Наведемо висловлювання видатного угорського математика, фахівця з теорії ймовірностей, теорії чисел, невтомного популяризатора цієї теорії Альфреда Реньї (1921–1970 рр.): «Вивчення теорії ймовірностей сприятливо впливає на характер тих, хто вчиться, наприклад, розвиває сміливість, оскільки дозволяє зрозуміти, що при певних обставинах невдачі можна просто віднести до випадковостей і, отже, потерпівши невдачу, не треба відмовлятися від боротьби за досягнення поставленої мети... Вивчаючи теорію ймовірностей, люди стають більш поблажливими, менш підозрілими, більш терпимими до оточуючих, легше вписуються в життя суспільства.»

Теорія ймовірностей – порівняно молода галузь математики. Її появу пов’язують з роботами відомих математиків Блеза Паскаля (1623–1662 рр.), П’єра Ферма (1601–1665 рр.), Хрістіана Гюйгенса (1629–1695 рр.), які ввели перші поняття теорії ймовірностей – математичної науки про випадкові події. Ці почуття формувалися на прикладах вивчення азартних ігор, проте вже і родоначальники теорії ймовірностей добре розуміли, що теорія ймовірностей матиме більш серйозну мету, ніж вивчення теорії азартних ігор. Наприклад, Гюйгенс писав у своєму трактаті «Про азартні ігри»: «Я думаю, що вдумливий читач при уважному вивченні предмета помітить, що він має справу не тільки з грою, але й основами дуже цікавої і глибокої теорії.»

Проте тривалий час, аж до перших десятиріч ХХ сторіччя, розвиток теорії ймовірностей не був тісно пов’язаний з бурхливим розвитком  інших розділів математики. Багато математиків навіть не вважали теорію ймовірностей математичною дисципліною, а розглядали її в кращому випадку як певний розділ фізики. Причиною цього було те, що в теорії ймовірностей були відсутні чіткі математичні означення її основних понять – поняття випадкової події, ймовірності, випадкової величини.

У 1900 році на рубежі двох століть видатний німецький математик Давид Гільберт у доповіді на Міжнародному математичному конгресі поставив 23 нерозв’язані проблеми. Шоста проблема Гільберта звучить так: «З дослідженням основ геометрії близько пов’язана задача про аксіоматичну побудову за тим же зразком тих фізичних дисциплін, у яких уже тепер математика грає видатну роль і це в першу чергу теорія ймовірностей і механіка».

Як бачимо, навіть видатний математик Гільберт не вважав теорію ймовірностей розділом математики, проте він чітко розумів необхідність аксіоматичної побудови теорії ймовірностей.

Побудову теорії ймовірностей на аксіоматичній основі було  здійснено  видатним радянським математиком академіком А.М. Колмогоровим у 1929 році. В аксіоматиці Колмогорова випадкові події розглядаються як множини. Цим самим був встановлений зв’язок між  теорією  ймовірностей і теорією множин. Теорія ймовірностей стала бурхливо розвиватися як один з розділів математики, тісно пов’язаний з такими важливими розділами сучасної математики як теорія множин, теорія функцій, функціональний аналіз.

Але все ж таки теорія ймовірностей займає серед математичних наук особливе місце.

Серед математичних теорій теорія ймовірностей найбільш інтуїтивна наука – це її перша особливість.

Існує особлива «імовірнісна» інтуїція, яка відрізняється від математичної. Ця імовірнісна інтуїція використовує багатосторонній людський досвід і зближує теорію ймовірностей з фізикою. Дійсно, основні математичні поняття в теорії ймовірностей – випадковий експеримент, подія, ймовірність, незалежність, апостеріорний, апріорний – ще не очищені від інтуїтивних уявлень, які йдуть поряд з ними в експериментальних науках, зберігають природничо-науковий зміст.

На відміну від інших наук в теорії ймовірностей дуже просто сформулювати самі початкові задачі зрозуміло для неспеціалістів. І це тому, що в теорії ймовірностей ще не встигли утворитися багатоповерхові абстракції.

Розв’язок ймовірнісних задач не можна здійснити тими ж простими засобами, які вимагаються для формулювання.

Для розв’язання її задач доводиться повністю використовувати весь математичний арсенал – від теорії чисел до алгебраїчної топології. Мабуть, ніяка інша математична дисципліна не використовує в такій мірі досягнення інших математичних дисциплін, як теорія ймовірностей. Звідси випливає, що не дивлячись на конкретність постановок задач, теорія ймовірностей розв’язує їх за допомогою найабстрактніших методів.

