлень.

Однак це був велетенський крок уперед. Адже вперше стало можливим записувати рівняння та їх властивості з допомогою формул. Виклад Вієта – це вже не зібрання  рецептурних правил, а загальна теорія, пов’язана,  наприклад, із розв’язанням рівнянь перших чотирьох степенів.

Вієт показав, що, оперуючи символами, можна отримати результат, який застосовується до будь-яких величин, тобто довів, що можливим є розв’язання задачі в загальному вигляді. Це поклало початок корінному перелому в розвитку алгебри – стало можливим буквене числення й тому вченого цілком справедливо називають творцем сучасної алгебри.

Щоб виразно уявити собі, у чому сутність буквеного числення Вієта і чому воно таке важливе для всієї сучасної алгебри, поглянемо, якою була алгебра до нього. Майже всі дії та знаки записували словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими тепер уміє користуватися кожен учень.

За відсутності зручної символіки неможливо було записувати, а тому й вивчати в загальному вигляді алгебраїчні рівняння або якісь інші алгебраїчні вирази. Необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від цих самих чисел не залежать.

Вієт і його послідовники встановили, що не має значення, чи будуть числа виражати кількість предметів або довжини відрізків. Головне, щоб із цими числами можна виконувати  алгебраїчні дії і в результаті знову отримувати числа того ж роду. Не має значення також,  відоме нам це число чи невідоме. А якщо для нас не є важливим цифровий запис або геометричне тлумачення кожного числа, то всі числа ніби то однорідні і їх можна позначати якимись абстрактними знаками, наприклад, буквами латинського алфавіту.

Вієт не лише ввів своє буквене числення, але й зробив принципово нове відкриття  –  поставив перед собою мету вивчати не числа, а дії над ними. Це була вдала думка, і вона стала відразу приносити щедрі плоди. Наприклад, незабаром було доведено загальний алгебраїчний закон множення: множення відрізків є та ж операція, що й множення чисел. З’явилась  можливість записувати алгебраїчні вирази у вигляді формул.

Однак у самого Вієта алгебраїчні позначення, або, як тепер кажуть, алгебраїчні символи, були мало схожі на наші. Порівняйте сучасний запис кубічного рівняння:

A³ + 3B²A = 2D³

і запис цього ж рівняння в позначеннях Вієта:

A cubus + B planum 3 in A  aequatur D solidum 2.

Як бачите, тут ще дуже багато слів, але зрозуміло, що ці слова вже відіграють роль наших символів – так, латинське слово cubus після невідомого А (невідомі позначалися голосними буквами) означає наше “в кубі”. Слово aequatur (у перекладі українською – “рівний”) написано замість нашого знака “ = “, множення позначено прийменником in (цей прийменник – все, що залишилось після скорочення від виразу “взяти у стільки-то разів більше”). Інші слова – це сліди минулого, сліди того, що й у Вієта алгебра ще не повністю звільнилася від сторонніх для неї впливів геометрії.

Використовуючи для позначення величин великі, а не малі літери, Вієт наслідував  традиції древніх греків. Своєю символікою вчений користувався регулярно; дуже часто розв’язання задачі в буквеному вигляді він супроводжував числовими прикладами. Його символіку застосовували й деякі інші математики аж до середини 17 ст., серед них і знаменитий Пьєр Ферма.

Для нас є очевидними недоліки позначень Вієта. Незручним було словесне позначення степенів; до того ж по-різному позначалися степені невідомих і степені коефіцієнтів. Для степенів невідомих використовувалися слова: quadratum (квадрат), cubus (куб), а для тих же степенів коефіцієнтів використовувались інші слова: planum (площина), solidum (тіло). Труднощі, пов’язані з позначенням степенів, що були непридатними для поширення на довільні показники, виявилися дещо пізніше. Але й такий спосіб запису дозволив Вієту зробити важливі відкриття при вивченні загальних властивостей алгебраїчних рівнянь.  

Вієт виклав програму своїх досліджень у виданому в 1591 році знаменитому трактаті “Вступ до аналітичного мистецтва”. У ньому він назвав праці, об’єднані загальним задумом, які могли бути викладені математичною мовою нової буквеної алгебри.

