Арифметика виникла в країнах Стародавнього Сходу: Вавилоні, Китаї, Індії, Єгипті. Наприклад, єгипетський папірус Рінда (названий на ім'я його власника Г. Рінда) відноситься до XX століття до н. е. Серед інших відомостей він містить розкладання дробу на суму дробів із чисельником, рівним одиниці, наприклад:

2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Очевидно, що далеко не кожному читачеві і в наші дні під силу знайти таке розкладання!

Накопичені у країнах Стародавнього Сходу скарби математичних знань були розвинені та продовжені вченими Стародавньої Греції. Багато імен учених, які займалися арифметикою в античному світі, зберегла нам історія – Анаксагор і Зенон, Евклід та Архімед, Ератосфен і Діофант.

Яскравою зіркою сяє тут ім'я Піфагора (6 століття до н.е.). Піфагорійці (учні та послідовники Піфагора) схилялися перед числами, вважаючи, що в них укладена вся гармонія світу. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді було звернено увагу на так звані досконалі числа, дружні числа тощо.

У середні віки розвиток арифметики також пов'язаний зі Сходом: Індією, країнами арабського світу та Середньої Азії. Від індійців прийшли до нас цифри, якими ми користуємося, нуль та позиційна система; від аль-Каші (XV століття), що працював у Самаркандській обсерваторії – десяткові дроби.

Завдяки розвитку торгівлі та впливу східної культури, починаючи з XIII століття, підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Слід згадати ім'я італійського вченого Леонардо Пізанського (Фібоначчі), трактат якого «Книга абака» знайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і став початком багатьох досліджень в арифметиці та алгебрі.

Разом з винаходом друкарства (середина XV ст.) з'явилися перші друковані математичні книги. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії 1478 року. У «Повній арифметиці» німецького математика Міхаеля Штифеля (початок XVI століття) вже є від’ємні числа і навіть ідея логарифмування.

Приблизно з XVI століття розвиток суто арифметичних питань влився в русло алгебри – як значну віху можна назвати появу робіт французького математика Франсуа Вієта. Вієт першим став позначати літерами не тільки невідомі, а й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Тим самим йому вдалося впровадити в науку велику думку про можливість виконувати перетворення алгебри над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він зробив вирішальний внесок у створення буквеної алгебри, чим завершив розвиток математики епохи Відродження і підготував ґрунт для появи фундаментальних результатів титанів науки Нового часу – Декарта, Ферма, Ньютона та Лейбніца.

Починаючи з цього часу, основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри. «Вищі» питання арифметики стають надбанням теорії чисел.

     Основний об'єкт арифметики – число. Натуральні числа, тобто числа 1, 2, 3, 4, … і т.д., виникли з рахунку конкретних предметів. Пройшло багато тисячоліть, перш ніж людина засвоїла, що два птахи, дві руки, дві людини і т.д. можна назвати одним і тим самим словом «два». Важливе завдання арифметики – навчитися відволікатися від конкретного змісту назв предметів, що рахуються, відволікатися від їх форми, розміру, кольору і т.п.

Вже у Фібоначчі (початок XIII ст.) є задача: «Сім старих йдуть у Рим. У кожної по сім мулів, кожен мул несе по сім мішків, у кожному мішку по сім хлібів, у кожному хлібі по сім ножів, кожен ніж у семи піхвах. Скільки всіх?» Для вирішення задачі доведеться складати разом і старих, і мулів, і мішки, і хліби.

До речі, такого ж типу задачі зустрічаються ще в єгипетському папірусі Рінда (20 століття до н.е.): «У кожному із семи будинків живе по сім кішок; кожна кішка з'їла по сім мишей; кожна мишка з'їла по сім колосків ячменю; кожен колос міг дати сім мір хліба. Скільки всіх?» Аналогічним є така російська народна задача: «Ішли сім старців, у кожного старця по сім милиць, на кожній милиці по сім сучків, на кожному сучку по сім кошелів, у кожному кошелі по сім пирогів, у кожному пирогу по сім горобців. Скільки всіх?»

Числа пронизують століття

Розвиток поняття числа – поява нуля і від’ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, методи запису чисел (цифри, позначення, системи числення) – все це має багату і цікаву історію.

Важко простежити наступність у розвитку математики щодо попередніх, давніших культур; однак надзвичайно важливі етапи у розвитку арифметики пов'язуються з культурою Індії, що впливала як на країни Передньої Азії та Європи, так і на країни Східної Азії (Китай, Японія). Крім застосування алгебри для вирішення задач арифметичного змісту, найбільш істотна заслуга індійців – введення позиційної системи числення (із застосуванням десяти цифр, включаючи нуль для позначення відсутності одиниць у якомусь із розрядів), що уможливило розробку порівняно простих правил виконання основних арифметичних дій.

Вчені середньовічного Сходу не тільки зберегли у перекладах спадщину давньогрецьких математиків, але й сприяли поширенню та подальшому розвитку досягнень індійців. Методи виконання арифметичних дій, значною мірою ще далекі від сучасних, але вже такі, що використовують переваги позиційної системи числення, з Х століття н. е. стали поступово проникати до Європи, насамперед до Італії та Іспанії.

Порівняно повільний прогрес арифметики в середні віки змінюється до початку XVII століття швидким удосконаленням прийомів обчислення у зв'язку з практичними запитами, що зросли, до техніки обчислень (задачі морехідної астрономії, механіки, ускладнилися комерційні розрахунки тощо). Дроби зі знаменником 10, що вживалися ще індійцями (при вилученні квадратних коренів) і неодноразово звертали на себе увагу й європейських учених, застосовувалися спочатку в неявній формі в тригонометричних таблицях (у формі цілих чисел, що виражають довжини ліній синусу, тангенсу і т.д. при радіусі, прийнятому за 10⁵).

     Вперше (1427) докладно описав систему десяткових дробів та правила дій над ними аль-Каші. Запис десяткових дробів, що по суті збігається з сучасним, зустрічається у творах Симона Стевіна в 1585 р. і з цього часу набуває повсюдного поширення. До тієї ж ери відноситься винахід логарифмів на початку XVII століття Джоном Непером. На початку XVIII століття прийоми виконання та запису обчислень набувають сучасної форми.

У Росії до початку XVII століття застосовувалася нумерація, подібна до грецької; добре і своєрідно була розроблена система усної нумерації, що доходила до 50-го розряду. З російських арифметичних посібників початку XVIII століття найбільше значення мала високо оцінена Михайлом Ломоносовим «Арифметика» Леонтія Пилиповича Магницького (1703 р.). У ній міститься таке визначення арифметики: «Арифметика або чисельниця, є мистецтво чесне, незаздрісне, і всім зрозуміле, багатокорисне, і багатохвальне, від найдавніших і новітніх, в різні часи живих неабияких арифметиків, винайдене».

Поряд з питаннями нумерації, викладом техніки обчислення з цілими числами та дробами (зокрема, і десятковими) та відповідними задачами у цьому посібнику містяться й елементи алгебри, геометрії та тригонометрії, а також ряд практичних відомостей, що належать до комерційних розрахунків та завдань навігації.  Виклад арифметики набуває вже більш-менш сучасного вигляду у Л. Ейлера та його учнів.

Теоретична розробка питань, що стосуються вчення про число та вчення про вимір величин, не може бути відірвана від розвитку математики в цілому: вирішальні етапи її пов'язані з моментами, що визначали рівною мірою і розвиток алгебри, геометрії та аналізу. Найбільш важливим треба вважати створення загального вчення про величини, відповідного абстрактного вчення про число (ціле, раціональне та ірраціональне) та літерного апарату алгебри.

Фундаментальне значення арифметики як науки, достатньої для вивчення безперервних величин різного роду, було усвідомлено лише наприкінці XVII століття у зв'язку з включенням до арифметики поняття ірраціонального числа, що визначається послідовністю раціональних наближень. Важливу роль при цьому відіграли апарат десяткових дробів та застосування логарифмів, що розширили область здійснюваних із необхідною точністю операцій над дійсними числами (ірраціональними нарівні з раціональними).

Слов'янська нумерація

Зараз у більшості країн світу, незважаючи на те, що там розмовляють різними мовами, рахують однаково «арабською». Але так було не завжди. Ще якихось п'ятсот років тому про щось подібне і гадки не мали навіть в освіченій Європі, не кажучи вже про Африку чи Америку.

Проте числа люди все одно якось записували. Кожен народ мав свою власну або запозичену в сусідів систему запису чисел. Одні використовували літери, інші – цифри, треті – різного роду значки. У когось виходило зручніше, у когось не дуже.

Культура слов'янських народів після прийняття ними християнства перебувала під сильним впливом Візантії – держави, що виникла в IV столітті у східній частині Римської імперії. До складу Візантії входили Греція, Мала Азія, Сирія, Єгипет та ін. Письмові джерела повідомляють, що близько 863 р. після Різдва Христового брати Кирило та Мефодій, які були родом із Болгарії, прибули до слов'янського князівства Моравія, яке вже прийняло християнство (тепер це територія Чехії). Тут вони створили слов'янську абетку, взявши за основу грецьку абетку.

Пізніше ця абетка під назвою кирилиця поширилася на північних слов'янських землях, зокрема й у Київській Русі. За цей духовний подвиг православна церква канонізувала братів Кирила та Мефодія і проголосила їх Рівноапостольними.

Разом із алфавітом слов'яни перейняли й грецьку алфавітну нумерацію. Оскільки слов'янських літер було значно більше, ніж грецьких, то для запису чисел не було потреби вводити нові літери. Слід зазначити, що з відповідності грецькому канону числове значення приписувалося лише тим літерам, які мали грецький зразок.

Наприклад, друга літера слов'янського алфавіту «буки» не мала грецького прототипу, тому вона не мала і числового значення. Третій літері слов'янського алфавіту «веді» відповідала друга літера грецького алфавіту β. Відповідно до цього літера «веді» мала числове значення 2. З цієї причини не було відповідності між порядком літер в алфавіті і порядком чисел.

На відміну від грецької алфавітної нумерації, у слов'янській нумерації використовувалися не малі, а великі літери. Для того, щоб не плутати літери та числа, в грецькій нумерації для позначення чисел над літерами ставили риску, а в слов'янській нумерації риску замінили на жирний знак ~, який називався «титло». Літери від “а” до “і” позначали пальці (одиниці), від “і” до “п” – десятки, від “п” до “ю” – сотні.

     Видозмінився і грецький штрих для позначення тисяч – у слов'янській нумерації для позначення тисяч перед кожною літерою ставили значок #.

Для позначення великих чисел, на відміну від грецького способу, слов'яни використовували самі літери, як і простих одиниць, але кожного більш високого розряду змінювали орнамент навколо них: для десятків тисяч ті ж самі літери ставили в круг; для сотень тисяч – у круг із крапок; для мільйонів – у круг із рисочок. Цей спосіб виявився цілком оригінальним. У будь-якій іншій відомій системі нумерації подібної ідеї не виявлено.

Число 10 000 мало назву "тьма", десять "тем" складали "легіон", десять "легіонів" - "леодр", десять "леодрів" - "ворон", а десять "воронів" - "колоду". Таким чином, "колоді" відповідала "тьма тем", або сучасне число 100 000 000 (сто мільйонів). В одному із старовинних рукописів XVII ст. з цього приводу говориться, що «больше сего числа несть человеческому уму разумети».

Зі словом "Тьма" пов'язана приказка "тьма-тьмуща", що означає немислимо багато. У "Слові про похід Ігорів" ми зустрічаємо фразу "орда покрила вороновим крилом",  яку можна витлумачити так: "побила великою силою", де "велику" можна порівняти з півмільйоном людей.   

Записувалися цифри числа, починаючи з великих значень і закінчуючи меншими, зліва направо. Якщо десятків, одиниць чи якогось іншого розряду не було, то його пропускали. Найцікавіше записувалися числа другого десятка, наприклад:

Читаємо дослівно "чотирнадцять" – "чотири на десять". Як чуємо, так і пишемо: не 10+4, а 4+10 – чотири на десять. І так для  всіх чисел від 11 до 19.

Таким чином, числа 11, 12, 13, ..., 19 записувалися в слов'янській нумерації двома відповідними літерами, причому знак одиниць ставився перед знаком десятків; в числах же 21, 22, 23 і т. д. спочатку писався знак повних десятків, а потім уже знак одиниць (до речі, так і читаються ці числа, наприклад, 21 – двадцять один = 20 + 1). Запис числа, використаний слов'янами, адитивний, тобто в ньому використовується тільки додавання:

= 800+60+3 

У російських рукописних арифметиках XVII століття дроби називали частками, пізніше «ламаними числами». У старих посібниках знаходимо такі назви дробів на Русі:

1/2 - половина, полтина; 1/3 – треть; 1/4 – четь; 1/6 – полтреть; 1/8 – полчеть;
1/12 –полполтреть; 1/16 – полполчеть; 1/24 – полполполтреть (мала треть);
1/32 – полполполчеть (мала четь); 1/5 – пятина; 1/7 – седьмина;
1/10 – десятина.

"Десятиною" називалася і російська міра земельної площі, приблизно рівна 1,09 га, що застосовувалася до введення метричної системи мір.

До XVII століття слов'янська нумерація була офіційною на території сучасної Росії, Білорусії, України, Болгарії, Угорщини, Сербії та Хорватії. У Росії за Петра I взяла гору так звана "арабська нумерація". Досі православні церковні книги використовують слов'янську нумерацію.

Слов'янська глаголічна нумерація

Ця нумерація була створена для переписування чисел у священних книгах західних слов'ян. Використовувалась вона нечасто, але досить довго. По організації вона точно повторює грецьку нумерацію. Використовувалася вона з VIII по XIII ст.

Записувалися цифри числа з великих значень і закінчуючи меншими, зліва направо. Якщо десятків, одиниць чи якогось іншого розряду не було, то його пропускали

Такий запис числа адитивний, тобто в ньому використовується тільки додавання:

= 800+60+3 = 863

Арабська нумерація

Це найпоширеніша на сьогоднішній день нумерація. Арабські цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) вигадали зовсім не араби, вони прийшли до нас з Індії. Просто араби принесли звідти цю форму запису чисел, який потім поширився через Північну Африку та Іспанію до Європи. Ці цифри виникли в Індії (не пізніше 5 ст.), в Європі стали відомі в Х-ХІІІ ст. з арабських творів (звідси і назва – арабські цифри).

Справжню перевагу арабських цифр у порівнянні з римськими не в їх написанні, а в геніальному винаході – позиційній системі числення, в якій  "вага" цифри визначається її положенням. Так, 5 у числі 15 означає лише п'ятірку, а в числі 2523 – п'ять сотень (адже 2523 це 2 рази по тисячі, 5 разів по сто, 2 рази по десять і 3).

Ця ідея настільки ж геніальна, як приборкання вогню та винахід колеса. Якби не було її, нам так би і довелося, помножуючи 27 на 115, перераховувати римськими XXVII на CXV. Без цієї настільки ж простої, як і геніальної ідеї не було б ні сучасної фізики, ні хімії, люди не літали б у космос і не винайшли б комп'ютер.

Після поширення ісламу на Близькому Сході культура багатьох підкорених народів була асимільована. Одним із великих центрів науки на той час став Багдад, де арабські, грецькі, перські, єврейські та інші вчені об'єднали культурну спадщину своїх народів і куди надходили з Індії трактати з астрономії, що містять індійську систему позначення чисел.

Вирішальну роль поширенні індійської нумерації в арабських країнах зіграв посібник, складений на початку IX століття Мухаммедом Аль Хорезмі. Вій був перекладений в Західній Європі латинською мовою в XII столітті. У XIII столітті індійська нумерація набуває переваги в Італії. В інших країнах система поширюється до XVI століття. Європейці, запозичивши нумерацію в арабів, називали її "арабською". Ця історично неправильна назва утримується й досі.

З арабської мови запозичено і слово "цифра" (арабською "сифр"), що означає буквально "порожнє місце" (переклад санскритського слова "сунья", що має таке ж значення). Це слово застосовувалося для назви знака порожнього розряду, і це значення зберігалося до XVIII століття, хоча ще в XV столітті з'явився латинський термін "нуль" (nullum - ніщо).

Якщо походження нової системи було індійським, то зовсім не очевидно, що початкова форма арабських числівників також була індійської. Насправді здається цілком ймовірним, що арабські вчені використовували власні позначення цифр, змінивши їх за прикладом індійських. Індійський метод давав переваги у використанні набагато менших груп знаків та значно спростив письмові обчислення. Сучасна форма кожної цифри у східноарабській та західноарабській (або європейській) системах, мабуть, походить від букв арабського алфавіту. Форма індійських цифр зазнавала різноманітних змін. Та форма, якою ми зараз користуємося, встановилася у XVI столітті.

Література:

1. Депман И.Я. История арифметики. – М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М., 1964.
3. История математики с древнейших времен до начала XIХ столетия. В трех томах. – М., 1970-1972.
4. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1985.
5. Тадеєв В.О. Неформальна математика. – Тернопіль, 2003.

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук

За темою: