Загальновизнано, що математика як теоретична наука зародилася в стародавній Греції за часів Фалеса і Піфагора (VІ ст. до н. е.). До цього елементами математичних знань користувалися переважно для підрахунків і вимірювань або для магічних ритуалів, які мали за мету з’ясувати волю богів. Математичної теорії в повному розумінні цього слова ще не було, справа обмежувалася набором емпіричних правил, часто неточних або навіть помилкових.

Спроба піфагорійців покласти в основу світової гармонії цілі числа (та їх відношення) була поставлена під сумнів після того, як було встановлено існування ірраціональних чисел (несумірність сторони і діагоналі квадрата). Школа Платона (IV ст. до н. е.) обрала геометричний фундамент математики (Евдокс Кнідський). На цьому шляху було досягнуто видатних успіхів античної математики (Евклід, Архімед, Аполлоній Пергський та ін.).

Серед розмаїття геометричних задач, які розв’язували в давнину, особливе місце займають задачі на побудову. Теорія геометричних побудов відіграє важливу роль у математиці – вона є одним із найцікавіших її розділів.

Учення про геометричні побудови виникло в стародавній Греції ще в VІ-V ст. до н. е. і швидко зазнало значного розвитку в працях грецьких учених.

Істотною особливістю постановки задач на побудову в стародавній грецькій геометрії було обмеження засобів розв’язування лише двома інструментами – циркулем і лінійкою. Особлива роль їх у теорії геометричних побудов відбиває особливу значимість кола і прямої в елементарній геометрії. Вивчення цих геометричних образів і визначило основний зміст класичної геометрії, що сформувався в давнину.

«Монополія» циркуля і лінійки як засобів розв’язування конструктивних задач була закріплена у відомих «Началах» Евкліда. Це виявилося не тільки в тому, що в праці розглядаються лише прямолінійні і круглі тіла, але й у формулюванні перших трьох постулатів Евкліда, які можна розглядати як спробу аксіоматичного обґрунтування застосування циркуля і лінійки для розв’язування задач геометрії.

У зв’язку з цим обмеження засобів побудови лише двома інструментами – циркулем і лінійкою – стало історичною традицією, яка й досі існує в шкільному викладанні. При такій побудові виникає принципове питання: чи будь-яка задача може бути розв’язана за допомогою лише цих двох інструментів?

Виявилося, що далеко не кожна. До числа найбільш відомих задач, які не можна розв’язати за допомогою лише циркуля і лінійки, належать передусім три визначні (класичні) задачі давнини: квадратура круга, трисекція кута, подвоєння куба.

Тільки в ХІХ ст. алгебраїчними методами було доведено, що всі ці три задачі не можна розв'язати за допомогою лише циркуля та лінійки. Історичне значення теорії геометричних побудов полягає в тому, що вона дала одне з перших доведень принципової неможливості здійснення деяких процедур у математиці.

При розв’язуванні задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки слід перш за все точно описати всі обмеження на інструменти та допустимі дії.

Лінійка вважається безмасштабною і має тільки одну сторону нескінченної довжини. Безмасштабність означає, що на лінійці відсутні поділки, і тому за допомогою лінійки не можна відкладати відрізки. Односторонність означає, що не можна застосовувати обидва її краї, тобто, за допомогою такої лінійки не можна, наприклад, провести дві паралельні прямі (з різних боків лінійки).

Циркуль може мати будь-який за величиною радіус. Зауважимо, що в Греції циркуль винайшли в Х ст. до н. е. у зв’язку з потребами керамічного виробництва – він був потрібний для зображення на кераміці концентричних кіл.

У задачах на побудову можливі такі операції:

• Позначити довільну точку на площині, точку на одній із побудованих ліній або точку перетину (дотику) двох побудованих ліній.
• За допомогою циркуля намалювати коло з центром у побудованій точці та радіусом, рівним відстані між двома вже побудованими точками.
• За допомогою лінійки провести пряму, що проходить через дві побудовані точки.

Задача про подвоєння куба

Побудувати відрізок, що є ребром куба, який за об’ємом удвічі більший, ніж даний куб.

Походження задачі про подвоєння куба пов’язане з природним бажанням стародавніх учених узагальнити задачу про подвоєння квадрата, тобто задачу про побудову квадрата, який за площею перевищував би даний інший удвічі.

Давні греки порівняно легко розв’язали задачу про подвоєння квадрата. Для цього треба було вміти будувати за допомогою циркуля і лінійки відрізок, довжиною √2. Розв’язання ж задачі про подвоєння куба зводилося до геометричної побудови відрізка ³√2. Однак усі намагання побудувати ³√2 циркулем і лінійкою протягом багатьох століть не приводили до успіху.

І лише в першій половині XIX ст. було доведено, що за допомогою циркуля і лінійки побудувати ³√2 неможливо, а тому й неможливо розв’язати задачу про подвоєння куба. Строге доведення нерозв’язності цієї задачі за допомогою двох інструментів дав французький математик П’єр Ванцель 1837 р.

Труднощі, пов’язані з розв’язанням задачі про подвоєння куба, дали привід для виникнення легенд про походження цієї задачі. Наведемо дві з них.

Легенда перша. Вона належить Ератосфену (276-194 рр. до н.е.), відомому грецькому математику, астроному і філософу. До речі, вчений у своїй діяльності не обмежувався рамками точних наук і був також відомим поетом, першокласним оратором і вмілим археологом. Окрім цього, брав активну участь в Олімпійських іграх і був навіть переможцем у п’ятиборстві.

Ось що він розповів про причини, які спонукали розглядати задачу про подвоєння куба. Одного разу на острові Делос, що розташований в Егейському морі, спалахнула епідемія чуми. Жителі цього острова звернулися за допомогою і порадою до відомого дельфійського оракула, який служив при храмі Аполлона в Дельфах (Дельфи – грецький релігійний центр у підніжжі гори Парнас).

«Щоб припинити страждання людей, – відповів їм оракул, – треба здобути милість богів, а для цього треба подвоїти золотий жертовник богу Аполлону (богу Сонця), який мав форму куба». Мешканці Делоса поквапились якнайшвидше зробити із золота ще один такий же куб і поставили його на перший, думаючи, що проблему подвоєння кубічного жертовника вирішено.

Однак епідемія чуми не припинилася. Тоді жителі знову звернулися до оракула зі спантеличеним питанням:

– Чому ж не припиняється чума, адже ми подвоїли золотий жертовник всесильному Аполлону?

На це їм оракул засмучено відповів:

– Ні, ви не розв’язали поставленої задачі! Треба було подвоїти жертовник, не змінюючи його кубічної форми.

Не в змозі розв’язати цю задачу так, як вимагав оракул, жителі Делоса звернулися за допомогою до великого Платона. Мислитель відповів по-філософськи:

– Боги, мабуть, не задоволені вами за те, що ви мало займаєтеся геометрією.

Однак і сам Платон не зміг розв’язати вказаної задачі циркулем і лінійкою. З тих часів вона стала називатися «делоською задачею» або «дельфійською задачею» (іноді її неправильно називають «делійською задачею»).

Легенда друга. Цар Мінос звелів спорудити пам’ятник своєму сину Главку. Архітектори надали споруді форму куба, ребро якого дорівнювало 100 ліктям. Але Міносу здався цей пам’ятник занадто малим і він наказав його подвоїти. Відчуваючи своє безсилля перед поставленою задачею, архітектори звернулися до вчених-геометрів, але й вони не змогли допомогти. З того часу задачею про подвоєння куба займалися найкращі математики античного світу. Було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати потрібну побудову, застосовуючи тільки циркуль та лінійку.

Спроби розв'язку

• Гіппократ Хіоський (кінець V ст. до н.е.) показав, що задача зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та іншим, удвічі більшим за нього. У сучасних позначеннях – знаходження x та y таке, що

 a/x=x/y=y/2a. Звідси x³=2a³ .

• Архіт Тарентський (початок IV ст. до н.е.) запропонував розв'язання, яке базується на перетині тора, конуса та кругового циліндра.
• Платон (перша половина IV ст. до н.е.) запропонував механічний розв'язок, заснований на побудові трьох прямокутних трикутників із потрібним співвідношенням сторін.
• Менехм (середина IV ст. до н.е.) знайшов два розв'язки цієї задачі, засновані на застосуванні конічних перерізів. У першому розв'язку відшукується точка перетину двох парабол, а в другому – параболи та гіперболи.
• Ератосфен (III ст. до н.е.) запропонував ще один розв'язок, в якому застосовується спеціальний механічний інструмент – мезолябія, а також описав усі відомі розв'язання своїх попередників.
• Нікомед (II ст. до н.е.) застосовував для розв'язання цієї задачі метод вставки, яка виконується за допомогою спеціальної кривої – конхоїди.
• Група схожих між собою розв'язків, які належать Аполлонію, Філону Візантійському та Герону, також послуговуються методом вставки.
• Ще однією групою схожих між собою розв'язань, які належать Дюклу, Паппу та Спору, взята та ж ідея, що й у розв'язанні Платона, при цьому Діокл застосовує для побудови спеціальну криву – цисоїду.
• Свої розв'язання також запропонували Вієт, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Розв’язання за допомогою додаткових засобів

Наведемо спосіб подвоєння куба за допомогою невсиса. Невсис (від грецької νεῦσις – нахилятися вперед) – метод геометричної побудови, мета якого – вписати відрізок заданої довжини між двома кривими лініями таким чином, щоб цей відрізок (або його продовження) проходив через задану точку. Цей метод був відомий ще в стародавній Греції.

Невсис дозволяв розв’язувати деякі геометричні задачі, які не піддавалися вирішенню за допомогою циркуля і лінійки. У IV ст. до н.е. під впливом філософії Платона була побудована ієрархія геометричних об’єктів від «абстрактного і величного» до «конкретного і приземленого».

Ці об’єкти поділялися на три класи:

а) ті, що складаються тільки з прямих ліній і кіл;
б) ті, що додатково до попереднього пункту містять конічні перерізи (еліпси, параболи та гіперболи);
в) ті, що додатково до попереднього пункту містять фігури, для побудови яких потрібні спеціальні засоби, наприклад, невсис.

Фігури останнього класу застосовувалися тільки в тому випадку, якщо ніякими іншими засобами розв’язати задачу було неможливо. Невсис перетворився в запасний варіант, який був потрібний, коли не допомагали більш респектабельні методи. Грецький математик Папп Александрійський (біля 325 р. н.е.) вважав серйозною помилкою використання невсиса там, де можна було застосувати інші інструменти.

Візьмемо рівносторонній трикутник MPN зі стороною a, продовжимо сторону PN і на відстані a від точки N побудуємо точку R. Продовжимо вліво відрізки NM і RM. Візьмемо лінійку невсиса з діастемою a, застосовуючи пряму NM у якості напрямної, точку P в якості полюса і пряму RM в якості цільової лінії, побудуємо відрізок AB. Довжина відрізка BP відповідає стороні куба подвоєного об’єму в порівнянні з кубом зі стороною a.

Література

1. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности. – М., 1963.
2. Костарчук В.М., Хацет Б.І. Про можливе і неможливе в геометрії циркуля і лінійки. – К., 1971.
3. Белозеров С.Е. Пять знаменитых задач древности. – Ростов-на-Дону,1975.
4. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. – М., 1992.
5. Прасолов В.В. Геометрические задачи древнего мира. – М., 1997.
6. Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов. – М., 2007.
7. Щетников А.И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? – Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3–15.

М.В. Шмигевський