Перелік йшов у тому порядку, в якому ці праці повинні були видаватися, щоб скласти  єдине ціле — новий напрям у науці. На жаль, єдиного цілого не вийшло. Трактати публікувались у випадковому порядку, і багато з них побачили світ лише після смерті Вієта. Один із трактатів взагалі не знайдено.

Однак головний задум ученого вдало здійснився – почалося перетворення алгебри в могутнє математичне числення. Саму назву “алгебра” Вієт у своїх працях замінив словами “аналітичне мистецтво”. Він писав у листі до Партене: “Усі математики знали, що під алгеброю сховано незрівняні скарби, але не могли їх знайти. Задачі, які вони вважали  найбільш складними, дуже легко можна розв’язати десятками з допомогою нашого мистецтва”.

Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад древніх, він чітко розмежовував числа, величини і відношення, зібрав їх у деяку систему “видів”. У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби, квадрато-квадрати і т. д., а також множина скалярів, яким відповідали реальні розміри — довжина, площа або об’єм.  Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначив їх великими літерами латинського алфавіту. Для невідомих величин застосовувались голосні букви, для довільних  коефіцієнтів — приголосні.

Демонструючи силу свого методу, вчений навів у своїх працях запас формул, які могли бути використані для розв’язування конкретних задач. Із знаків дій він використовував “ + ” і “ – ”, знак радикала і горизонтальну риску для ділення. Множення позначав словом “in”. Вієт першим став застосовувати дужки, які, насправді, у нього мали вигляд не сучасних дужок, а риски над многочленом. Однак чимало знаків, що були введені до нього, він не використовував. Так квадрат, куб і т. д. позначав словами або першими буквами слів.

Формули, які пронизують століття

У теорії рівнянь, при розв’язуванні рівнянь вищих степенів, Вієт застосував метод зведення даного рівняння до неповного рівняння за допомогою деяких підстановок. Він шукав лише додатні корені та використовував знак риски, поставленої над числовими або буквеними виразами, яка мала значення сучасних дужок.

Розвиваючи результати Кардано, учений відкрив теорему про залежність між коренями та коефіцієнтами фсимости л вязанная с обозначением степеней, непригодным для распространения на произвольные показатели, выявилась нескольео порівняння. Віт знайшов співвідношення для рівняння довільного степеня, хоча й з умовою – для додатних коренів. Цією теоремою вчений особливо пишався. Окремим випадком відкритої залежності є теорема для квадратного рівняння.

Ця знаменита теорема (формули Вієта), що встановлює зв'язок коефіцієнтів многочлена з його коренями, була обнародувана в 1591 році. Тепер вона носить ім’я Вієта, а сам автор формулював її наступним чином:

“Якщо В+D, помножене на А, мінус А у квадраті дорівнює ВD, то А дорівнює В або А дорівнює D” (голосна А в сучасних позначеннях відповідає невідомій x, а приголосні В і D – коефіцієнтам  p і q квадратного рівняння  x² + px + q = 0).

Теорема Вієта стала в наш час найбільш знаменитим твердженням шкільної алгебри. Якщо в шкільній геометрії перше місце міцно утримує теорема Піфагора, то в шкільній алгебрі провідна роль належить формулам Вієта:   x₁ + x₂ = – p;   x_1·x₂ = q.

Ці формул гідні захоплення, тим більше що Вієт узагальнив їх на многочлени довільного  степеня.

Вієт не вводив від’ємних і комплексних чисел, але побудував своєрідне числення трикутників, витримане в стилі античної строгості і одночасно рівносильне численню комплексних чисел. Уведені вченим операції побудови за двома даними трикутниками  третього трикутника, як було встановлено пізніше, відповідають операціям множення і ділення комплексних чисел.

Значних успіхів досяг учений у галузі геометрії. Саме в ній він розробив вельми  цікаві  методи. У трактаті “Доповнення до геометрії” він прагнув створити за прикладом древніх деяку геометричну алгебру, використовуючи геометричні методи для розв’язування  рівнянь третього і четвертого степенів. Будь-яке рівняння третього і четвертого степеня, стверджував Вієт, можна розв’язати геометричним методом трисекції кута або побудовою двох середніх пропорційних.

Математиків протягом століть цікавило питання про розв’язання трикутників, тобто  питання: як за одними елементами трикутника знайти всі його інші елементи (сторони і кути). Такого типу задачі диктувалися потребами астрономії, архітектури, геодезії. У Вієта  методи розв’язання трикутників, що були розроблені раніше, набули більш завершеного вигляду.

Так він першим явно сформулював у словесній формі теорему косинусів, хоча положення, еквівалентні їй, епізодично застосовувалися з першого століття до нашої ери. Вієт дав повне розв’язання трикутників за трьома даними елементами. Відомий раніше своєю складністю випадок розв’язання трикутника за двома даними сторонами і одному з протилежних їм кутів, отримав у Вієта вичерпний розгляд. Було чітко показано, що в цьому випадку розв’язання не завжди можливе. Якщо ж розв’язок існує, то може бути один або  два.

Глибоке знання алгебри давало Вієту великі переваги. Причому інтерес його до алгебри спочатку був викликаний застосуваннями до тригонометрії та астрономії. І тригонометрія щедро віддячила алгебрі за надану нею допомогу. Не лише кожне нове застосування алгебри давало імпульс новим дослідженням із тригонометрії, але й отримані тригонометричні  результати виявилися джерелом важливих успіхів алгебри. Вієту, зокрема, належить доведення формул для синусів і косинусів кратних кутів, тобто формул для sin(mx) і cos(mx), які дають розклад за степенями sinx і cosx.

При складанні ґрунтовних таблиць тригонометричних функцій Вієт із великим мистецтвом застосовував десяткові дроби. Глибокий інтерес до тригонометрії в нього був викликаний  бажанням зробити астрономію більш точною. Ці знання з тригонометрії Вієт з успіхом застосовував як в алгебрі, так і в геометрії.

Використовуючи уявлення про коло як про границю вписаних в нього многокутників при збільшенні числа їх сторін, Вієт обчислив число π до 18-го знака після коми (з них 11 знаків виявилися вірними).

1579 року вчений видав “Математичний канон”, який містив таблиці синусів, косинусів, тангенсів, котангенсів, секансів і косекансів.

Вієт розв’язав знамениту задачу, сформульовану геометром Древньої Греції Аполлонієм Пергcьким. За умовою цієї задач треба було побудувати на площині  коло, яке дотикається до трьох даних кіл, що лежать у цій же площині.

Вієт опублікував красиве розв’язання цієї задачі, використавши лише циркуль і лінійку. Вважають, що цю задачу першим розв’язав сам Аполлоній, але, на жаль, його праця  не дійшла до нашого часу. Пишаючись знайденим розв’язанням, Вієт називав себе “Аполлонієм із Галлії”.

Значним досягненням ученого було представлення числа π у вигляді нескінченного добутку. Це перший випадок використання нескінченних добутків, якими майже два століття пізніше блискуче користувався Леонард Ейлер.

Як талановитий обчислювач, Вієт розробив метод наближеного розв’язання  алгебраїчних рівнянь із числовими коефіцієнтами, який мав застосування до кінця 17 ст., поки Ньютон не знайшов більш досконалий метод.

 Безпосереднє застосування праць Вієта занадто ускладнювалось важким і громіздким викладом. За цієї причини вони повністю не видані до цього часу. Більш або менш повне зібрання творів Франсуа Вієта було видано в 1646 році в Лейдені нідерландським професором математики Франсом ван Схоутеном під назвою “Математичні праці Вієта”.

Вивчення праць Вієта, на думку багатьох істориків науки, ускладнюється дещо  вишуканою формою, в якій повсюди видна його велика ерудиція, а також значна кількість  запропонованих ним термінів та грецьких термінів, що не набули вжитку. Тому вплив  Вієта, що був вельми значним по відношенню до всієї наступної математики, поширювався по Європі та всьому світу порівняно повільно.

Сучасна математика, що бурхливо розвивається, звичайно, використовує ідеї та методи, які набагато перевищують за глибиною і загальністю ідеї та методи, що  розробив Вієт. Але й сьогодні для нас є цікавою та вельми цінною гостра і глибока алгебраїчна думка Вієта, який широко розчинив перед математикою двері в новий світ сучасної алгебри. Будемо пам’ятати, що в її основі лежить буквене числення видатного математика Франсуа Вієта.

Література

1. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. Т.1-3. – М.,1970-1972.
2. Конфорович А.Г. Колумби математики. – К.,1982.
3. Шмигевський М.В. Видатні математики. – Х.,2004.

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук