Перші математичні поняття беруть свій початок із глибокої давнини, яка не залишила ніяких письмових пам’яток, бо на той час люди ще не могли записувати свої думки. Точної відповіді на питання: де, коли і як виникло вперше поняття числа, – дати неможливо.

Археологічні пам’ятки доводять, що людина володіла поняттям числа ще в кам’яному віці (40 – 10 тис. років до н.е.). Відомості про результати лічби у давнину зберігали за допомогою зарубок на дереві або на кістках убитих звірів. Існував також спосіб вузликової лічби, в якому роль зарубок відігравали вузлики на вірьовці.

Найдавнішим записом числа, відомим у наш час, вважається запис на променевій кістці молодого вовка завдовжки 18 см. На ній висічено 55 глибоких зарубок – паралельних рисочок, розташованих групами по 5, причому після 25 зарубок йде довга риска. Ця кістка була знайдена біля села Вестоніце в Моравії (Чехія) в 1937 р. Історики вважають, що її вік приблизно 30 тис. років.

Кістка слугувала, мабуть, для запису трофеїв доісторичних мисливців. Цей найдавніший математичний документ – числовий запис печерної людини – є прообразом лічильних паличок, які й досі застосовують мисливські племена на крайній півночі.

Зарубками, що позначали борги на дерев’яних бірках, користувалися в Західній Європі навіть у ХІХ ст. бірку розколювали навпіл, одна частина зберігалась у боржника, інша – у кредитора. Відома пожежа 1834 р. англійського парламенту відбулася саме при спалюванні таких бірок у парламентських печах. Про поширення записів за допомогою зарубок свідчить широко вживаний вислів «зарубай собі на носі».

Інки записували свої боргові зобов’язання за допомогою вузликів на кольорових вірьовках – перуанських квипу. Аналогічні квипу зустрічались у землеробів деяких районів Китаю та Японії ще й у минулому столітті.

Із глибокої давнини робота з числами поділялась на дві частини: одна стосувалась безпосередньо властивостей чисел, інша була пов’язана з технікою лічби, «арифметикою» у багатьох країнах зазвичай вважають саме цю частину, яка, поза сумнівом, є найдавнішою галуззю математики.

Наука про числа

Арифметика (грец.: arithmetika, від arithmys – число) – наука про числа, насамперед про натуральні числа (цілі додатні) та раціональні числа (цілі числа та дроби), і дії над ними.

Володіння достатньо розвиненим поняттям натурального числа і вміння виконувати дії з числами необхідні для практичної та культурної діяльності людини. Тому арифметика є елементом дошкільного виховання дітей, а також обов’язковою складовою шкільної математичної освіти.

За допомогою натуральних чисел конструюються більшість математичних понять (наприклад, основне поняття математичного аналізу — дійсне число). У зв’язку з цим арифметика є однією з основних математичних наук. Коли робиться наголос на логічному аналізі поняття числа, то іноді вживають термін теоретична арифметика. Арифметика тісно пов’язана з алгеброю, в якій, зокрема, вивчаються дії над числами без урахування їхніх індивідуальних властивостей. Індивідуальні властивості цілих чисел складають предмет теорії чисел.

Виникнувши ще в глибоку давнину з практичних потреб лічби і найпростіших вимірювань, арифметика розвивалась у зв’язку з ускладненням господарської діяльності і соціальних відносин, грошовими розрахунками, задачами вимірювань відстаней, часу, площ і вимогами, які висували до неї інші науки.

Про виникнення лічби і про початкові стадії утворення арифметичних понять судять зазвичай за допомогою спостережень, що стосуються процесу лічби у первісних народів, а також шляхом вивчення слідів аналогічних стадій, що збереглися в мовних традиціях деяких народів.

Тривалий час вважалося, що лічба починалася як лічба на пальцях. Тепер доведено, що лічба на пальцях з’явилася пізніше. У сучасній науці виділяють п’ять етапів розвитку лічби: чуттєво-образний, числа якості, пальцева лічба, числа сукупності, абстрактні числа.

Джерелом перших достовірних відомостей про стан арифметичних знань в епоху давніх цивілізацій є письмові документ Давнього Єгипту (математичні папіруси), які написані приблизно за 2 тис. років до н. е. Це – збірники задач із наведеними розв’язками, правилами дій над цілими числами і дробами, а також із допоміжними таблицями, що не містили жодних пояснень теоретичного характеру. Розв’язання деяких задач у цьому збірнику виконується, по суті, за допомогою рівнянь; зустрічаються також арифметичні і геометричні прогресії.

Про досить високий рівень арифметичної культури вавилонян за 2 – 3 тис. років до н. е. свідчать їхні клинописні математичні тексти. Письмова нумерація вавилонян у клинописних текстах являє собою своєрідне сполучення десяткової системи (для чисел, менших 60) із шестидесятковою, з розрядними одиницями 60, 60² і т.д. Найбільш суттєвим показником високого рівня розвитку арифметики є вживання шестидесяткових дробів із поширенням на них тієї ж системи нумерації, аналогічної сучасним десятковим дробам.

Техніка виконання арифметичних дій у вавилонян, у теоретичному відношенні аналогічна звичайним прийомам у десятковій системі, ускладнювалась необхідністю використовувати таблиці множення (для чисел від 1 до 59). Клинописні матеріали, що збереглися, містять також і відповідні таблиці обернених чисел (двозначних і трьохзначних, тобто з точністю до 1/60² і 1/60³), що застосовувалися при діленні.

У давніх греків практична сторона арифметики не отримала подальшого розвитку; система письмової нумерації за допомогою букв алфавіту, яку вони використовували, була значно менш придатною для виконання складних обчислень, ніж вавилонська (до речі, давньогрецькі астрономи надавали перевагу шестидесятковій системі).

З іншого боку, давньогрецькі математики поклали початок теоретичній розробці арифметики в тій її частині, що стосувалася вчення про натуральні числа, теорії пропорцій, вимірювання величин і – в неявній формі – теорії ірраціональних чисел. У «Началах» Евкліда (3 ст. до н. е.) міститься доведення нескінченності множини простих чисел, основні теореми про подільність, алгоритми для знаходження спільної міри двох відрізків і найбільшого спільного дільника двох чисел (алгоритм Евкліда), доведення важливого факту про несумірність сторони і діагоналі квадрата (тобто, висловлюючись сучасною мовою, встановлення ірраціональності числа √2 ), і викладена в геометричній формі теорія пропорцій.

До теоретико-числових задач відносяться задачі про досконалі числа (Евклід), про піфагорові числа, а також – вже у більш пізню епоху – алгоритм для виділення простих чисел із усієї множини натуральних чисел (решето Ератосфена) і розв’язання ряду невизначених рівнянь 2-го і більш високих степенів (Діофант).

Суттєву роль в утворенні поняття нескінченного натурального ряду чисел відіграв «Псамміт (числення піщинок)» Архімеда (3 ст. до н. е.), в якому була доведена можливість іменувати і позначати як завгодно великі числа. Твори Архімеда свідчать про високе мистецтво в отриманні наближених значень шуканих величин: добування кореня з багатоцифрових чисел, знаходження раціональних наближень для ірраціональних чисел, наприклад , .

Римська нумерація

Нумерація (від лат.: numerus – число, numeratio – лічба) – це спосіб читання та записування чисел. Відповідно розглядають усні та письмові нумерації. Усних нумерацій існує стільки, скільки існує мов. Завдання всякої нумерації – зобразити будь-яке натуральне число за допомогою невеликої групи спеціальних знаків (цифр).

Римляни не просунули вперед техніку обчислень, однак вони залишили свою систему нумерації, так звані римські цифри.

Нумерація давніх римлян – римська або латинська – єдина з усіх ієрогліфічних систем, яка «дожила» до нашого часу. Така нумерація переважала в Італії до XIII ст., а в інших країнах Західної Європи – до XVI ст. Про походження римських цифр достовірних відомостей немає.

Римська нумерація несе на собі сліди системи числення за основою п’ять. У мові ж римлян жодних натяків на таку систему немає. Отже, ці цифри були запозичені римлянами, найімовірніше – в етрусків, прадавніх корінних жителів Італії, біля 500 р. до н.е.

У давнину лише знаки I (одиниця), V (п’ять) і X (десять) зображались так як тепер. Так, числа 1 і 10 в етрусків позначалися символами І та Х – піднятого пальця і перехрещених рук. До римської нумерації ці символи ввійшли без будь-яких змін. Римське V утворилося як верхня половина символу Х (цікаво, що інколи писали «п’ять» як нижню половину символу Х). Число 50 етруски позначали символом ↓. Римляни спочатку перетворили його в ⊥, а потім спростили до L.

Із розвитком писемності римляни утворили буквені позначення: C = 100 = «Сentum (сто)», М = 1000 = «Mille (тисяча)», D = 500 = «Demimille (половина тисячі)».

Таким чином, у римській нумерації використовуються особливі знаки для десяткових розрядів: І = 1, Х = 10, С = 100, М = 1000, а також їх половин: V = 5, L = 50, D = 500. Ця система використовувалася в Стародавньому Римі. Римська нумерація була поширена в Європі протягом двох тисяч років. Лише у пізньому середньовіччі її змінила більш зручна десяткова система, запозичена в арабів, які, в свою чергу, дізналися про неї в Індії.

У цій системі натуральні числа записуються за допомогою повторення цифр. При цьому якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони додаються (принцип додавання), якщо ж менша цифра стоїть перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). Останнє правило застосовується лише для уникнення чотириразового повторення однієї й тієї ж цифри. Наприклад, І, Х, С ставлять відповідно перед Х, С, М для позначення 9, 90, 900. Якщо І, Х, С поставити відповідно перед V, L, D, то отримаємо 4, 40, 400.

Наведемо деякі приклади запису чисел у цій системі: VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4 (замість ІІІІ); ХІХ = Х + Х – 1 = 19 (замість XVIIII); XL = 50 – 10 = 40 (замість ХХХХ), ХХХІІІ = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 333 і т. д.

Отже, записували числа, починаючи з більших значень і закінчуючи меншими, зліва направо. Числа римської нумерації записують і читають не послідовно, а з урахуванням позиції того чи іншого ієрогліфа – так знак IV слід читати як «без одного п’ять», тобто чотири. А знак VI – «п’ять і один», тобто шість.
 Іншими словами – всі ієрогліфи, що стоять перед старшим за значенням, віднімається від нього, а справа – додаються.

Загальне число визначається як сума всіх значень ієрогліфів, із урахуванням їх розташування справа чи зліва більшого ієрогліфа. Латиняни вміли не лише додавати, але й віднімати числа.

Виконання арифметичних дій над багатозначними числами в цій системі дуже незручне. Однак римську нумерацію використовують і сьогодні, наприклад, для позначення століть (ХІХ ст.), років н.е. (МСМХСVIII – 1998), місяців у даті (20. ІХ. 2007), порядкових чисельників, а також похідних 4-го, 5-го і т. д. порядків (у ^IV, y ^V, …). Її також використовують для вказівки порядкових номерів монархів, наприклад, Петро І, Микола ІІ, Наполеон ІІІ і т.д.

 

Широкого вжитку запис IV набув лише в ХІХ ст. До цього найчастіше вживали запис ІІІІ. Однак запис IV можна зустріти вже в документах манускрипту «Forme of Cury», який датовано 1390 роком. На циферблатах годинників у більшості випадків традиційно використовують «IIII», замість «IV». Це пояснюється естетичними міркуваннями: такий напис забезпечує візуальну симетрію з цифрами «VIII» на протилежній стороні, у той час як перевернуту «IV» прочитати важче, ніж «IIII».

Тривалий час у римській нумерації був відсутній знак для позначення нуля. Сучасне слово «нуль» походить від латинського слова Nullus – ніякий. Вживалося воно, починаючи з ХІІ ст., у поєднанні Nulla figura (ніяка фігура) та Nullus circulus (ніякий кружечок). Самостійно вживається з XIV ст. і позначається N.

Для написання великих чисел, починаючи з 4000 і більше, використовували верхнє підкреслення знаків, що означало множення на 1000. Наприклад, V^– = 5000, X^– = 10000,  MV^–= 5000 – 1000 = 4000.

Для позначення дуже великих чисел загальноприйнятого правила не існує, але часто вживається нижнє підкреслення числа, що означає його множення на 1 000 000. Наприклад, L = 50 000 000, М = 1 000 000 000. Іноді для позначення множення на 1 000 000 вживають не нижнє, а подвійне верхнє підкреслення знаків.

У середньовіччі існували позначення – ІІІІ (замість IV), ІІХ (замість VIII) та VV (замість Х). Ті позначення, які вживаються зараз, називають пост-вікторіанськими.

У період після Ренесансу (епохи Відродження) часто стали складати хронограми – слова або фрази, написані зазвичай латиною, де окремі букви утворюють римськими цифрами певне число.

Хронограма – (від грец. chronos – час і gramma – запис), надпис на архітектурних та інших художніх пам’ятниках, особливо часто на пам’ятних монетах і медалях, в яких декілька букв, зазвичай латинського алфавіту, що позначають одночасно й римські цифри, виділені іншим шрифтом і підібрані так, що при додаванні передають рік пам’ятної події.

Якщо хронограма зашифрована у вірш, вона називається «хроновірш». Так, наприклад, медаль, яка була випущена у рік смерті швецького короля Карла ХІІ (1719 р.), містить такий хроновірш:

«aCh eIn sChVs aVs frIeDrIChshaLL Ist Des theVren CaroLLs faLL»

(нім.: «Ах, постріл із Фрідріхсхалла – смерть дорогого Карла»), тобто: C+I+C+V+V+I+D+I+C+L+L+I+D+V+C+L+L+L+L = MDCCXIX = 1719.

Хронограми зустрічаються в нумізматиці із середини XV ст. і до кінця XVIII ст. Особливо великої популярності вони набули в епоху бароко.

Баро́ко — характеристика європейської культури XVII–XVIII ст., центром якої була Франція. Стиль бароко з’явиdся в XVI–XVII ст. в італійських містах: Римі, Мантуї, Венеції, Флоренції. Саме епоху бароко прийнято вважати початком тріумфального ходу «Західної цивілізації». Під впливом ідей бароко Петро I своїми реформами змусив Росію відмовитися від своєї самобутності, а також від ідеї, що «Москва – третій Рим» на користь приєднання Росії до сім’ї європейських народів.

Далі буде

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук