О двух великих швейцарских математиках Бернулли – Якобе и Иоганне

Спор между двумя учёными об их заслугах, о том, кто из них первым решил ту или иную задачу или доказал новую теорему, кто глубже проник в суть проблемы и дал ей правильную оценку, одним словом, кто из них умнее, ученее, смекалистее, – все более разгорался.

Спор, начавшийся с легких, едва уловимых уколов самолюбия и вполне извинительного соперничества, вскоре приобрел оттенок едкого сарказма, надменности и обидных насмешек, а затем и вовсе перерос в грубую взаимную хулу.

Жесткую, безнадежно затянувшуюся словесную войну не могли остановить ни голос разума и чувство собственного достоинства, ни увещевания друзей великих спорщиков, ни третий суд из авторитетных и известнейших ученых.

Поскольку накал страстей в споре возрос до немыслимого градуса, то журналы отказывались печатать письма и ответы на письма враждовавших ученых, одного из которых звали Якоб Бернулли, а другого – Иоганн Бернулли.

Но то не были по случайному совпадению однофамильцы, а родные братья из добропорядочной, занимающей высокое положение в обществе благочестивой протестантской семьи.

Старший из братьев – Якоб – был философ, богослов и проповедник; младший – Иоганн – магистр искусств и доктор медицины. Каждый из братьев, преступив через христианские заповеди (а ведь оба были людьми одной веры и людьми глубоко верующими), пытался утвердить свое превосходство над другим. И никакие чувства сострадания и раскаяния, никакая любовь к ближнему не могли удержать их от желания унизить друг друга.

Истинным, глубинным интересом обоих братьев была математика, сначала сблизившая их, а затем сделавшая непримиримыми соперниками и даже врагами, что и ускорило кончину старшего.

Эта непримиримая борьба, длившаяся на протяжении многих лет, с полным основанием позволяет назвать рассказ о двух гениальных математиках Бернулли по аналогии с романом известного писателя Уилсона Митчела, в котором описана вражда двух братьев изобретателей телевидения. Но та вражда – литературный вымысел, а в нашем случае все происходило в жизни, в реальности.

Напрашивается и иное, более «сильное» сравнение братьев Бернулли с другими родными братьями – библейскими героями Каином и Авелем, первый из которых из зависти убил своего младшего брата.

Кто же такие были братья Бернулли, возненавидевшие друг друга, став посмешищем ученого сообщества в конце XVII века.

Предки братьев вместе с тысячами других голландцев покинули родину по причине жестоких преследований религиозного характера со стороны испанского диктатора Альбы, правившего Голландией во время буржуазной революции XVI века.

После долгих странствий изгнанники обосновались в швейцарском городе Базеле, приняв тамошнее гражданство и заняв видное положение в обществе. Здесь в Базеле в 1654 г. на свет появился сначала Якоб, а спустя 13 лет – Иоганн. Оба брата получили прекрасное образование.

Старший из четырех братьев – Якоб – изучал богословие и философию в Базельском университете, а по его окончании читал проповеди и намеревался стать протестантским священником. Якоб опекал своих братьев, но особым вниманием пользовался самый младший из них – Иоганн – на редкость одаренный юноша, легко овладевавший самыми разнообразными знаниями.

Иоганн по примеру старшего брата также окончил Базельский университет, получив сначала степень магистра наук, а затем защитив докторскую диссертацию по медицине на тему «О движении мускулов» – первого опыта по объединению медицины с математикой.

Чтение проповедей Якоб совмещал с глубоким изучением математики. Появление большой кометы в 1680г. послужило толчком для исследования им теории движения небесных тел и опубликования первой математической работы. Свое увлечение математикой Якоб сумел привить Иоганну.

Со временем учитель и ученик сравнялись в знаниях и оба стали успешно развивать новые идеи в математике. Особое впечатление на братьев оказала статья Лейбница «Новый метод для максимумов и минимумов….», в которой впервые излагались основы бесконечно малых величин.

Между братьями Бернулли и Лейбницем установилась регулярная переписка. Постоянный обмен новыми результатами и обсуждение различных математических проблем этим триумвиратом во многом способствовали становлению и развитию дифференциального и интегрального исчисления.

Математические заслуги братьев Бернулли были по достоинству оценены современниками. Так в 1699г., когда Якобу исполнилось 45 лет, а Иоганну 32 года, они оба, наряду с Ньютоном, Лейбницем и еще четырьмя знаменитыми учеными, были избраны иностранными членами Парижской Академии Наук и тем самым удостоены высшего научного признания.

А теперь обратимся к двум задачам, решенными братьями Бернулли. В 1696г. в научном журнале Иоганн опубликовал следующее сообщение «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики». Приведем содержание названной заметки.

«В вертикальной плоскости даны две точки А и В (рис.2). Определить путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время. Для того чтобы вызвать интерес со стороны любителей подобных вопросов и побудить их охотнее предпринять попытку разрешения указанной задачи, довожу до их сведения, что эта задача не сводится к пустой умственной спекуляции, лишенной какого бы ни было практического значения, как это может кому-либо показаться. В действительности она представляет очень большой практический интерес и притом, кроме механики, также и для других дисциплин, что может всем показаться неправдоподобным.

Между прочим (указываю это с целью предупредить возможно неправильное суждение), хотя прямая АВ и является кратчайшей линией между крайними точками А и В, тем не менее тело проходит ее не кратчайшее время, и существует кривая АМВ, хорошо известная геометрии. Я назову эту линию, если, по истечении текущего года, никто другой ее не назовет. Иоганн Бернулли.»

Сущность данной задачи, сформулированной Иоганном Бернулли, поясняет рис. 2. Заметим, что с ней по истечении года справилось только великие математики 17-го -18-го веков : Лейбниц, Ньютон, Лопиталь, сам Иоганн Бернулли и его брат Якоб.

Таким образом, решение задачи Иоганна Бернулли сводится к нахождению функции y(x), график которой, соединяющий точки А и В, является кривой наискорейшего спуска, называемой брахистохроной (рис. 2). Откроем секрет: в рассматриваемой задаче брахистохроной является циклоида, т.е. кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнение циклоиды, т.е. кривой описываемой точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой, описывается двумя зависимостями в прямоугольной системе координат:

(1)

где r – радиус окружности, с помощью которой формируется циклоида ; t – параметр, связанный с углом поворота окружности.

Рассмотрим пример падения тела с высоты h=2r с координатами точки старта А(0, 2r) и точки приземления с координатами В(πr, 0) . Для данного случая траектория падения тела по циклоиде при h=20 м показана на рис. 4,а , время падения тела составит :

(2)

где g=9,81 м/с² ускорение силы тяжести.

При тех же исходных данных по прямой наклонной линии (рис. 4,б) время падения тела составит:

(3)

т.е. в 1,185 раз дольше.

Согласно (2) при высоте h=2r=20 м время падения по циклоиде составит ТЦ=3,172 с , а по наклонной прямой согласно (3) ТПР=3,76 с.

Заметим, что при данных расчетах сила трения, тормозящая движение, не учитывается.

Рассмотренная нами задача, сформулированная Иоганном Бернули, явилась отправной точкой для нового крупного направления в высшей математике – вариационного исчисления, посвященному отысканию экстремальных ( максимальных и минимальных) значений функционала – закона, согласно которому каждой из функции определенного класса ставится в соответствие число . Отметим, что если числам ставится в соответствие определенные числа, то задана функция, например, y(x). Если функциям ставятся в соответствие числа, то задан функционал.

С помощью методов вариационного исчисления решаются весьма важные задачи технического характера: по минимизации топлива, расходуемого двигателями; оптимальному скоростному режиму движения автомобиля или поезда; точному наведению на цель ракеты за минимальное время и ряд других проблем.

Поясним сказанное. Пусть, например, автомобиль должен проехать из пункта А в пункт В. Следует определить график изменения скорости автомобиля по заданной трассе, при котором будет израсходовано минимальное количество горючего. Другой пример из военной области. Рассчитывается траектория движения ракеты для поражения за минимальное время перемещающейся воздушной цели.

Вот так маленькая и казалось бы, далекая от практики отвлеченная математическая задача явилась тем зерном, из которого выросло крупное научное направление прикладного характера, каковым является вариационное исчисление.

А теперь обратимся к задаче, рассмотренной другим братом –Якобом Беренулли. Есть такие числа и функции в математике, которые вызывают чувства удивления, восхищения и даже восторга у ученых. Такой зависимостью для Якоба Бернулли явилась логарифмическая спираль. Вот что он писал по этому поводу в одной из статей: «..И поскольку, вследствие таких замечательных и необычных свойств, эта удивительная спираль стала столь мне любезна, что я едва мог насытиться ее созерцанием, я подумал, что не будет нелепостью применить ее для символического представления разных предметов…. Она могла бы быть символом либо мужества и стойкости в бедствиях, либо даже символом нашей плоти, которая воскресает той же самой после различных изменений и, наконец, смерти; так что, если бы до сих пор было в обыкновении подражать Архимеду, то я охотно повелел бы высечь на моей могиле спираль с эпиграфом “Изменившись, воскресаю такой же”». Последняя фраза на латинском языке выглядит так: “Eadem mutate resurgo”.

Вот так: не более и не менее – логарифмическая спираль есть символ нашей вечно возрождающейся и в чем–то повторяющейся жизни – ее умирания и воскрешения.

Воля Якоба Бернулли была исполнена: на нижней части памятной доски, висящей в Базельском соборе, где похоронен великий математик, изображена спираль, правда, не логарифмическая.

А теперь разберемся в свойствах логарифмической спирали – плоской трансцендентной кривой, уравнение которой в полярных координат имеет вид:

(4)

Формула (4) легко преобразуется к виду:

(5)

что и позволяет называть спираль логарифмической.

При k>0 и Θ→ + ∞ логарифмическая спираль развертывается по ходу часовой стрелки, при Θ→ – ∞ та же спираль закручивается против хода часовой стрелки к своей асимптотической точке 0. При k

Два примера расчета графиков для случая Θ→ + ∞: 1) при k=0,2 ; а=3,985; 2) при k= – 0,2 ; а=0,2 приведены на рис. 5.

Особенность всех подобных графиков состоит в том, что они пересекают все лучи, выходящие из точки 0 под одним и тем же углом α=arkсtg(k), где k – коэффициент в функции (4). При k=0 угол α=π/2 и график спирали перерождается в окружность с радиусом ρ=a. Длина любой дуги логарифмической спирали:

(6)

Например, согласно (6) при k=0,2 и углах Θ1=0,5π , Θ2=π длина спирали L=10,268.

Еще одно замечательное свойство логарифмической спирали состоит в том, что при определенных преобразованиях она возвращается к первоначальному виду. Именно это свойство логарифмической спирали вызвали у Якоб Бернулли такой восторженный о ней отзыв.

Не беремся ответить на вопрос, в чем состояла причина непримиримой борьбы двух братьев. Важно другое – они оба были гениальными математиками, стоявшими более 300–х лет тому назад вместе с Ньютоном и Лейбницем у истоков зарождения дифференциального и интегрального исчисления.

Оба брата явились основателями большой династии швейцарских ученых, внесших неоценимый вклад в разных областях науки и культуры. В течение свыше 250 лет в Базельском университете всегда были профессора Бернулли, более 100 лет учёные с именем Бернулли возглавляли кафедру математики в этом университете, многие из них были членами Академии Наук в разных странах.

Среди потомков Бернулли особо следует выделить Даниила Бернулли – сына Иоганна, работавшего в Петербургской Академии Наук и заложившего основы науки «Гидродинамика».

В заключение приведем слова Вольтера на смерть Иоганна Бернулли: «Его ум видел истину. Его сердце познало справедливость. Он – гордость Швейцарии и всего человечества». С полным основанием те же возвышенные слова можно отнести и к Якобу Бернулли.

Дополнения

1. Возьмите стальной шарик и спустите его по длинной доске. Замерьте по секундомеру время падения шарика и сравните его со временем, рассчитанным по формуле (3).

2. Постройте график логарифмической спирали при исходных данных, отличающихся от примера, приведенного на рис. 5.

В.И. Каганов, доктор технических наук, профессор МИРЭА