I. Про великі рівняння електромагнітного поля

В історії фізики можна виділити кілька етапів, кожен з яких склав цілу епоху в розумінні предмета. Певний етап характеризують відповідні рівняння.

Перше місце у списку беззаперечно слід віддати рівнянням динаміки Ісака Ньютона. У школі ці рівняння знають як другий закон Ньютона. Насправді це одне векторне рівняння (3 проекції одного рівняння). Воно описує поведінку частинки у просторі та часі, що відповідало корпускулярним уявленням великого фізика.

Наступний етап пов'язаний із поняттям силового поля, і якраз про це буде наша розповідь.

Вигадав силове поле видатний фізик-експериментатор Майкл Фарадей. Він хотів пояснити, як силова дія поширюється у просторі. Наприклад, навіть Ньютону було незрозуміло, як Сонце притягує Землю, хоча між ними порожній простір.

М. Фарадей ввів поняття поля для пояснення електричних явищ. І що дивно, він запровадив це поняття, не знаючи сучасної йому математики.

Так сталося, що поняття поля захопило наступного, за видатним внеском у нашу науку після І. Ньютона, англійського фізика Джеймса Клерка Максвелла. Максвелл зумів об'єднати та узагальнити у кількох рівняннях усі відомі до нього закони електрики.

Відомо, що рівняння електромагнетизму Максвелла не вивчають у школі. Їх формулювання вимагає досить складної математики – теорії поля. Але виявляється, що можливо написати ці рівняння навіть без застосування інтегралів та похідних.

Спробуємо зробити це, узагальнюючи добре відомі школяру поняття роботи сили, а також потік рідини. При цьому застосуємо визначення скалярного добутку векторів, яке зараз у школі вивчають.

Суть узагальнення у знаходженні роботи сили вздовж довільного, можливо викривленого шляху. Що стосується потоку рідини, далі розглянемо потік крізь довільно розташовану у просторі поверхню.

Почнемо з цікавого питання. Звідки взагалі взялося відоме з математики поняття скалярного добутку векторів? Висловимо припущення, яке, можливо, має історичне підґрунтя. Не виключено, що основою для визначення скалярного добутку векторів стало поняття роботи сили. Це визначення в загальному вигляді надав у 1826 році відомий французький математик Жан Понселе.

У сучасному вигляді поняття скалярного добутку запропонував англієць Уільям Гамільтон у 1846 році одночасно з векторним добутком, знайшовши нову числову систему – кватерніони. Скалярна і векторна частини добутку двох кватерніонів саме і були скалярним і векторним добутками.

Відмітимо, що кватерніони належать до числової системи, яка узагальнює систему комплексних чисел. Замість однієї уявної одиниці у кватерніона їх три. До речі, В. Гамільтон був не тільки видатним математиком, але й надав власне математичне формулювання законів механіки (так звані рівняння Гамільтона-Якобі).

А тепер докладніше про скалярний добуток. Відомо, що сила, діюча перпендикулярно зміщенню, не виконує у напрямку зміщення ніякої роботи. Тільки складова сили – проекція її на цей напрямок – дає внесок у роботу. Отже, скаляр (далі скаляри позначатимемо звичайними, а вектори – напівжирними літерами)

ΔА = (F, Δr ) = cosα

(1)

де ΔА – маленька робота, виконана на невеличкому переміщенні Δr. Знак Δ саме означає, що робота і зміщення маленькі. F і α – модуль сили і кут між векторами F і Δr. А чому маленька? Насправді |Δr| може бути і 1км. Важливо тільки те, що на цій відстані сталим зберігається добуток Δr×cosα.

Якщо зміщення відбувається не вздовж прямої, а у довільному напрямку у просторі, вираз (1) записують трохи інакше і вказану роботу називають циркуляцією вектора сили F вздовж переміщення Δr. Записують це так

ΔА ≡ ΔС_F = (F, Δr).

Для подальшого нам стане у нагоді ще одне важливе поняття. Ми маємо на увазі поняття векторного поля. Почнемо з деяких історичних міркувань. Ще Ньютону, як вище було зауважено, не подобався його закон всесвітнього тяжіння з причини його нелокальності.

Що мається на увазі? Якщо в якійсь точці простору зникла маса (наприклад, сталась анігіляція), то миттєво зникає і сила. Було б зрозуміліше, якби дія сили з деякою швидкістю переносилась крізь простір від точки до точки.

Аби якось обґрунтувати нелокальність, Ньютон увів жорсткий абсолютний простір, який миттєво передає дію на будь-яку відстань. Щоправда, експериментально обґрунтувати існування абсолютного простору неможливо, це ідеалізація. Нічого абсолютно жорсткого в природі не існує.

Зрозумілий вихід знайшов великий англійський фізик Майкл Фарадей. Саме він запропонував ідею векторного поля. Якщо в законі Кулона один із зарядів вважати джерелом поля, а інший вважати одиничним, то закон можна трактувати, уявляючи собі в кожній точці простору силу, що діє на розташований там одиничний заряд.

Таким чином, вводять силове поле. Силу, що діє на одиничний заряд у кожній точці простору, називають напруженістю електричного поля (це векторне поле, позначимо його Е). Маючи таке поле (воно залежить тільки від заряду джерела і відстані від нього до точки спостереження), легко знайти силу, що діє з боку джерела на заряд будь якої величини q:

F = qE(Q,r),

де Q і r – заряд джерела і відстань від нього до точки спостереження сили.

Якщо траєкторія проходить у просторі, де є заряди, то виникає поле електричних сил. Наприклад, електрорушійна сила на ділянці електричного контуру є циркуляцією вектора напруженості електричного поля вздовж ділянки цього контуру

ΔС_Е = (Е, Δr).

У цьому випадку маємо роботу по переміщенню вздовж Dr одиничного додатного заряду.

Перейдемо тепер до поняття «потік вектора». Щоб узагальнити це поняття, розглянемо простий приклад: воду, що тече у трубі. Нехай спочатку швидкість однакова по всьому перерізу труби. Завжди можна знайти таку малу ділянку перерізу, на якому швидкість із певною точністю стала, а будь-який переріз можна скласти з таких маленьких.

Зрозуміло, що витрата води залежить від складової швидкості вздовж осі труби. Перпендикулярно до стінок труби вода не тече, тому складова швидкості в цьому напрямку дорівнює нулю. Витрата G (вимірюється у м³/сек) крізь переріз труби, як відомо є

 G = S·v,

де S – значення площі перерізу труби, v – швидкість вздовж її осі. Щоб описати витрату води крізь будь-як розташовану у просторі площину, узагальнимо поняття витрати введенням вектора площини S, модуль якого дорівнює площі |S| = S, а напрямок співпадає з нормаллю до площини. v

Тоді витрату G можна визначити, як такий скалярний добуток

∆G ≡ ∆F_v = (v, ∆S),

його називають потоком вектора v крізь площадку ∆S. Як і у випадку роботи, це площадка, на якій добуток v·∆S cosα можна вважати сталим. У цьому визначенні враховується та обставина, що скаляр ∆Ф_v – витрата води – обумовлений тільки складовою швидкості вздовж осі труби.

Зауважимо, що який би переріз труби не розглянути, для витрати ∆Ф_v важливе значення має переріз, перпендикулярний до осі труби. Інший приклад – сила струму ∆І, що є потік вектора густини струму j у провіднику, крізь переріз орієнтованої площини ∆S

∆І = ∆Ф_j = (j, ∆S).

Якщо потрібно знайти повний потік крізь певну поверхню (чи, наприклад, циркуляцію вздовж певного контуру), коли поле фізичної величини вже не є сталим (на ділянці контуру з тією ж умовою) треба додати окремі потоки ∆Ф_Ai (чи циркуляції ∆C_Ai):

Ф_A = ∆Ф_A1 + ∆Ф_A2 +…+ ∆Ф_An  чи  C_A = ∆C_A1 + ∆C_A2 +…+∆C_An.

(зауважимо, вища математика має для цих сум спеціальну назву – визначний інтеграл чи первісна).

Рис.2.

Після проведеної підготовки нескладно написати всі рівняння електромагнітного поля Максвелла. Рівняння ми запишемо без урахування електричних і магнітних властивостей середовища, де існують поля. Почнемо з теореми Гаусса, яка узагальнює закон Кулона.

Її формулювання: потік вектора напруженості електричного поля крізь замкнену оболонку дорівнює сумі всіх зарядів q_і, що розташовані всередині неї, див. рис.2:

FE = (Е1∆S1 + Е2∆S2 + …) = (q1 + q2 + ...)/εо = q/εо,

(2)

де ε_о – електрична стала; Е₁, Е₂, … – значення напруженості у певних ділянках поверхні оболонки; ∆S₁, ∆S₂, … – площини біля цих точок, що покривають усю оболонку, модулі добутків ½Е₁∆S₁½,½Е₂∆S₂½, …– окремі потоки крізь невеликі площинки, q – повний заряд всередині оболонки.

Може виникнути питання: а чому сума таких добутків є сталою величиною, при тому, що сила залежить від відстані до точки спостереження (поля)? Якісно можна пояснити це так: сила, що діє на одиничний заряд Е ~ 1/r², площа S ~ r², тому  Е S ~ const. На сьогодні вірність показника 2 у законі Кулона перевірено з великою точністю (відносна похибка порядку 10^–18).

Чому теорема Гаусса узагальнює закон Кулона? Справа в тому, що закон Кулона вірний тільки для точкових зарядів. Теорема Гаусса годиться для будь-яких заряджених тіл, а не тільки точкових зарядів.

Наступне рівняння стосується вектора магнітної індукції. Відомо, що магнітних зарядів не існує. Враховуючи це: потік вектора індукції магнітного поля В крізь замкнену оболонку дорівнює нулю:

FB = (В1Δr1 + В2Δr2 + …) = 0.

(3)

Далі сформулюємо закон електромагнітної індукції Фарадея. Пригадаємо закон: електрорушійна сила дорівнює швидкості зменшення потоку вектора індукції магнітного поля. Але електрорушійна сила – це робота по переміщенню одиничного заряду вздовж ділянки кола, тобто циркуляція Е.

Тому закон Фарадея можна надати у такому вигляді: повна циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж будь-якого зв’язного (не має вигляду вісімки) замкненого контуру Г дорівнює середній швидкості зменшення потоку вектора індукції магнітного поля крізь однозв’язну поверхню S, що натягнута на цей контур

CE = – ∆FB/∆t.

(4)

Трохи складніше (але не дуже) формулюється ще одне рівняння Максвелла. Це узагальнення закону повного струму Ампера. Нагадаємо закон Ампера. Циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж будь-якого зв’язного, замкненого контуру Г дорівнює сумі сил струмів, що перетинають поверхню, натягнуту на цей контур.

Тут Максвелл зробив дуже суттєве узагальнення закону на контури змінного струму, які можуть бути і розімкненими (наприклад, містять конденсатори). Він зауважив, що в розімкнених ланцюгах змінного струму треба враховувати уявний струм (за аналогією з поляризацією його звуть струм зміщення), який обумовлений зміною зарядів на обкладинках конденсатора при зміні полярності струму.

Згадаємо також, що сила струму – це потік вектора густини струму j. Тоді останнє рівняння Максвела формулюється так: циркуляція вектора індукції магнітного поля вздовж певного контуру, що охоплює дроти зі струмом, дорівнює сумі потоків густини цих струмів, а також середній швидкості зміни потоку вектора напруженості електричного поля

CB = µо(Fj + εо∆FE/∆t ),

(5)

де ε_о і µ_о – електрична і магнітна сталі. Останній доданок у (5) ∆Ф_E/∆t (саме його називають струмом зміщення) привів Максвелла до теоретичного відкриття – хвильового рівняння для полів Е і В,  тобто до відкриття електромагнітних коливань, які трохи пізніше експериментально встановив німецький фізик Генріх Герц.

Отже, повна система рівнянь Максвела в пустому просторі, в системі одиниць SІ, виглядає так:

Ф_E = q/ε_о, Ф_B = 0.

C_E = – ∆Ф_B /∆t, C_B = µ_о(Ф_j + ε_о∆Ф_E/∆t).

Зробимо невелику історичну примітку. У передбаченні електромагнітних хвиль Максвелл обігнав свій час. Але він не міг знати, що у 1832 році (задовго до появи рівнянь Максвелла) Майкл Фарадей залишив для зберігання в архіві запечатаний конверт з написом «Нові думки, що підлягають зберіганню в архівах Королівського товариства».

Лише через сто шість років у 1938 році цей конверт був розкритий англійськими ученими. На пожовклому листку, містилися слова і думки, які викликали потрясіння всіх присутніх. Виявилось, що Фарадей вже ясно уявляв собі те, що «індуктивні явища поширюються в просторі з деякою швидкістю у вигляді хвиль». У цьому паперовому листку від 12 березня 1832 року він написав:

«Я прийшов до висновку, що на поширення магнітної дії потрібний час, який, вочевидь, виявиться дуже незначним. Я вважаю також, що електрична індукція поширюється таким самим чином. Також поширення магнітних сил від магнітного полюса схоже на коливання поверхні води. За аналогією я вважаю за можливе застосувати теорію коливань до опису поширення електричної індукції. У даний час, наскільки мені відомо, ніхто з учених, окрім мене, не має подібних поглядів».

Щоправда, цей результат Максвелл отримав зі своїх рівнянь вже через 10 років після вказаного заповіту. Але щоб написати хвильове рівняння, з якого цей результат випливає, потрібно застосувати до рівнянь (1) – (4) вже трохи більше математики.

Саме цьому хвильовому рівнянню і присвячено наступну статтю. Якщо допитливий читач захоче самотужки ознайомитись з теорією поля і рівняннями Максвелла, можна звернутись до чудового підручника з фізики – до 5 тому  Фейнманівських лекцій з фізики.

О.М. Пальті, с. н. с. з фізики ВТНП