Ще одна особливість теорії ймовірностей – більшість задач можуть бути сформульовані в комбінаторному варіанті (наближено) і розв’язані комбінаторними методами. Це дає можливість не тільки отримувати їх наближений розв’язок, але й будувати наближений розв’язок математичної задачі з того розділу математики, який використовується для точного розв’язку імовірнісної задачі. Так можна отримати імовірнісними методами  розв’язки для різних класів диференціальних та інтегральних рівнянь.

Вказані особливості суттєві при використанні  теорії ймовірностей іншими науками. Практичне значення теорії ймовірностей зростає з кожним роком. Останнім часом теорія ймовірностей набула, наприклад, важливого застосування в астрономії. Значення теорії ймовірностей для астрономії дуже зросло з того часу, як астрономи почали вивчати не лише окремі планети та зірки, а цілі маси зірок – зоряні скупчення, а також позагалактичні туманності або галактики, що складаються з величезної кількості зірок у Всесвіті дає змогу вивчати їх методами, що належать до теорії масових явищ.

Звільнення атомної енергії поставило нові серйозні завдання перед теорією ймовірностей. У будь-якій атомній установці основну роль відіграють ядерні реакції – процеси поділу або злиття атомних ядер, спричинювані їх випадковими зіткненнями з найдрібнішими елементарними частинками (насамперед нейтронами) і одна з одною. При цьому дуже важливо заздалегідь розрахувати хід усіх процесів в установці – найменша помилка може бути причиною грандіозної катастрофи.

І тут на допомогу приходить теорія ймовірностей: незважаючи на випадковий характер окремих атомних зіткнень, вона дає змогу з великою точністю визначити, як відбуватимуться зміни в усій масі атомів.

Із зростанням масового виробництва зростає важливість теорії масових явищ, що дає змогу обґрунтовано вести виробництво. Потрібні науково обґрунтовані методики контролю за якістю виробів, методи визначення частки бракованих виробів на основі спостережень лише невеликої їх частини. Немає жодного заводу, який не потребував би використання висновків теорії ймовірностей. При цьому окремий завод часто не може розв’язати ті проблеми наукового підходу до явищ, що виникають в його практиці. Над створенням теорії масових явищ, які охоплюють величезну кількість конкретних завдань виробництва працюють математики – спеціалісти з теорії ймовірностей.

Кожен з нас користується телефоном. Можливість обладнання телефонних автоматичних станцій обґрунтована теорією ймовірностей. Розглянемо такий приклад. Кожен з вас, напевно, звертався до автодовідки служби часу. Теорія ймовірностей дала змогу розрахувати приблизну кількість людей, які одночасно звертаються до неї. І хоч людей, які щохвилини і навіть щосекунди можуть поцікавитися по телефону, котра година, в місті дуже багато, автодовідка ніколи не буває зайнята. Це пояснюється тим, що теорія ймовірностей дає змогу зробити розрахунок, скільки людей і в який час звертатимуться за довідкою. Виходячи з цього, можна визначити мінімальну кількість комплектів автоматичних апаратів, потрібну для того, щоб задовольнити потреби мільйонів жителів міста.

Роль теорії ймовірностей особливо бурхливо зростає в наші дні. Розробки, що базуються на теорії ймовірностей, широко застосовуються. Жоден інженер не може обійтися без знання цієї науки і в майбутньому ж знання теорії ймовірностей стане необхідним для всякої освіченої людини. В нашій країні весь час зростає кількість технічних навчальних закладів, в яких вивчається теорія ймовірностей. Основи цієї теорії включені до програми шкіл з поглибленим вивченням математики.

Спинимося на одному з розділів теорії ймовірностей – теорії інформації. Теорія ймовірностей розглядає випадкові події, результат яких наперед нам не відомий. Тому з’ясування, який результат мала якась з таких подій, дещо збільшує наші знання або, як звичайно кажуть, дає нам якусь нову інформацію. При цьому очевидно, що в різних випадках збільшення наших знань буде цілком різним і знання того, яким боком лягла на стіл монета при одноразовому киданні, менше від знання результатів двох кидань тієї самої монети, а знання того, чи випаде сніг у Києві до початку листопада, слід вважати набагато ціннішим, ніж знання того, чи випаде сніг до зимових канікул, в останньому ми можемо бути упевненими без всякої перевірки.

У 1947–1948 рр. талановитий американський математик Клод Шеннон указав метод, який дає змогу чисельно виміряти кількість інформації, що міститься в з’ясуванні результату того чи іншого досліду з випадковим наслідком, що відразу ж виявився дуже корисним для багатьох завдань природознавства і техніки.

Безпосередньо роботи Шеннона були пов’язані з питанням телеграфного зв’язку. Телеграфний апарат слугує для передачі певної інформації, при цьому природно поставити питання, як передавати цю інформацію найекономічнішим способом. Добре відомо, що передача здійснюється так званою азбукою Морзе, згідно з якою букви передаються певними комбінаціями крапок і тире; так, наприклад, буква «е» за азбукою Морзе зображується однією крапкою «.», а буква «ш» – чотирма тире «----». Легко пояснити, чому запис букви «е» за азбукою Морзе зроблений коротшим, ніж запис букви «ш»; справді, в передачі перша буква трапляється значно частіше від другої, і тому дуже важливо мати для неї коротке позначення.

Отже, вже при створенні азбуки Морзе було враховано неоднакові ймовірності появи в повідомленні різних букв – ця обставина і була використана для того, щоб зробити запис переданих за допомогою цієї азбуки повідомлень як найкоротшим.

Ще більший ефект можна мати, коли врахувати ту обставину, що ймовірність кожної букви в повідомленні істотно залежить від переданою перед нею букви. Справді, якщо в передачі російською мовою попередня буква була голосна, то ймовірність приголосної різко підвищується, а якщо попередня буква була «ч», то майже напевно наступною буде «и», «е» або «т» (як у слові «что»). Такі розрахунки, що безпосередньо стосуються теорії ймовірностей, робив це свого часу видатний російський математик Андрій Андрійович  Марков, який старанно проаналізував з цією метою уривка з «Євгенія Онєгіна» та інших творів класичної російської літератури.

Шеннон зв’язав ці розрахунки із загальним питанням про «кількість інформації», яку можна передати телеграфом за одиницю часу, і вивів практичні правила, що дають змогу застосувати найвигідніші прийоми передачі повідомлень.

Надалі вказана Шенноном можливість числової оцінки «кількості інформації» виявилася дуже цінною не тільки для потреб телеграфного зв’язку, а й усіх тих випадках, коли ми маємо справу з будь-якою передачею чи нагромадженням нових знань. Тут може йтися і по автоматичне регулювання руху поїздів і про математичні машини, які самостійно розв’язують задані їм найскладніші задачі, і про передачу нервовими волокнами людини певних сигналів, які йдуть від органів чуття до кори головного мозку і назад – від головного мозку до м’язів.

Отже, галузь застосування теорії ймовірностей надзвичайно широка. Теорія ймовірностей  вивчає всі масові явища, тобто всі випадки, що часто повторюються в будь-якій галузі життя, науки або техніки.

Спробуємо тепер виразити закономірності, про які йшлося, мовою математики. Нехай є подія A, яка в кожному окремому випадку може настати або ж не настати. Нехай зроблено N випробувань, в яких M разів випадкова подія A настала, а в решті  N–M випадках подія A не настала. Частота події A (тобто частка числа випробувань, в яких подія A має місце) тут дорівнює M/N. При цьому для великих N частота події виявляється приблизно сталою, так, наприклад, при спостереженні падінь монети частота M/N випадання герба завжди наближається до 1/2, а у випадку визначення статі новонародженого частота M/N народження хлопчиків близька до 0,511.

Основний закон випадкових явищ і полягає в стійкості частоти певної події за дуже великої кількості випробувань (випадків). При цьому чим більше зроблено випробувань, тим меншими будуть випадкові відхилення частоти від середнього її значення. Цей закон має величезне практичне застосування в багатьох галузях господарства. Можна стверджувати навіть, що немає жодної галузі народного господарства, в якій не застосовувалися б цей та інші закони випадкових явищ.

Візьмемо, наприклад, страхування життя. Нехай якийсь чоловік віком 55 років хоче застрахувати своє життя. Щоб знати, скільки взяти із застрахованого і скільки треба виплатити родичам у разі його смерті треба розрахувати, скільки людей віком 55 років залишаться живими через 5 або 10 років і скільки з них помре за цей час. Здається, що тут не можна що-небудь передбачити – адже ніхто не знає, коли він помре. Але виявляється, коли випадків багато, можна з певністю передбачити, яка кількість людей залишиться живими після 60 або 65 років. Тому, розглядаючи всю масу застрахованих, можна зробити дуже точне передбачення – тим точніше, чим більша кількість людей охоплена страхуванням. Аналогічно можна заздалегідь розрахувати необхідне в даному місті число пожежних команд або запаси зерна, які треба мати на випадок неврожаю.

Стійка частина певної випадкової події називається ймовірністю цієї події. Вивчення ймовірностей і законів, яким вони підлягають, становить зміст теорії ймовірностей. У деяких випадках ймовірність події легко визначити заздалегідь, не роблячи жодних випробувань. Яка, наприклад, ймовірність випадання герба при киданні монети? Заздалегідь ясно, що є стільки само шансів на те, що подія настане, як і на те, що вона не настане. Тому ймовірність  настання розглядуваної події A тут дорівнює 1/2. Це записують так: P(A)=1/2. Останній вираз означає, що при великому числі кидань монети герб випаде приблизно в половині всіх випадків. А вираз P(A)=0,003 означає, що при великому числі випробувань розглядувана подія настане лише в трьох випадках з тисячі. Твердження P(A)=1 означає, що подія A настане обов’язково. Так, наприклад, дорівнює одиниці ймовірність того, що завтра зійде сонце. Навпаки, рівність P(A)=0 означає, що подія A неможлива; так, наприклад, дорівнює нулю ймовірність того, що під час падання монети на стіл вона стане на ребро.

Подамо тепер один історичний приклад, що показує, як у ХVII столітті практичні потреби гравців у кості допомагали розвиткові теорії ймовірностей, тобто допомагали науково ставити питання про закони випадку.

Один французький лицар, кавалер де Мере був пристрасним гравцем у кості. Він всіляко намагався розбагатіти за допомогою гри, і для цього вигадував різні ускладнені правила, які, як йому здавалося, приведуть його до мети. У той час прагнення розбагатіти за допомогою азартних ігор охоплювало, як хвороба, багатьох людей.

Де Мере вигадував такі правила гри. Він пропонував кинути одну кість чотири рази поспіль і закладався, що при цьому хоча б один раз випаде цифра 6; якщо ж цього не траплялося – ні разу не випадало 6 очок, то вигравав його противник. Точне значення ймовірності того, що в цих умовах випаде 6, у той час було невідоме, хоч було видно, що воно близьке до . Де Мере гадав, що він частіше виграватиме, ніж програватиме, але все ж звернувся до свого знайомого, одного з видатних математиків XVII століття Блеза Паскаля з проханням розрахувати, яка ймовірність виграти у вигаданій їм грі.

Наведемо розрахунок Паскаля.

При кожному окремому киданні ймовірність випадіння 6 дорівнює 1/6. Ймовірність того, що не випаде 6 очок, дорівнює 5/6. Далі, нехай ми кинемо кубик двічі. Повторимо спробу, яка полягає у дворазовому його киданні, багаторазово, скажімо, N разів. Тоді приблизно в 5/6 із цих N випадків на кубику, кинутому уперше не випаде 6. Із числа цих 5/6 випадків приблизно в 5/6, тобто в 5/6(5/6N)= (5/6)²N випадків, не випаде 6 і при другому киданні. Отже, ймовірність того, що при дворазовому киданні жодного разу не випаде 6 очок, вичисліть самі  Так само виводимо, що ймовірність того, що жодного разу не випаде 6 при триразовому киданні кубика дорівнює: (5/6)³=125/216.

Нарешті, ймовірність того, що при чотириразовому киданні жодного разу не випаде 6, дорівнює: (5/6)⁴=625/1296. Таким чином, для лицаря де Мере ймовірність програшу дорівнювала 625/1296, тобто менше 1/2, отже, ймовірність виграшу була більша за половину. Отже, при кожній грі більш за половину шансів було за те, що лицар виграє, при багаторазовому ж повторенні гри він майже напевно був у виграші. Завдяки таким своєрідним «практичним запитам» з’явилася теорія розрахунку випадкових явищ.

У XVII і XVIII століттях учені розглядали ці приклади як «кумедні випадки» застосування математичних знань до явищ, які не мають значного поширення. Однак слід мати на увазі, що теорія ймовірностей почала формуватися в XVII столітті саме при вирішенні питань, які виникали під час гри в кості. Математики з цього приводу жартома кажуть, що ця безглузда гра породила велику і мудру науку, дуже важливу для практичної діяльності людей, тоді як розумна гра в шахи в історії науки ніякої ролі не відіграла.

Література:

1. Проблемы Гильберта. Сб. под общей  редакцией П.С. Александрова. Наука, Москва. 1969.
2. А. Реньи. Заметки о преподавании теории вероятностей. Трилогия о математике. Мир, Москва, 1980. С. 313–326.

Л.І. Ващенко, вчитель-методист