(Начало в №6 за 2020 г.)

Так получилось, что увлекшись термодинамикой, мы отошли от Зенона и его апории «Летящая стрела». Дальше, по возможности, восполним этот пробел.

Зенон о многом не сказал, предоставив простор интуиции и здравому смыслу. И нам придётся прояснить некоторые его соображения, возможно, неявно подразумеваемые.

Прежде всего, Зенон допускал возможность неограниченного деления временного промежутка, который он называл моментом. В противном случае должен был бы существовать такой квант времени, что если бы за соответствующее ему время стрела сместилась на заметное расстояние, то утверждать, что в течение такого «момента» она покоится, уже было бы нельзя.

Поэтому предположим, что в процессе деления мы дошли до такого кванта времени, в течение которого стрелу уже следует считать покоящейся. С чем же связано и чем обусловлено подобное деление временного промежутка?

Напрашивается естественный ответ: с точностью измерения длительности момента времени, например, абсолютной погрешностью Δt. По существу, это и есть наш квант наблюдаемого времени. Длительность наблюдаемого человеком (в том числе и Зеноном) момента не может быть меньше Δt.

Если за время Δt стрела сместилась на наблюдаемую величину, то очевидно, говорить, что в этот «момент» она покоилась, нельзя.

В случае, если стрела за время Δt не изменила своего видимого положения, то результатом наблюдения действительно будет покоящаяся стрела. Именно в случае, когда всё время полёта разбито на такие ненаблюдаемые моменты, можно утверждать, что стрела покоится в течение всего полёта. И, возможно, Зенон был прав, делая вывод о полном покое стрелы в течение всего полёта.

Попробуем обосновать, что, нет!

Итак, пусть отдельные моменты нельзя различить. Это означает, что человек их вообще не наблюдает, и как-то называть такие моменты он просто не может. Но рано или поздно (стрела же всё движется!) настанет такой момент, который будет отличаться от начального просто по измеренному расстоянию стрелы от места начала её полёта.

Но такие моменты покоя, помеченные различимым расстоянием, уже нельзя считать одинаковыми. Мы видим, что разные моменты могут быть непохожи один на другой! Зенон, может быть сам того не осознавая, выровнял под гребёнку совершенно разные состояния покоя.

Заметим, что апория Зенона сродни парадоксам теории множеств. Сегодня эта теория лежит в основе всей математики. Слово множество обычно считают интуитивно понятным и поэтому не определяют. Полагают, что множество есть просто набор в чём-то однородных элементов.

В указанных парадоксах часто в некоторое множество добавляют ещё один или несколько элементов. При этом продолжают называть его тем же словом, хотя в действительности это уже не то же самое, а другое множество.

Особенно процедура добавления элемента «понятна» в случае бесконечных множеств. Ну, добавим или уберём несколько элементов из бесконечного их числа, какая разница?

На эту тему выдающийся математик Давид Гильберт (1862–1943) предложил интересную иллюстрацию – «отель Гильберта», которую до сих пор используют для объяснения некоторых свойств бесконечности. Эти свойства не укладываются в обычную логику и по существу, их невозможно обосновать.

Представим себе отель, в котором есть бесконечное счётное число номеров, то есть таких, что их можно сопоставить цифрам 0, 1, 2, 3, 4, ... И пусть каждый номер занят только одним человеком. Причём, по правилам отеля в одном номере ни в коем случае не могут жить два или более постояльца.

И вот в отель приходит ещё один человек, который спрашивает для себя номер. Ему отвечают, что это невозможно, поскольку отель полон. Но новый гость предлагает решение. Пусть человек, занимающий номер 0, перейдёт в номер 1, человек из номера 1 – в номер 2, из номера 2 – в номер 3 и так далее. Так никто не останется без номера, и в то же время освободится номер 0 для него.

Интересно, что такое решение остаётся справедливым и тогда, когда в отель прибудет, например, 7 новых постояльцев вместо одного. Чтобы все они могли заселиться, не нарушая правил отеля, достаточно, чтобы постоялец из номера 0 перешёл в номер 7, постоялец из номера 1 – в номер 8 и так далее. Так, что номера от 0 до 6 окажутся свободными для вновь прибывших.

Более того, способ годится и в том случае, если потребуется расселить бесконечное счётное множество новых гостей. В этом случае постоялец из номера 1 переходит в номер 2, из номера 2 – в номер 4, из номера 3 – в номер 6, из номера 4 – в номер 8 и так далее.

Например, освободится номер 101, поскольку его постоялец переехал в номер 202, а гость из номера 202 переедет в 404 и так далее. В итоге, появляются номера ещё для бесконечного счётного числа новых гостей.

Решение не годится для любого ограниченного множества и вдруг начинает работать для бесконечных множеств. Такое положение, по меньшей мере, странно. Почему так происходит? Именно такая ситуация открывает возможность для разных манипуляций.

Проверить соответствующие действия человек не в состоянии в принципе. Может быть, поэтому и возникают теоремы, типа теоремы Банаха–Тарского. Это очень известные математики, первый – один из создателей функционального анализа – математической основы квантовой теории. Парадоксальным следствием этой теоремы оказывается, например, возможность сложить из одного апельсина два или вообще сколько угодно.

Расскажем немного об этой теореме, в которой на основе теории множеств Кантора и доказан такой удивительный факт. Суть доказательства в том, что можно построить три множества преобразований, позволяющих разбить шар на 8 частей, из которых потом удаётся собрать два точно таких же шара, да и вообще сколько угодно таких шаров.

Ещё можно принять, что с помощью какого-то хитрого сложения из бесконечного числа частей, как у Гильберта, удастся что-то сложить. Но сложить из конечного числа частей!? А этих частей вообще может быть не 8, а еще меньше ... очень непонятно.

Конечно, эти 8 множеств устроены из бесконечного числа элементов. А к этому приходится по ходу доказательства отбрасывать бесконечное множество аномальных точек, которые размножению не поддаются, но доказывается, что ими можно пренебречь ...

В общем, доказательство непростое, но как понимать противоестественный результат? Математики объясняют так. В «действительности» все множества конечны и материя состоит из атомов, имеющих конечные размеры. А бесконечные множества – чисто теоретическое построение, и здесь допустимо всё, что угодно.

Математиков такое объяснение удовлетворяет. Но для физиков все звучит очень неубедительно. Ведь результаты использования анализа бесконечно малых пока не подводили. Выходит, в одних случаях всё хорошо, а в других – такие-то парадоксы. Какой отсюда вообще можно сделать вывод о возможном применении математики в физике?

Впрочем, подобные вопросы мы обсуждали в статье о бесконечных множествах, а также в статье о настройке фундаментальных констант и эффективности математики.

Вернёмся к нашему древнегреческому философу. Множество Зенона – это набор моментов покоя. Добавить сюда неразличимый элемент человек не может в силу ограниченности своих возможностей. А добавляя различимый элемент, получает, вообще говоря, другое множество.

Называть одним и тем же словом «покой», вообще говоря, разные элементы множества, значит порождать неоднозначность языка, то есть хаос и неопределённость.

Обращаясь к термодинамике, можем сделать аналогичный вывод. Квазистатическое состояние – аналог момента покоя в полёте стрелы. Можно ли считать такое состояние действительно равновесным?

Это понятие, во-первых, не имеет смысла без соображений о точности измерения термодинамических параметров. Во-вторых, целое – цикл, состоит из разных квазистатических состояний (состояний покоя у Зенона), соответствующих разным моментам времени. Цикл – это результат движения, развития процесса во времени.

Сделаем одно замечание. Слово «динамика» применяют в физике для описания развития во времени каких-то величин или процессов. В этом смысле название «термодинамика» не совсем удачное.

Может быть, лучшим было бы название: теория тепловых машин. Такая мысль приходит в связи с историческим фактом. Упомянутый в предыдущей статье мемуар Сади Карно как раз и посвящён разработке идеальной тепловой машины.

А, может быть, лучше бы отвечало смыслу название «термостатика»? Так её в действительности называли некоторые авторы. Но это другая крайность. При этом, возникает убеждение, что процессы термодинамики не имеют никакого отношения ко времени. Но здравый смысл настаивает на том, что в термодинамике, хоть и неявно, всё же присутствует время.

Кстати, в механике существует описание движения материальной точки в фазовом пространстве, при котором время явно не используют. Правда, там за кадром всё же реально действует динамика, перемещение и импульс частицы от времени зависят.

Проведенный выше анализ даёт возможность сделать следующий вывод. Всё зависит от того, что мы в действительности наблюдаем. Зенон в своей апории оперировал воображаемыми понятиями, не очень заботясь о смысле используемых терминов. А вот его «брадатый» коллега своим движением демонстрировал вещи вполне наблюдаемые.

Оказалось, что нельзя называть разные вещи одним и тем же словом («покой»). Это красиво выразил Александр Сергеевич Пушкин в своём, упомянутом нами, стихотворении.

Действительно, важной в наших рассуждениях является разрешающая способность человеческого зрения. В чём её секрет? Как известно, человек не различает кадры кино, следующие друг за другом с интервалом, меньшим 0,04 с. Что это значит? По какому параметру человек судит о течении времени?

Таким параметром служит изменение в положении тела. Именно изменения в положении наблюдаемых предметов сливаются в наших анализаторах в непрерывную картину, воспринимаемую нами как движение.

Чтобы нагляднее пояснить высказанную мысль, приведём фантастический пример. Вообразим себе гигантского демона, который своим демоническим зрением не различает тел размером менее 150 м (считаем, что стрела не может улететь на большее расстояние).

Этот демон антипод, для тех, кто знает, «демона Максвелла» (там, наоборот, человечек различал отдельные атомы и мог сравнивать их скорости, с ним мы, надеюсь, встретимся в разговоре о втором законе термодинамики). Увидит ли наш гигант как летит стрела, да и саму эту стрелу?

Конечно, нет. Этого ему не позволит разрешающая способность его зрения. И если бы мы могли его слышать, что ответил бы он на наш вопрос о движении стрелы? Скорее всего, он бы спросил: А о чём, собственно, идёт речь. Естественно, пространство, где, как мы считаем, летит стрела, для него вообще не существует, для него действительно всё покоится!

Так, разрешение парадокса летящей стрелы оказалось связанным с возможностями наблюдателя (измерять расстояние, а значит – и время).

Думаю, чтение не было простым, учитывая количество сложных логических поворотов, поэтому в завершение, пожелаем читателю успешно с ними разобраться.

А.М. Пальти, старший научный сотрудник по физике, ВТСП