ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Окончание.

Начало:

Математики XVIII ст. расширили методы математического анализа и применяли их к всё более сложным функциям. В это время анализ развивался преимущественно в трёх направлениях: дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения.

Дифференциальное исчисление XVIII ст. развивалось на основе разложения функций в степенные ряды. Методы, разработанные предшественниками, пополнились в 1712–1715 гг. теоремой Тейлора о разложения функции в степенной ряд. После этого систематическое применение рядов Тейлора и Маклорена стало характерной особенностью дифференциального исчисления.

Интегральное исчисление XVIII ст. развивалось как метод нахождения соотношений между функциями по заданным соотношениям между их дифференциалами. Идея неопределённого интегрирования на то время приобрела доминирующее значение. Основной целью исчисления стало формирование методов нахождения первообразных для функций как можно более широкого класса.

Интегральное исчисление быстро разрасталось и впоследствии, кроме интегрирования функций, включало решения дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теорию специальных функций и т.д. Эти области математического анализа постепенно отделялись от него в течение XVIII ст.

Наибольший вклад в развитие и популяризацию дифференциального и интегрального исчисления в XVIII ст. сделал Леонард Эйлер. Он написал полный курс математического анализа. Этот курс состоит из нескольких книг.

Перечислим их: «Введение в анализ бесконечно малых» (2 тома, 1748 г.), «Дифференциальное исчисление» (1755 г.), «Интегральное исчисление» (3 тома, 1768–1769 гг.).

Эти книги содержат как результаты работ предшественников и современников, так и многие его собственные исследования в области анализа. В работах Ньютона, Лейбница и братьев Бернулли дифференциальное исчисление не выступало в самостоятельной форме. У Ньютона оно было тесно связано с механикой, у Лейбница – с геометрией. Эйлер был первым, кто изложил дифференциальное исчисление в чистом виде.

Выдающихся результатов в области математического анализа достиг французский математик, астроном и механик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). Особенно он прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Важным вкладом в математический анализ стало его обобщение функций многих переменных ряда Тейлора, которое было изложено в работе «О новом роде исчисления» (1772 г.).

Классическим является трактат Лагранжа «Аналитическая механика» (1788 г.), в котором механика изложена как дедуктивная наука с помощью аппарата математического анализа. В этой книге Лагранж делает большой шаг вперёд, применив анализ к теории вероятностей.

В «Теории аналитических функций» (1797 г.) Лагранж вывел формулу Тейлора с остаточным членом, который ныне носит его имя. Именно Лагранжем было введено понятие производной (1798 г.), до этого пользовались равносильным ему понятием дифференциального коэффициента. Кстати, широко употребляемое в настоящее время обозначение производной fꞋ или fꞋ(x) также принадлежит Лагранжу.

Лагранжу принадлежит формула конечных приращений, теория условных экстремумов. Основываясь на результатах, полученных Эйлером, он впервые системно изложил основные понятия вариационного исчисления, которое благодаря ему стало самостоятельной ветвью математического анализа.

Таким образом, в XVIII ст. расширение предмета исследований происходило успешно и быстрыми темпами. Иначе развивались события, касающиеся обоснования нового исчисления. Основное понятие, на котором основывался весь математический анализ, – понятие бесконечно малой величины, – стало его уязвимым местом. Работа по обоснованию дифференциального и интегрального исчисления, проведенная Эйлером, Д'Аламбером, Лагранжем, Карно и другими учёными, не дала необходимых результатов.

В начале XIХ ст. значительная часть математиков придерживалась мнения, что основой математического анализа и его коренного преобразования может стать теория пределов. Понятие предела происходит из глубокой древности и связано с исчислением площадей криволинейных фигур и объёмов тел, ограниченных кривыми поверхностями.

Идея предела впервые была использована древнегреческим математиком IV века до н.э. Евдоксом Книдским. Метод Евдокса, который был назван в XVII в. методом исчерпывания, использовали Евклид, Архимед и другие учёные древнего мира.

Дальнейшее развитие метода пределов происходило одновременно с развитием метода неделимых. Этот метод использовали и совершенствовали в своих исследованиях Кавальери, Такке, Валлис, Ньютон, Эйлер и другие учёные.

Термин «предел» и соответствующий символ lim (от латинского слова limes – предел, граница) впервые был введен Ньютоном. Само же понятие предела Ньютоном не означается и имеет нечёткий, двоякий характер. Достаточно чётко о понятии предела говорит Эйлер, но он не пользуется этим понятием как действующим орудием для обоснования и построения дифференциального и интегрального исчисления.

Наибольшие результаты в перестройке математического анализа на основе теории пределов первым получил Огюстен Луи Коши. В своих трактатах «Курс анализа» (1821 г.), «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823 г.) и «Лекции по применению анализа к геометрии» (1826–1828 гг.) он построил весь математический анализ на основе понятия предела.

В основу интегрального исчисления Коши положил понятие определённого интеграла как предела интегральной суммы. Определённый интеграл Коши рассматривал как одно из важнейших понятий анализа и обозначал его символом , который был предложен Фурье. Именно благодаря Коши этот символ получил всеобщее пользование.

В трактате «Резюме лекций» Коши дал аналитическое доказательство существования определённого интеграла от непрерывной функции.

Современное определение предела сформулировал немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897). Он полностью арифметизировал определение предела и непрерывности. Определения Вейерштрасса, сформулированные на языке «ε–δ», лежат в основе современных курсов математического анализа.

Построение математического анализа на основе арифметизации требовало строгой теории действительного числа, что и было сделано почти одновременно Р. Дедекиндом, К. Вейерштрассом и Г. Кантором.

Важный вклад в развитие методов интегрального исчисления внесли труды Адриена Мари Лежандра «Упражнения по интегральному исчислению» в трёх томах (1811–1819 гг.) и «Трактат об эллиптические функции и интегралах Эйлера»" (1827–1832 гг.), исследования Нильса Хенрика Абеля, Карла Густава Якоба Якоби, Михаила Васильевича Остроградского, Пафнутия Львовича Чебышева, Георга Фридриха Бернхарда Римана, Анри Луи Лебега, Оскара Перрона, Арно Данжуа, Александра Яковлевича Хинчина и многих других учёных.

Отметим, что ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объёмов, были получены с созданием Камилем Жорданом теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале ХХ в. были предложены французскими математиками Анри Леоном Лебегом, Арно Данжуа и советским математиком А.Я. Хинчиным.

Особо следует отметить большой вклад в развитие математического анализа Михаила Васильевича Остроградского (1801–1862), который родился на Полтавщине.

Основные труды учёного посвящены математическому анализу, математической физике и механике. Он является автором знаменитой формулы, вошедшей во все учебники по математическому анализу и теоретической физике, которую сейчас называют формулой Остроградского–Гаусса. Кстати, «король математиков» Гаусс доказал эту формулу только для частного случая.

Широко известен метод Остроградского интегрирования рациональных функций, формула Остроградского–Лиувилля в теории дифференциальных уравнений (хотя Лиувилль доказал её на семь лет позже).

Учёный ввёл понятие сопряжённого оператора, установил принцип разложения функций в ряд по собственным функциям, сформулировал принцип локализации, который ныне широко применяется в теории тригонометрических рядов. Многие теоремы и формулы учёного вошли в различные курсы математического анализа, но его имя при этом не всегда упоминается.

Остроградский вошёл в историю не только как выдающийся учёный. Он был также и великий педагог, чья деятельность имела решающее значение для повышения уровня и роли науки, и в первую очередь, математики, механики и инженерии в тогдашней Российской империи.

Михаил Васильевич был активным пропагандистом физико-математических достижений, создателем многих учебников по математике и механике, на которых учились целые поколения учёных и инженеров. Его «Лекции по алгебраическому и трансцендентному анализу» (1837 г.) были первым совершенным пособием для студентов вузов России. Крылатыми стали слова учёного: «У хороших учителей будут и хорошие ученики».

Под влиянием Остроградского зародились научные школы, давшие миру таких выдающихся русских учёных как П. Чебышев, Н. Жуковский, А. Ляпунов, В. Стеклов, Г. Вороной, С. Чаплыгин и др. Он был одним из основоположников знаменитой Петербургской математической школы.

Остроградский был человеком высокого уровня духовной культуры, в совершенстве владел французским языком, хорошо знал французскую классическую литературу, не говоря уже о русской. Но украинский язык, язык его родителей, его народа, был для него самым дорогим.

Он разговаривал на нём дома и нередко употреблял украинские слова во время своих лекций. И хотя он часами мог читать монологи из Мольера и Корнелия, любимым его поэтом был Тарас Шевченко, значительную часть стихов которого он знал наизусть.

Как вспоминал Тарас Шевченко, Остроградский принимал его у себя дома как родного. Последним желанием учёного было, чтобы его, как и Шевченко, похоронили в Украине. Так оно и случилось.

Умер М.В. Остроградский 1 января 1862 г. в Полтаве и похоронен в родном селе. 200-летие со дня рождения известного российского и украинского математика по решению ЮНЕСКО в 2001 г. отметила международная научная общественность.

В честь юбилея в Полтаве установлен памятник учёному, а в Киеве проведен Украинский математический конгресс, посвящённый его памяти.

Наша родная земля дала миру Михаила Васильевича Остроградского – первого отечественного учёного, который вышел на уровень величайших математиков XIX века и в эпоху бурного развития науки вместе со славной когортой европейских учёных творил основы современной математики, механики и физики.

Н.В. Шмигевский, кандидат физико-математических наук

По теме: