Яка людина найсильніша? – Яка здатна осягнути істину!

В попередньому матеріалі про графіки розглядалися лише загальні властивості функцій. Тепер спробуємо застосувати ці властивості до конкретних об’єктів – елементарних функцій.

Як відомо, існує декілька функцій (елементарних), які є саме тими «цеглинками», з яких складається фундамент, що дозволить нам надалі будувати графіки будь-яких функції. Отже, надамо стислу довідку про них, а саме, розглянемо основні елементарні функції за схемою: визначення функції, основні її властивості, побудова графіка.

Хоча ця справа є дещо нудною, проте без неї аж ніяк не можна обійтися.

Функцію виду y = kx + b, де k і b – дійсні числа, називають лінійною функцією. Вона визначена для всіх дійсних значень х, тобто D=(-∞; +∞) при k ≠ 0 E=(-∞; +∞). Відомо, що графіком лінійної функції є пряма. І навпаки, кожна пряма на координатній площині є графіком деякої лінійної функції.

Якщо k = 0, то функція має вигляд y = b, і графік такої функції – пряма, паралельна осі х, наприклад, y = 2. При b = 0, k ≠ 0 отримуємо y = kx, тобто функцію, яка називається «прямою пропорційністю», її графік проходить через початок координат, наприклад, y = –0,5x.

При k > 0 функція є зростаючою, при k < 0 – спадною на всій області визначення. Точки перетину: з віссю ординат (0; b), з віссю абсцис – (–b/k; 0). Наприклад, нехай y = 2x – 3, тоді перша точка має координати (0; –3), а друга – (3/2; 0). Якщо пряма перпендикулярна осі абсцис, то її рівняння має вигляд x = a, наприклад, x = –1 (рис. 1).

Функцію, яку визначають за формулою y=x², називають квадратичною функцією. Вона має D=(-∞; +∞) і E=[0; +∞). При x ∈ (-∞; 0) ця функція є спадною від +∞ до 0, а при x ∈ (0;+∞) – зростаючою від 0 до +∞. Функція парна, оскільки x²=(–x)², приймає найменше нульове значення при х = 0.

Графік функції називають параболою, яка має дві нескінченні гілки, що сходяться в одній точці х = 0 – вершині параболи (рис. 2). Більш загальним видом таких функцій є ступенева функція y=xⁿ, де n – будь-яке дійсне число – показник ступеня. Функцію, яку визначають за формулою y=1/x, називають оберненою пропорційністю.

Для неї D=(-∞; 0) ∪ D=(-∞; 0) і E=(-∞;0)∪D=(-∞;0). Вона є непарною, оскільки

,

тобто її графік є симетричним відносно початку координат. Функція всюди спадна: при xÎ (-∞; 0) від 0 до -∞, а при x ∈ (0; +∞) – від +∞ до 0. Графік функції називають гіперболою, він складається з двох нескінченних гілок, розташованих в першому і третьому координатних кутах. Функція не має нулів, має дві асимптоти: вертикальну х = 0 і горизонтальну – у = 0 (рис. 3).

Функцію виду y=а^x, де а – позитивне число, не рівне одиниці, називають показовою. Для показової функції D=(-∞; +∞) і E=(0; +∞) при х = 0 у = 1, тобто графік функції перетинає вісь у в точці (0, 1). Функція ні парна, ні непарна, має горизонтальну асимптоту – вісь х, тобто у = 0. При а >1 функція є зростаючою від 0 до +∞, а при 0 < а < 1 – спадною від +∞ до 0. На рис. 4 представлені графіки функцій y=2^x і y=(1/2)^x.

Функцію, яка визначаються рівністю y=log_аx , де а – позитивне число, не рівне одиниці, називають логарифмічною функцією. Ця функція є оберненою до показової, вона ні парна, ні непарна. Отже, її властивості є симетричними до властивостей показової функції. Саме, для неї D=(0; +∞) і E=(-∞; +∞), вона має вертикальну асимптоту – вісь у, або х = 0.

При а > 1 функція є зростаючою від -∞ до +∞, а при 0 < а < 1 – спадною від +∞ до -∞. Функція має нуль при х = 1. Графік функції є симетричним графіку показової функції відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. На рис. 5 побудовано графік функції y=log₂x .

Далі розглянемо основні тригонометричні функції sinx, cosx, tgx, ctgx, а також зворотні до них: arcsinx, arccosx, arctgx, arcсtgx.

Функція у = sinx. Вона має D=(-∞; +∞) і E=[-1; +1]. Функція непарна, оскільки sin(-x) =-sinx для всіх х, періодична з періодом 2π. Нулями функції є точки х = πn, n ∈ Z.

Проміжки зростання – відрізки [2πn; (π/2)+2πn], [(3π/2)+2πn; 2π(n+1)], проміжки спадання – відрізки [(π/2)+2πn; 3π/2)+2πn], n ∈ Z. Функція має максимуми, що дорівнюють 1, в точках (π/2)+2πn, n∈Z, а також мінімуми, рівні -1, в точках (3π/2)+2πn, n∈Z. Графік функції називають синусоїдою (рис. 6).

Функція у = tgx. Вона має D=(–(π/2)+πn; (π/2)+πn)  і E=(-∞; +∞). Функція непарна, оскільки tg(–x) = –tgx для всіх х, періодична з періодом π. Нулями функції є точки х = πn, n∈ Z. Проміжки зростання –

.

Функція не має екстремумів. Графік функції називають тангенсоїдою (рис. 8).

Функція у = ctgx. Вона має D = (nπ; π+nπ), n∈Z, і E=(-∞; +∞). Функція непарна, оскільки сtg(–x) = –сtgx для всіх х, періодична з періодом π. Нулями функції є точки х = πn, n∈Z. Проміжки спадання – (πn; p+πn), nÎZ. Функція не має екстремумів. Графік функції називають котангенсоїдою (рис. 9).

Функція у = arcsinх. Вона має D =[1 ; 1 ] і E = [–(π/2); (π/2)]. Функція є оберненою до sinx, непарна, оскільки arcsin(–x) = –arcsinx для всіх х, неперіодична, всюди зростаюча, екстремумів не має. Нулем функції є точка х = 0 (рис. 10).

Функція у = arccosх. Вона має D=[-1;+1] і E=[0;π]. Функція є оберненою до соsx, ні парна, ні непарна, неперіодична, всюди спадна, екстремумів не має. Нулем функції є точка х = 1 (рис. 11).

Функція у = arctgx. Вона має D=[-∞;+∞] і E = [–(π/2); (π/2)]. Функція є оберненою до tgx, непарна, оскільки arctg(–x) = –arctgx для всіх х, неперіодична, всюди зростаюча, екстремумів не має,

має дві горизонтальні асимптоти y=±π/2. Нулем функції є точка х = 0 (рис. 12).

Функція у = arcсtgx. Вона має D=(-∞;+∞) і E=(0;π). Функція є оберненою до ctgx, ні парна, ні непарна, неперіодична, всюди спадна, екстремумів не має, має дві горизонтальні асимптоти y = 0 і y=π. При х = 0 (рис. 13).

Стосовно обернених тригонометричних функцій зауважимо наступне. Якщо підходити до означення оберненої функції формально, то її графік мав би бути симетричним графіку прямої функції відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Тобто це означає, що тоді синусоїда та косинусоїда розмістяться у вертикальному напрямку, а тангенсоїда з котангенсоїдою – в горизонтальному, але будуть повторюватися з періодом p. Але в такому випадку одному значенню аргументу відповідатиме декілька значень функції, тобто матиме місце неоднозначність функції.

Для забезпечення однозначності кожної з розглянутих тригонометричних функцій слід обирати лише певні частини їх графіків.

Оскільки для такого вибору є багато варіантів, то зазвичай обирається найпростішій, як це зроблено на рис. 10-13.

Ось декілька завдань на тему побудови графіків.

1. На рис. 16 зображено графік функціїy=log_ax. За графіком визначити число a.
2. На рис. 15 зображено графік функції y=ax²+ bx +c. За графіком визначити знак (позитивність, негативність або рівність нулю) кожного з чисел a, b i c.
3. На рис. 14 зображено графік функції y=ax²+ bx +c. За графіком визначити знак (позитивність, негативність або рівність нулю) кожного з чисел a,b, i c.
4. Чим відрізняються один від іншого графіки функцій y=lgx² і y=2lgx?
5. Побудувати графік функції якщо a>0 і b² – 4ac=0.

А.О. Антонюк, канд. фіз.-мат. наук, доцент Національного університету державної податкової служби України