МАТЕМАТИКА (від грецьк. – знання, наука) – це наука про кількісні відношення і просторові форми реального світу. У нерозривному зв’язку з вимогами техніки і природознавства запас кількісних відношень і просторових форм, які досліджуються математикою, постійно розширюється і при цьому загальне визначення математики наповняється усе більш багатим змістом.

До складу математики входять:

• Факти, накопичені в процесі її розвитку;
• Гіпотези, тобто наукові припущення, які ґрунтуються на фактах;
• Теорії і закони, які є результатом узагальнення фактичного матеріалу і дедуктивних доведень;
• Методологія математики, тобто загальнотеоретичне тлумачення математичних законів і теорій, що характеризує загальний підхід до вивчення предмету математики.

Усі ці елементи взаємопов’язані і постійно знаходяться в розвитку.

Класичною є періодизація математики, запропонована Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. В її основу покладена оцінка змісту математики: її найважливіших методів, ідей і результатів.

А.М. Колмогоров виділяє чотири періоди розвитку математики.

Перший період – період зародження математики (до 6-5 ст. до н.е.). Початок періоду губиться в глибині історії первісних людей. Характерним для цього періоду є накопичення фактичного матеріалу математики в межах загальної ще не розділеної науки.

Другий період – період елементарної математики (6-5 ст. до н.е. – 16 ст.). У цей період стало можливим чітке розуміння самостійного становища математики як певної науки. Початок цього періоду пов’язаний із дослідженнями таких видатних давньогрецьких учених як Фалес, Піфагор, Евдокс, Евклід, Архімед та ін.

Протягом двох перших періодів математичні дослідження проводилися з дуже обмеженим запасом основних понять, що виникли ще на дуже ранніх етапах історичного розвитку, проте, створена давніми греками (Евклід, 3 ст. до н.е.) система викладання елементарної геометрії, на два тисячоліття наперед стала зразком дедуктивної побудови математичної теорії. Одночасно з арифметики поступово почала виростати теорія чисел, почало створюватися систематичне вчення про величини та вимірювання. Створення алгебри як буквенного числення закінчилося лише наприкінці другого періоду (16 ст.).

У цей період були досягнуті успіхи у вивченні сталих величин (тому інша назва цього періоду – період математики сталих величин). Цей період закінчився, коли головним об’єктом досліджень у математиці стали процеси, рухи і розпочала розвиватись аналітична геометрія і аналіз нескінченно малих.

Третій період – період математики змінних величин (17 ст. – середина 19 ст.).

Початок цього періоду пов’язано з уведенням змінних величин в аналітичній геометрії Рене Декарта і створенням диференціального та інтегрального числень у працях Ісаака Ньютона і Готфріда Лейбніца. Щоб охопити кількісні відношення у процесі їхньої зміни, потрібно було залежності між величинами зробити самостійним об'єктом вивчення. Тому на перший план висувається поняття функції.

Вивчення змінних величин і функціональних залежностей стало базою для математичного аналізу. Уведення в математику в явному вигляді ідеї нескінченності привело до таких фундаментальних понять як границя, похідна, диференціал та інтеграл. Було створено аналіз нескінченно малих, у першу чергу у вигляді диференціального та інтегрального числення. Основні закони механіки і фізики стали записуватися за допомогою диференціальних рівнянь, і задача інтегрування таких рівнянь стала розглядатися як одна з найважливіших задач математики.

Із створенням у 17 ст. аналітичної геометрії принципово змінилося ставлення геометрії до інших розділів математики: було знайдено універсальний спосіб перекладу питань геометрії на мову алгебри й аналізу, а з іншого боку, відкрилася можливість зображення алгебраїчних і аналітичних фактів геометрично. Період створення математики змінних величин зв’язаний, насамперед, з іменами таких видатних математиків, як Р.Декарт, П.Ферма, І.Ньютон, Г.Лейбніц, Й.Бернуллі, Л.Ейлер та ін.

Завершення цього періоду відноситься до середини 19 ст., коли в математиці почали відбуватися ті зміни, які привели до сучасного її стану. На протязі третього періоду склалися майже всі наукові дисципліни, які відомі нині як класичні основи сучасної математики.

Четвертий період – період сучасної математики (середина 19 ст. – початок 21 ст.). Цей період характеризується узагальненими поняттями і теоріями, які безпосередньо не є відбиттям досвіду, а відбивають потреби внутрішнього розвитку самої математики: теорія груп, теорія функцій, теорія множин, математична логіка, функціональний аналіз, теорія категорій і функторів, теорія доведень та ін.

Інша назва цього періоду – період математики змінних відношень. У цей період з’являються умови для моделювання зміни і руху різних за своєю природою об’єктів. Зміні підлягають не лише математичні об’єкти, але й математичні відношення між об’єктами.

Цей період розпочинається з робіт Е.Галуа, Н.Абеля (теорія груп), а також М.Лобачевського, Я.Больяї, К.Гаусса (неевклідова геометрія).

Усі створені в 17 і 18 ст. розділи математичного аналізу продовжували розвиватися і далі. Надзвичайно розширилося коло застосування математики до задач природознавства і техніки. На початку 19 ст. в розвитку математики з’явилися нові особливості.

Відкриття і введення у використання геометричної інтерпретації комплексних чисел (К.Вессель, 1799 р.; Ж.Арган, 1806 р.), доведення нерозв’язності в радикалах загального алгебраїчного рівняння п'ятого степеня (Н.Абель, 1824 р.), розробка О.Коші основ теорії функцій комплексної змінної, його роботи зі строгого обгрунтування аналізу нескінченно малих, створення М.Лобачевським (1826 р.) і Я.Больяї (1832 р.) неевклідової геометрії, роботи К.Гаусса (1827 р.) з внутрішньої геометрії поверхонь – ось типові приклади нових тенденцій у розвитку математики на межі 18-19 ст.

Зв’язок математики з природознавством прийняв у цей період більш складні форми. Важливі нові теорії почали виникати не лише в результаті безпосередніх вимог природознавства чи техніки, але так само з внутрішніх потреб самої математики. Таким в основному був розвиток теорії функцій комплексної змінної, що зайняла на початку та в середині 19 ст. центральне місце в усьому математичному аналізі.

Іншим прикладом теорії, що виникла в результаті внутрішнього розвитку самої математики, – стала поява геометрії Лобачевського.

Характерним прикладом є історія розвитку теорії груп. Ця теорія веде свій початок із розгляду Ж.Лагранжем (1771 р.) груп підстановок у зв’язку з проблемою можливості розв’язання в радикалах алгебраїчних рівнянь вищих степенів. Е.Галуа (1830-32 рр.) за допомогою теорії груп підстановок дав остаточну відповідь на питання про умови можливості розв’язання в радикалах алгебраїчних рівнянь будь-якого степеня. У середині 19 ст. А.Келі дав загальне "абстрактне" означення групи. Софус Лі розробив теорію неперервних груп. І лише після цього Е.Федоров (1890 р.) і А.Шенфлис (1891 р.) встановили, що теоретико-груповим закономірностям підлягає будова кристалів; ще пізніше теорія груп стала могутнім засобом дослідження у квантовій фізиці.

За вимогами механіки та фізики відбувалося формування векторного й тензорного числення. Перенесення векторних і тензорних представлень на нескінченновимірні величини відбувалося в межах функціонального аналізу і тісно пов’язане з потребами сучасної фізики.

На початку 19 ст. відбулося нове розширення області використання математичного аналізу: до механіки й оптики додається електродинаміка, теорія магнетизму і термодинаміка. Швидко зростають математичні потреби техніки. На початку 19 ст. – це питання термодинаміки парових машин, технічної механіки, балістики. Як основний апарат нових галузей механіки і математичної фізики посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з частинними похідними і особливо теорія потенціалу (К.Гаусс, Ж.Фур’є, С.Пуассон, О.Коші, П.Діріхле, Дж.Грін).

М.Остроградський заклав основи варіаційного числення для функцій декількох змінних. У результаті дослідження рівнянь математичної фізики в роботах Дж.Стокса й інших англійських математиків виникає векторний аналіз.

У 19 ст. подальший розвиток одержала теорія ймовірностей (П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон, П.Чебишев та ін.).

Продовжилися роботи зі строгого обгрунтування аналізу (О.Коші, М.Лобачевський, П.Діріхле).

К.Гаусс (1831 р.) виклав теорію комплексних чисел. На базі чіткого розуміння природи комплексних чисел виникла теорія функцій комплексної змінної.

Диференціальна геометрія поверхонь була створена К.Гауссом (1827 р.) і К.Петерсоном (1853 р.).

Б.Ріман (1854 р.) створив концепцію n-вимірного многовиду з метричною геометрією, обумовленою диференціальною квадратичною формою.

На початку 70-х рр. 19 ст. Ф.Клейн знайшов модель неевклідової геометрії Лобачевського і тим самим було встановлено її несуперечливість.

У 1872 р. роботи з обґрунтування аналізу одержали необхідний фундамент у вигляді строгої теорії ірраціональних чисел (Р.Дедекінд, Г.Кантор, К.Вейєрштрасс). У 1879-1884 рр. були опубліковані основні роботи Г.Кантора із загальної теорії нескінченних множин. Лише після цього могли бути сформовані сучасні уявлення про предмет математики, будову математичної теорії, роль аксіоматики і т.д.

Подальші поглиблення досліджень з основ математики були зосереджені на подоланні логічних труднощів, що виникли в загальній теорії множин, і з’ясуванні будови математичних теорій та прийомів конструктивного розв’язання математичних задач за допомогою математичної логіки (Дж. Буль, П.Порецький, Е.Шредер, Дж.Пеано).

Істотна особливість сучасної математики полягає в тому, що питання предмету і методів дослідження математики привертає особливу увагу математиків. Надзвичайне розширення предмету математики зосередило в 19 ст. увагу на питанні її «обґрунтування», тобто критичному перегляді її аксіом, побудові строгої системи означень і доведень, а також критичному розгляді логічних прийомів, що вживаються при доведенні.

До останнього часу ще зустрічаються випадки, коли строге обґрунтування математичних теорій, що виникають з практичних потреб, дещо запізнюється. Так було з операційним численням. І в теперішній час ще відсутнє строге обґрунтування багатьох математичних методів, які широко застосовуються в сучасній теоретичній фізиці, де багато важливих результатів отримано за допомогою «незаконних» (інтуїтивних) математичних прийомів.

До кінця 19 ст. склався стандарт вимог до логічної строгості математичної теорії. Цей стандарт грунтується на теоретико-множинній концепції будови будь-якої математичної теорії. Інший бік будови будь-якої математичної теорії висвітлює математична логіка. Було показано, що поняття математичної теорії у сенсі теорії, що охоплюється єдиною системою аксіом теоретико-множинного типу, істотно ширше, ніж логічне поняття дедуктивної теорії.

Важливі результати, які мають транскультурне значення, отримав К.Гьодель (1931 р.). Він встановив принципову неможливість повної формалізації математики і довів дві важливі теореми про неповноту аксіоматичних теорій. Перша теорема стверджує: якщо аксіоматична теорія несуперечлива, то в ній існують твердження, які не можуть бути ні доведені, ні спростовані в межах цієї теорії. Друга теорема: несуперечливість теорії не може бути доведена засобами лише цієї теорії. Результати Гьоделя показали, що обґрунтування математики в межах лише самої математики принципово неможливе. Ці теореми Гьоделя були визнані як одні з найвидатніших досягнень математики 20 ст. Вони знайшли свою інтерпретацію у філософії, фізиці та інших теоретичних науках сучасності.

В останній час у результаті розвитку математичної логіки почала створюватися загальна теорія алгоритмів і алгоритмічної можливості розв’язання математичних проблем. Практичні перспективи цих теорій дуже великі, особливо у зв’язку з сучасним розвитком обчислювальної техніки.

Наприкінці 19 ст. і на початку 20 ст. одержали бурхливий розвиток усі розділи математики. В алгебрі виникли нові галузі: теорія груп, полів, кілець і т.д., які набули глибокого застосування в природознавстві: теорія групп – у кристалографії, а пізніше – в питаннях квантової фізики.

На межі між алгеброю і геометрією Софус Лі створив (з 1873 р.) теорію неперервних груп, методи якої дещо пізніше почали застосовуватися в усіх нових розділах математики і природознавства.

Диференціальна геометрія евклідового тривимірного простору отримала систематичний розвиток у працях Е.Бельтрамі, Г.Дарбу.

