Поговоримо, нарешті, про сучасну квантову теорію. Ця теорія об'єднала в одне ціле хвильові (нелокальні, польові) та квантові (локальні, корпускулярні) уявлення. Перед тим, як торкнутися математики такого об'єднання, пояснимо якісно пов'язану з цим проблему корпускулярно-хвильового дуалізму.

Суть цієї проблеми в тому, що за деяких умов відомі нам об'єкти, що відносяться до мікросвіту, наприклад, світло, виявляють властивості і хвиль, і ізольованих частинок. Власне все, що сьогодні ми знаємо про це, міститься в принципі доповнюваності Нільсом Бором, який стверджує, що матерія одночасно не може виявляти і корпускулярні, і хвильові властивості.

У сучасній квантовій теорії цей принцип реалізується дуже своєрідно, при тому, що повного розуміння чому так, допоки нема. Насправді квантова теорія вирішує цю проблему дуалізму таким чином, що частинку поміщають в особливе (хвильове) поле, яке визначає її рух.

Це поле незвичайне, воно має інформаційний характер, точніше описує не реальну траєкторію частинки, як у динаміці Ісака Ньютона, а ймовірність можливих положень частки під час її руху. При описі ж фізичного (хвильового) поля теорія використовує розкладання його на окремі частинки – кванти цього поля.

У цьому місці залучимо для розуміння подальшого міркування, пов'язані з точністю вимірювань. Насамперед висловимо, якою б дивною ця думка не здалася, наступне. Людському досліду з самого початку притаманний квантовий (дискретний) опис будь-якого об'єкта природи. Для пояснення цієї парадоксальної думки звернемося до простого прикладу.

Розглянемо найпростіший прилад – ртутний термометр. Його шкала починається з 34 і закінчується 42°С. Ціна поділу (відстань між найближчими рисками) – 0,1°С. Такий прилад дозволяє виміряти не більше ніж (42 - 34)/0,1 = 80 різних значень температури. Вже, скажімо, 36,62 і 36,69 градуса за його допомогою розрізнити не можливо. Такі значення за межами його точності. Якщо термометр електронний, його табло показує певну цифру, наприклад, 36,6°С.

Можна, звичайно, оком розрізнити і 0,05°С і навіть товщину риски. Але це вже інший, набагато досконаліший прилад – людське око. Відомий фізик лорд Релей (Стретт Джон Уїльям) навіть стверджував, що розрізняє долі мікрона (1 мкм = 0,001 мм). Але залишимо це на рахунку його професійної гордості.

Таким чином, який би людський прилад не взяти, за його допомогою можна виміряти лише скінченну кількість (дискретний набір) значень деякої фізичної величини.

Ідеалізація, якою користуються математики і найчастіше фізики, полягає у тому, що перехід від одного показання до сусіднього вважають таким, що відбувається «безперервно». Насправді безперервний перехід вимагає нескінченно високої точності, аби розрізняти як завгодно близькі значення. Природно, в жодному експерименті такий вимір неможливий.

Іншими словами, дослід просто не допускає безперервності. Хоча це поняття дуже зручно при теоретичному аналізі. При цьому, якщо значення фізичної величини значно більше за абсолютну похибку його вимірювання, зазначена ідеалізація дає гарне узгодження з дослідом.

Вже у наведеному вище прикладі виникає питання: є два сусідніх значення температури 36,6 і 36,7 °С, а що ж розташовується між ними? Чи існують проміжні значення температури? Для реального спостерігача між двома значеннями повна невизначеність – «порожнеча». Її нібито нема, але з іншого боку, щось у цьому проміжку начебто існує.

Справа в тому, що будь-які явища природи, незрозумілі доступній людині логіці, зазвичай знаходять у неї пояснення із залученням якихось вищих, недосяжних сил. Так само виглядають справи з фізичним вакуумом або порожнечею. Її введення пов'язане з угамуванням нашої допитливості (наших страхів) про навколишній, але не доступний нашому спостереженню зовнішній світ.

Вчені, які вважають себе атеїстами, використовуючи подібні поняття, введенням ефіру або вакууму, який не можна спостерігати, підміняють те, що віруючі відносять до божого промислу. З нього виникають або в ньому пропадають частинки, кванти якихось полів. Такі, часто віртуальні явища дозволяють дати «розумні» пояснення незрозумілому.

Залучимо до розуміння сенсу порожнечі теорію вимірів. Нехай є два невеликі тіла і між ними «порожній» простір. Зрозуміло, що будь-які дві сусідні дуже малі ділянки простору між цими тілами не можна розрізнити. Але чи це означає, що в них нічого немає? Зовсім не обов'язково, адже там можуть просто знаходитись об'єкти (частинки, чи поля) невидимі для людських приладів.

Далі можна припустити, що між цими невидимими об'єктами існує деяке силове поле, яке формує цю порожнечу між видимими нам тілами. Іншими словами, це силове поле, що не доступно спостереженню, визначає метрику нашого простору.

Виходить парадоксальна ситуація. Це щось вважають існуючим, хоч і невидимим для людини, і воно до того ж дозволяє пояснювати дива.

Наведемо фантастичний, тобто незрозумілий людській логіці приклад. З частин тіла, що невидимі для спостереження, якийсь демон розрізнення може скласти точно таке ж тіло, але вже в зовсім іншому місці або перенести тіло, що спостерігається, в це місце маленькими порціями, які не можна спостерігати, причому з якою завгодно (недоступною людині) швидкістю. Цю ж операцію можна здійснити в тому ж місці, але в інший момент часу.

У першому випадку маємо відоме явище телепортації, а в іншому – виникнення тіла раптом, з нічого. І без жодних, недоступних спостереженню, згорнутих просторових вимірів. Роль такого демона можуть грати зазначені вище невидимі силові поля.

Втім, принцип неможливості існування подібного демона аналогічний неможливості існування демона Максвелла (у цьому, нагадаємо, суть другого закону термодинаміки).

Виходить, що заборона існування демона розрізнення еквівалентна забороні явища телепортації.

У читача може виникнути враження, що автор уникає розповіді про сучасну квантову теорію. Далі спробую пояснити існуючий тут дуже суттєвий зв'язок.

Як ви пам'ятаєте, у квантовій теорії велике значення мають частинки та поля. З точки зору вимірів, якщо в деякій області простору ми спостерігаємо значення фізичних величин у кількох точках, то вже можна говорити про поле значень цієї величини. Зрозуміло, що точка помітна, якщо займана нею ділянка більша за абсолютну похибку вимірювання відстаней.

І якщо значень, що вимірюють досить багато, то поняття безперервності дає прекрасну можливість для математичного опису, яке власне успішно і завершили великі Ісак Ньютон і Готфрид Лейбніц.

Повертаючись до проблеми корпускулярно-хвильового дуалізму, бачимо, що перехід від частинки до поля і навпаки пов'язаний з точністю вимірів.

Тут відзначимо цікаву особливість в оволодінні вченими таємниць мікросвіту. Згадаймо піонерів математичного опису мікрочастинок (атомів) – Іоганна Бернуллі, Михайла Ломоносова, Леонарда Ейлера, – які зробили суттєвий крок у вивченні та розумінні атомів. Зазначимо, що в ті часи навіть опосередковане спостереження атомів було дуже далеко за межами можливостей досліду.

І ось, незбагненним чином, атомна гіпотеза дозволила Іоганну Бернуллі побудувати модель, до речі, засновану на динаміці Ісака Ньютона, яка привела його, із залученням ідей симетрії та ймовірності, до величини, яку вже можливо було спостерігати, до температури. Крім того, був знайдений зв'язок з добре відомими і надійно встановленими на той час газовими законами Роберта Бойля – Едма Маріотта, Жозефа Гей-Люссака та Жака Шарля. Ця теорія розкрила мікроскопічний зміст цих законів.

Таким чином, після древніх греків вперше з'явилися не загальні міркування про атоми, а цілком реальні елементарні частинки (атоми, яких, до речі, і сьогодні прямо ніхто не спостерігав) і математичний їх опис.

Відзначимо тут цікаву особливість мікросвіту. Вчені, які застосували до невидимих об'єктів відомі зі спостережуваного світу закони, отримали чудове узгодження з дослідом. Так, отримана, як середня характеристика енергії руху невидимих атомів, температура, чудово стало в нагоді для опису досліду, що допускає вимірювання.

Але таке поширення відомих, перевірених законів у невідому область, як трапилося з квантовою теорією, працює не завжди. Аналізуючи математичний апарат, пошукаємо причини такого стану речей.

В основі багатьох розділів фізики лежать загальні закони, на кшталт закону збереження енергії. Ці закони записують у вигляді алгебраїчних співвідношень, локальний запис таких виразів – це диференціальні рівняння, тобто вирази, які передбачають можливість вимірювати величини, що входять до них, з як завгодно великою точністю.

Пов'язано це з тим, що диференціальні рівняння – це вирази, в які входять похідні від невідомих функцій. Але похідна – це гранична операція, що виражається відношенням величин, які наближаються до нуля. Але таким діям суперечать доступні людині можливості виміру цих самих величин.

Приклад похідної – миттєва швидкість, яка, на відміну від середньої швидкості на якійсь виміряній ділянці шляху (Δs/Δt, де Δs – довжина ділянки шляху, Δt – час проходження цього шляху), дає локальне значення швидкості в певний момент часу.

Крім того, квантова теорія – це теорія мікросвіту, де об'єкти вивчення знаходяться біля меж можливостей досліду (вимірювань). За тих обставин, що рівняння цієї теорії (наприклад, рівняння Ервіна Шредінгера чи операторні рівняння Вернера Гайзенберга) містять похідні.

І тут зазначимо цікавий момент. Поки найменше з можливих спостережуваних значень – це абсолютна похибка вимірювання, – значно менше вимірюваної величини, похідну добре (із задовільною точністю) замінює звичайне відношення конечних величин. Але біля меж точності таке наближення неприпустимо.

Тут виникає природне заперечення: а як же незбагненна, перевірена дослідом ефективність математики в квантовій теорії? Цьому є пояснення, наприклад, таке, про яке ми колись згадували. Дуже точне, чисто математичне, налаштування певного набору констант (їх називають фундаментальними), що входять у відповідні рівняння.

Отже, вже в основі квантової теорії лежать рівняння, що не допускають жодних, тим більше грубих, вимірів. Висновок такий, що реальні рівняння, які описують мікросвіт, обов'язково повинні враховувати точність виміру спостережуваних в експерименті величин.

Насправді ми розглянули теорію з дуже великої висоти, і думаю, буде цікава докладніша розповідь про математику квантової теорії. При цьому цікаво дізнатися, як сучасна теорія справляється з труднощами, що виникають, парадоксами. І ця тема варта окремої самостійної розповіді.

О.М. Пальті, ст. наук. співробітник з фізики ВТНП

За темою: