Якось запропонував одному колезі-теоретику, що полюбляв задачі з парадоксами, задачу про черепаху, на вигляд, та й за рішенням, просту, але… Втім, по порядку. Треба сказати, що колись ми з ним довго обговорювали тему похибок непрямих вимірювань, до якої належить ця задача, але до угоди не дійшли.

Почнемо з самої задачі. Для її розв’язку дійсно досить простої арифметики. Складність у розумінні, чому саме так.

Черепаха проповзла шлях s = 1 м (нехай шлях виміряний з абсолютною похибкою Δs = ± 0,01м) за час t = 30 хв (його похибка Δt = ± 3 хв). Якщо порахувати середню швидкість черепахи, матимемо:

v = 1/30 = 0,0(3) = 0,033333 ... (м/хв).

Але виникає суто фізичне питання: скільки вірних знаків після коми слід залишити у значенні середньої швидкості (тобто, яке Δv)?

Зауважимо, відомий метод розрахунку абсолютної похибки з використанням часткових похідних тут не проходить (про цей метод розкажемо далі). Розрахунок цих похідних вимагає відповіді на таке саме питання.

Тут знадобляться деякі коментарі. Спочатку, нагадаємо, що таке непрямий вимір. Якщо треба знайти швидкість (v = s/t), то час і пройдений шлях вимірюють безпосередньо приладами, лінійками і годинниками, - це прямі виміри.

А ось значення середньої швидкості знаходять розрахунком за відомою формулою, це вже непрямий вимір. І він не є виміром у звичайному розумінні, це математична операція і її похибка має бути обчислена. Без цього формула – чиста математика, яка не має відношення до практичних застосувань.

Ще такий приклад. Знаючи початкове положення тіла і його початкову швидкість (їх можна виміряти безпосередньо - це прямі вимірювання), за допомогою теорії (механіки) можна знайти положення тіла у будь-який момент часу за допомогою розрахунку.

Іншими словами, маючи потрібні прилади, можна, задати вхідні умови з певною точністю, а ось результат, який отримують за допомогою розрахунків – це вже непрямий вимір і його точність можна тільки розрахувати. Такий розрахунок має у життєвих ситуаціях не останнє значення (наприклад, для захисту від ворожої ракети).

Метод знаходження похибки непрямого виміру має не аби яке значення для техніки взагалі. Сюди слід зарахувати і обчислювальну техніку, з допомогою якої створюють моделі (алгоритми) розв'язання будь-яких прикладних задач.

Колись завідувач кафедри комп'ютерних наук, професор, на моє запитання про кількість вірних знаків у результаті обчислення за формулою чи алгоритмом усміхнувся і сказав, а скільки вам потрібно 16, 32, …

Відповідь проста але наївна, кількість вірних знаків у розрахованому значенні залежить, навіть при значних можливостях машини, не від швидкодії процесора, а від введених до комп'ютера результатів прямо виміряних з певною точністю величин.

При цьому може статися, що достовірних значень зовсім нема. Це ми побачимо нижче на прикладі.

Зрозуміло, що формула (непрямий вимір) тільки тоді має сенс для застосувань, якщо розрахована похибка не перевищує розрахованого за формулою значення самої шуканої величини.

Власне в цьому полягає принцип непрямої спостережуваності. Якщо помилки описувати відносною похибкою (це відношення абсолютної похибки до виміряного значення), то: похибка непрямого виміру має не перевищувати одиницю.

Наприкінці останньої нашої розмови з колегою, він поставив мені питання, над яким довелося замислитися. Пізніше, коли прийшло більш повне розуміння, написав на тему непрямих вимірів кілька популярних статей.

А виглядало це питання так: а ти можеш довести, що запропонований тобою метод розрахунку помилки непрямого виміру правильний? Тоді мені було інтуїтивно очевидним, що доказом для фізика має бути лише дослід.

Перевірити на досліді можна лише те, що піддається прямому виміру. Так, до речі, вважав і відомий фізик Ернст Мах. Який до речі сумнівався в тому, що куля летить по параболі і для власного переконання вигадав особливий метод у тому пересвідчитись.

Як перевірити на досліді математичний розрахунок? Математика або відповідає досліду, або ні. Розрахунок у принципі неспроможний замінити експеримент.

Проглянувши літературу на тему точності вимірювань, відповіді на таке, здавалося б першочергове для застосувань питання, про кількість вірних знаків у розрахунку, не знайшов.

Задача про черепаху - це найпростіший приклад такого роду. Поміркувавши дійшов висновку: для знаходження помилки непрямого виміру, тобто помилки розрахунку за деяким алгоритмом, потрібне додаткове припущення. Без такого особливого теоретичного принципу розв’язати навіть наведену найпростішу задачу неможливо.

Не можна розрахунком, теорією щось нав'язати природі. Природа самодостатня і теоретична побудова - модель реальності, - може тільки відповідати або не відповідати досліду, тобто цій самій реальності.

Дослід це завжди сукупність винятково прямих вимірів! Як сюди вписати непрямі виміри, тобто розрахунки? Той принцип виявився зв'язуючою ланкою - це гіпотеза про обмеження точності непрямого виміру.

Чи завжди дослід може підтвердити або спростувати висновки теорії? Мабуть, не всяка теорія (модель) навіть просто допускає таку перевірку. Розрахунок є розрахунком, а дослід, вимір - це щось інше.

Саме тому мають бути деякі вірогідні міркування, якийсь принцип непрямих вимірів, що дозволив би обмежити необхідну точність непрямих вимірів. Саме так і виник наведений вище принцип.

У зазначених популярних статтях цей принцип наведено з поясненнями на прикладах, до речі, складніших, ніж наведений про черепаху. Тепер повернемось до задачі.

Повторимо ще раз: відомі точності прямих вимірів - шляху, що проповзла черепаха, та часу, що вона витратила на цю подорож (абсолютні похибки відстані та часу). Потрібно знайти абсолютну похибку (Δv) непрямого виміру швидкості (тобто похибку розрахунку за формулою v = s/t).

Задача про черепаху насправді містить у собі більше, ніж проста шкільна вправа. Вона містить глибокий парадокс. Стосується він загального погляду на фізичні вимірювання і математику, яку застосовують для їх розуміння.

Тепер докладніше. У формулу середньої швидкості: v = s/t, шлях і час входять по-різному. Відома формула для розрахунку помилки непрямого виміру, у цьому випадку, тобто для двох прямих вимірів, має вигляд

де Δs, Δt та Δv - абсолютні похибки прямих вимірювань шляху, часу та непрямого виміру швидкості. Зауважимо, що таких формул існує багато.

Пояснимо, чому у формули такий вигляд. При прямому вимірі одного параметра (х), видається очевидним наступний запис похибки непрямого виміру:

Природно, якщо прямих вимірів два s і t, то формула для непрямого виміру величини v, набуде вигляду (1). Тут тільки використано позначення часткової похідної ∂ замість d (відмінність у тому, що коли параметрів кілька, то ту ж звичайну похідну беруть, по одному з цих параметрів).

Відразу підкреслимо, наближення (2) для фізики непридатне. Причина у тому, що величини Δу і Δх не можуть наближатися до 0, як у справжній похідній. Але про це треба говорити окремо. Нас цікавитиме інше. З формули (1) видно, що результат розрахунку Δv не залежить від заміни s на t і навпаки. А чи так це, і що підказує здоровий глузд?

Розглянемо окремо два випадки: 1) Δs < Δt та 2) Δs > Δt. Спочатку розглянемо, до чого веде умова Δs < Δt?

Отже, візьмемо звичайну міліметрову лінійку зі шкалою 20 см. Такий лінійкою можна виміряти не більше 200 мм / 1мм = 200 різних (таких, що можна розрізнити з такою точністю) значень довжини. Наприклад, значення 58,4мм та 58,7мм вже не неможливо розрізнити такою лінійкою.

Так само вчинимо і з часом. При певному максимальному значенні виміряного часу, скажімо, 40 хв і точності його вимірювання 0,1 хв таких  значень, що їх можна розрізнити буде 40 хв / 0,1 хв = 400, очевидно 400 > 200.

До чого ці «складні» розрахунки? Як випливає з оцінки, одному значенню довжини (шляху) буде відповідати 2 значення часу. Тобто в цьому випадку при розрахунку швидкості двом сусіднім (ще помітним, розрізненим) значенням моментів часу не буде відповідати двох значень шляху.

Але у формулу середньої швидкості входить, як мінімум, два значення координати (відстань є s₂ - s₁) і два значення часу (часовий інтервал t₂ - t₁). А це означає, що розрахувати достовірне значення швидкості v = Δs/Δt за таких умов, не виявляється можливим. Наразі має місце умова: Δv ≥ v_вим, яка суперечить принципу непрямої спостережуваності. Хоча формально, розрахунок за формулою (1), дає певне число.

Продовжимо наш аналіз та розглянемо інший випадок Δs > Δt. Тут ситуація значно багатша. Кожному моменту часу відповідає більше двох значень координати. Отже відношення Δs/Δt допускає навіть не один, а кілька варіантів.

Тобто можливий вибір із кількох пар значень шляху, і це вибір неоднозначний.

Не будемо далі заглиблюватися в математику, тільки скажемо, що при виборі цих значень виникає розподіл ймовірностей значення шляху, а значить і розподіл ймовірностей різних значень швидкості при одній певній мінімальній різниці (при Δt = t₂ - t₁).

Нехай подальші думки не видадуться далекими від нашої теми.

Згадаймо про видатне досягнення Г. Кантора, який в основу математики поклав теорію, в якій між нескінченними множинами певного класу завжди можна встановити взаємно однозначну відповідність, наприклад, між лічильними множинами. Математики називають таку відповідність бієктивною і позначають: 1-1.

Ця ідея дозволила пояснити дуже важливе для аналізу нескінченно малих поняття безперервності. Справа в тому, що множини без 1-1 відповідності не дозволяють ввести це поняття.

Суть цього поняття в тому, що двом дуже близьким точкам однієї множини завжди знайдуться дві так само близько розташовані точки з іншої множини. Тому завжди можна для кожного значення, скажімо шляху, знайти при безперервності, єдине значення часу (начебто підтверджується взаємно-однозначність значень шляху і часу).

Наприклад, хай х лежить в інтервалі [0,1], тоді кожному значенню функції у₁ = х по Кантору, завжди знайдеться єдине значення безперервної функції у₂ = 20х. Хоча наочно здається, що значень функції у₂ у 20 разів більше, ніж у₁. Поки мають справу з нескінченостями, ці очевидності якось йдуть з поля зору. А яке відношення має все це до нашої теми? Ось яке.

Формула (1) стандартної методики, відповідає досить рідкісному випадку, коли число значень шляху, що можна розрізнити = числу відповідних значень часу. Тобто вважають, що відповідність між множинами значень часу і шляху, які спостерігають, завжди є 1-1.

Але ми знаємо, що будь-які людські виміри пов'язані з конечними множинами вимірюваних величин. До чого тут канторівська теорія? А ось до чого: до формули розрахунку похибки (1) входять похідні. Але взаємно-однозначна відповідність це досить рідкісний випадок. І наш пересічний приклад це підтверджує. У ньому немає взаємно-однозначної відповідності вимірюваних множин.

І як ми вище бачили, якщо від кінцевих множин, для спрощення опису, як у математичному аналізі, перейти до межі спрямувавши Δs і Δt до нуля, отримаємо вже не одне значення миттєвої швидкості, а цілий їх розподіл.

Тут вже потрібна якась інша, не канторовська теорія множин. Це розподіл залежить, звичайно, від конкретного значення відношення Δs/Δt.

До речі, парадоксальна теорема Банаха-Тарського, бездоганна з погляду теорії множин Кантора, стверджує, кажучи простою мовою, що з одного апельсина спеціальним чином перерозподіливши точки цього продукту, можна зібрати два і більше точно таких же апельсинів. Зрозуміло, що з погляду науки про природу, це повний абсурд. Але доказ бездоганний, все ховається в цій самій 1-1 нескінченних множин.

Після цього може виникнути законне питання. Як же це так, до якогось там «вченого» всі вимірювали неправильно, точність оцінювали не так, не з тією математикою, тільки чомусь створили таку техніку і таку зброю, яка вражає будь-яку уяву.

Такій надзвичайно вражаючій, за словами нобелівського лауреата Юджена Вігнера, «ефективності» математики, є пояснення. І воно добре відоме. Йдеться про прецизійне налаштування фундаментальних констант (наприклад, показник ступеня у відстані - 2 у законі тяжіння, підтверджується непрямим досвідом з точністю 10^-20 тобто сила F ~ 1/r^{2 ± 10-20}!). До речі, ці константи (швидкість світла, постійна Планка та ін.) результат непрямих вимірів.

Після зроблених пояснень, розв'язати задачу про черепаху не складе великих труднощів. На закінчення, як завжди наведемо питання пов'язані з темою для допитливого читача.

Чим взагалі обумовлена точність доступних людині вимірів? Яким чином вдається підвищити точність? При тому, що очевидно можливості людини обмежені. Чим зумовлена та межа, за якою, на даному етапі розвитку експерименту, збільшити точність уже не можна? І чи обов'язково потрібно відмовлятися від безперервності?

Збільшення точності часто пов'язані з відкриттям нових ефектів. Але що за цим ховається, яка глибинна причина, основа вищої точності вимірів? Питання схоже на філософське, але до опису реальності має безпосереднє відношення. Залишається побажати успіху тим, кого це зацікавить.

О. Пальті, ст. наук. співробітник з фізики ВТНП