Широке застосування одержали конформні відображення при розв’язанні крайових задач для рівнянь з частинними похідними, при вивченні плоских плинів ідеальної рідини й у задачах теорії пружності.

Ф.Клейн і А.Пуанкаре створили теорію автоморфних функцій, в якій знайшла застосування геометрія Лобачевського. Конформні відображення знайшли застосування в аеромеханіці (М.Жуковський, С.Чаплигін).

У результаті систематичної побудови математичного аналізу на основі строгої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії множин виникла нова галузь – теорія функцій дійсної змінної (К.Жордан, Е.Борель, А.Лебег, Р.Бер). Ця теорія дуже вплинула на розвиток багатьох інших розділів математики.

Подальший розвиток одержала теорія диференціальних рівнянь. Для розв’язання складних лінійних систем були створені методи операційного числення. При дослідженні нелінійних систем з малою нелінійністю почав широко застосовуватися метод розкладу за параметром. Продовжила свій розвиток аналітична теорія звичайних диференціальних рівнянь і були закладені основи топології та теорії динамічних систем (А. Пуанкаре та ін.).

У кінці 19 ст. і на початку 20 ст. теорія ймовірностей отримала багато нових застосувань завдяки розвитку статистичної фізики, механіки і розробці апарату математичної статистики. Найбільш глибокі теоретичні дослідження із загальних питань теорії ймовірностей наприкінці 19 ст. і на початку 20 ст. належать російській школі (П.Чебишев, А.Марков, О.Ляпунов та ін.).

Наприкінці 19 ст. і на початку 20 ст. чисельні методи аналізу виросли в самостійну галузь наукових досліджень.

З другої половини 19 ст. розпочалася інтенсивна розробка питань історії математики.

Розвиток математики у 20 ст. проходив у напрямку: від локального до глобального, від лінійного до нелінійного, від скінченновимірного до нескінченновимірного. Математику 20 ст. можна поділити на дві половини. Перша половина була епохою спеціалізації. У цю епоху був дуже впливовим підхід Д.Гільберта: прагнути все формалізувати, акуратно визначити, а потім послідовно робити в кожній галузі все, що можливо. До цієї тенденції також приєднується програма Н.Бурбакі, яка зосереджувалась на дослідженні (у межах можливостей даного часу) певних математичних структур.

Друга половина 20 ст. більшою мірою стала епохою об’єднання, коли межі руйнуються, методи переносяться з однієї галузі в іншу і йде колоссальне перехрещення ідей, методів, підходів до розв’язання актуальних проблем. Прикладом може слугувати справжня навала нових ідей з фізики (зокрема, з квантової теорії поля) в математику протягом останньої чверті 20 ст., що пов’язано з розвитком супералгебри, супераналізу, пошуком суперсиметрій диференціальних рівнянь. І, навпаки, математичні методи напрочуд ефективно застосовуються у фізиці, зокрема, фізиці високих енергій і елементарних частинок. При цьому цілком справедливо вважається, що значно важче прийти до нової ідеї, ніж потім до її обґрунтування. Іншим прикладом розвитку математики наприкінці 20 ст. став приголомшуючий факт, що Велика теорема Ферма і знаменита гіпотеза Рімана є наслідками однієї й тієї ж математичної схеми. Це є проявом універсалізму математики.

Потреби самої математики й природознавства, швидкий прогрес обчислювальної техніки привели до появи цілого ряду нових математичних дисциплін. На основі задач теорії керуючих систем, комбінаторного аналізу, теорії графів, теорії кодування виникла дискретна математика. Питання про найкраще керування фізичними та механічними системами привели до створення математичної теорії оптимального керування, близькі питання про керування об’єктами в конфліктних ситуаціях – до виникнення і розвитку теорії диференціальних ігор.

Нинішнє 21 ст. може стати епохою квантової математики. Квантова математика, у широкому сенсі, означає справжнє розуміння аналізу, геометрії, топології, алгебри в різних нелінійних функціональних просторах, а справжнє розуміння буде полягати у відшуканні цілком строгих доведень усіх тих важливих фактів, які сприймаються сьогодні фізиками і математиками лише інтуїтивно.

М.В.Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук