У 1644 р. із Гвінеї, розташованої на півдні Західної Африки, до Англії вирушила ескадра з чотирьох кораблів. Крім перевезення вантажу на моряків було покладено і суто наукове завдання: під час плавання з якомога більшою точністю визначати координати кораблів.

Досягши острова Святого Фока, що лежить поблизу екватора (знайдіть цей острів на карті), командир ескадри розпочав проведення експерименту. Насамперед він виставив по Сонцю новий, доти нікому невідомий годинник, виготовлений за особливим патентом. Обійшовши острів і пройшовши курсом на захід 700 миль, ескадра знову повернула до Африки, чому сприяв сильний південно-західний вітер. Через 250 миль такого курсу з командиром ескадри за допомогою сигнальних прапорців зв’язалися капітани трьох інших судів, які настійно радили змінити курс і попрямувати до острова Барбадос, розташованого на схід від Малих Антильських островів, для поповнення запасів прісної води. Рада капітанів дещо спантеличила командира ескадри, і він запросив їх до себе на флагманський корабель, попросивши взяти з собою суднові журнали та розрахунки з визначення місцезнаходження ескадри. На нараді з’ясувалося, що розрахунки всіх капітанів сильно розходяться між собою – до 100 миль та більше.

Після недовгих, але гарячих суперечок командир ескадри, більшою мірою довіряючи новому годинникові та власним викладкам, прийняв одноосібне рішення: лягти курсом на найближчий з островів.

Наступного дня розрахунки командира блискуче підтвердилися: у точно намічений час ескадра досягла наміченої точки, і кораблі кинули якоря біля берегів острова дель Фуего. Командир ескадри склав докладний звіт після прибуття в Англію про все, що сталося. То була, по суті, перша неупереджена, незалежна експертиза нового морського годинника, винайденого голландським ученим Християном Гюйгенсом. Але в чому був секрет винаходу? Що забезпечило підвищену точність новому годиннику і дозволило командиру ескадри з мінімальною помилкою визначити свої координати в далекому морському плаванні? Перш ніж відповісти на ці питання, зробимо невеликий історичний екскурс із проблеми обчислення часу.

Перший годинник – сонячний – з’явився в Китаї та Стародавньому Єгипті. Потім людство обзавелося водяним і пісочним годинником. Механічний годинник – стінний з гирьовим заводом і ручний із пружинним – був винайдений у середні віки. У Росії годинник з гирьовим заводом був встановлений на одній із веж Московського Кремля в ХV столітті.

Загальний недолік першого механічного годинника – його низька точність через сильну залежність швидкості ходу від температури повітря, ступеня загусання масла в опорах та інші причини. Наприклад, такий годинник днем у спеку йшов помітно швидше, ніж уночі. Саме тоді потреба людства у значному поліпшенні точності показання годин, насамперед, з метою мореплавання, ведення воєнних дій та астрономії, дедалі більше зростала.

Для заохочення винахідників у XVII столітті були встановлені навіть високі грошові премії для тих, хто підвищить точність механічних годинників (наприклад, в Англії – 20000 фунтів стерлінгів).

І ось за вирішення цієї проблеми після закінчення Лейденського університету взявся молодий Християн Гюйгенс.

Сила його таланту полягала в тому, що в одній особі з’єдналися глибокий теоретик і майстерний винахідник, що й допомогло йому знайти оригінальне рішення, що дозволило суттєво підвищити точність механічного годинника.

Сутність ідеї Гюйгенса полягала в застосуванні в годиннику, як пристрою, що забезпечує їх рівномірний хід, маятника. До цієї ідеї сучасна людина цілком звикла. Але її народження за своїм впливом на подальший хід технічного прогресу неоціненне.

Після отримання в 1657 р. патенту на свій винахід Гюйгенс розкрив пристрій нового годинника з маятником в опублікованій ним брошурі. І ось тут на молодого вченого і впали напасті: його звинуватили ледь не в плагіаті.

Розповімо коротко цю малоприємну, але дуже повчальну історію про те, яких необґрунтованих нападок часом зазнає вчений, який зробив видатне відкриття і замість очікуваної подяки змушений відбиватися від чуток і домислів, що ганьблять його.

А сталося таке. Брошура Гюйгенса через рік після її видання в Нідерландах потрапила до Флоренції – на батьківщину Галілея, який, як згадали його учні, ще 1641 р., тобто за 16 років до Гюйгенса, прийшов до тієї ж ідеї про використання в годиннику маятника.

За переказами, подібна думка осяяла вченого, коли він під час меси спостерігав хитання люстри в Пізанському соборі. У 1642 р. Галілей помер, не реалізувавши своєї ідеї, але встигнувши передати креслення сину Вінченцо і наказ виготовити годинник з маятником.

Але син не встиг виконати останню волю батька, раптово померши в 1649 році. Інші ж учні Галілея, не оцінивши належним чином велику ідею свого вчителя, не приступили до її реалізації. Одне слово, креслення Галілея мертвим вантажем осіли в Італії. Але коли брошура Гюйгенса досягла Флоренції, то місцеві патріоти занепокоїлися, а чи не запозичена ідея годинника з маятником голландським ученим в їхнього геніального співвітчизника. І ось проти Гюйгенса висувається звинувачення у можливому плагіаті. Повний абсурд та безглуздість! Бо як міг Гюйгенс, що ніколи не зустрічався з Галілеєм, бачити креслення, які були виконані в єдиному екземплярі і зберігалися у Флоренції. У неприємній для нього ситуації Гюйгенс повівся дуже гідно: не став заперечувати першості Галілея у винаході годинника з маятником, але довів і повну самостійність свого винаходу.

Тому в історію техніки маятниковий годинник увійшов під подвійним ім’ям: Галілея-Гюйгенса. Щоправда, не забуватимемо, що ідею Галілея його учні благополучно поховали, а ось Гюйгенс зумів втілити свою в життя. Гюйгенс завзято, протягом усього життя вдосконалював конструкцію свого маятникового годинника з метою підвищення його точності та зручності експлуатації.

І як вчений і як великий винахідник Гюйгенс отримав визнання за життя. Свідченням такого визнання було його обрання членом Паризької Академії наук та дружба з великими сучасниками – Лейбніцем і Паскалем.

Зовсім інакше, куди трагічніше, склалося життя іншого винахідника маятника – Галілео Галілея. Тому дозволимо собі більш докладно зупинятися на найгіршій події в житті вченого.

20 червня 1633 р. Галілею – громадянинові Флоренції, вченому, чиє ім’я було відоме не тільки в Італії, а й у всій Європі, – було наказано з’явитися в інквізиційний суд у Римі. Наступного дня він виконав цей наказ, після чого його затримали і допитали. (Досі достеменно невідомо, чи допитувався з пристрастю, тобто із застосуванням тортур, чи ні).

22 червня Галілея перевели до церкви «Санта Марія» і він постав перед лицем кардиналів католицької церкви та прелатів конгрегації – вищого суду інквізиції. Стоячи на колінах, в одній сорочці перед своїми суддями при великому збігу народу, у зловісній обстановці 70-річний старець вислухав суворий вирок кардиналів. Наведемо у перекладі витримки з цього цікавого історичного документа.

Вирок кардиналів над Галілеєм:

«Ми (далі йде перерахування прізвищ семи суддів), Божою милістю диякони і кардинали святої римської церкви, від апостольського престолу вбрані генеральними інквізиторами проти всякого єретичного розбещення, що може з’явитися у вселенському християнському суспільстві.

Бо ти Галілей…, який має 70 років від народження, в 1615 році був звинувачений св. судилищем у тому, що вважаєш істиною і поширюєш у народі лжевчення, за яким сонце перебуває в центрі світу нерухомо, земля ж рухається на осі добовим обертанням; у тому, що ти мав багатьох учнів, котрим викладав це саме вчення…

Внаслідок цього, цим святим судилищем (інквізицією), бажаючим захистити людей від шкоди і спокуси, які походили від твоєї поведінки і загрожували чистоті св. віри, за наказом нашого пана і високопреосвященних панів кардиналів цієї верховної і всесвітньої інквізиції, була обговорена коперникова гіпотеза про нерухомість сонця і рух землі, і вчені богослови постановили такі два положення:

1) Що вважати сонце центром всесвіту, що стоїть нерухомо – є думка безглузда, філософськи помилкова і вкрай єретична, бо ясно суперечить св. писанню.

2) Що вважати землю не центром всесвіту і не нерухомою – є думка безглузда, філософськи хибна і з богословської точки зору також противна духу віри.

...У минулому ж 1632 році з’явилася книга, видана у Флоренції, назва якої показує, що ти її автор... З надрукування цієї книги св. конгрегація дізналася, що хибне вчення про рух сонця з кожним днем все більше міцнішає; з цього вищеназвана книга, по ретельному її розгляді, виявила, що ти явно переступив зроблене тобі напучення і продовжував захищати думки, прокляті і засуджені церквою. У сказаній книзі ти різними способами хитруєш, щоб  представити питання не цілком вирішеним, а думку Коперника вельми ймовірною, але вже і це є страшна помилка, тому що жодним чином не може бути ймовірним те, що св. церква остаточно визнала хибним і таким, що суперечить божественному писанню…

Але, щоб такий тяжкий і шкідливий гріх твій і непослух не залишилися без всяких наслідків, і ти згодом не став би сміливішим, а навпаки, послужив би прикладом і застереженням для інших, ми поклали: заборонити книгу під назвою «Розмови» Галілея, а тебе самого ув’язнити на невизначений час. Для рятівного ж покаяння твого наказуємо, щоб протягом трьох років, один раз на тиждень, ти прочитував сім покаянних псалмів.

Так ми говоримо, вимовляємо, оголошуємо вирок, ухвалюємо, присуджуємо, владою, нам даною, найкращим чином і по крайньому нашому розумінню.

Так присудили ми, кардинали, що підписалися нижче».

Принагідно зауважимо, що суд над Галілеєм відбувався з благословення папи Урбана VIII. Щоб краще зрозуміти зміст наведеного вироку, що стосується засудження Галілея і «повалення» геліоцентричної системи світу, звернемося до подій, приблизно, на 100 років раніше.

У 1512 р. польського католицького священика Коперника – вправного лікаря та знавця астрономії – запросили до Риму для участі в роботі комісії з реформи календаря. Спочатку Коперник намагався вдосконалити геоцентричну систему світу Птолемея, головним постулатом якої була гіпотеза про Землю як нерухомий центр світу, навколо якого обертається Сонце і планети. У процесі тривалої і копіткої роботи Коперник дійшов висновку, що значно точніші результати при розрахунку календаря дає геліоцентрична система світу, згідно з якою центром Всесвіту є Сонце, навколо якого обертається Земля та інші планети.

Результати своєї титанічної сорокарічної праці Коперник виклав у творі «Про обернення небесних тіл», виданому у 1543 р. за кілька місяців до своєї смерті. Незважаючи на те, що римські прелати легко створювали релігійну справу з наукових відкриттів, вони спочатку не надали особливого значення теорії Коперника, і тому його книга тривалий час перебувала у вільному уживанні, тим більше, що вона була присвячена папі Павлу III. Познайомився з теорією Коперника і Галілей, ставши її твердим прихильником і відкрито висловлюючись на її захист.

Гіпотеза Коперника, підкріплена відкриттями Галілея, – Земля обертається навколо Сонця, а не навпаки, – знаходила все більше прихильників серед учених, які викладали в університетах Європи, і навіть серед духовенства. І тоді римська курія вирішила дати рішучий бій прихильникам геліоцентричної теорії і знищити богопротивну, на їхню думку, книгу Коперника, що породила брехню.

Галілея попередили, щоб він викладав учення Коперника як математичну теорію, а не як відображення фізичної реальності. В іншому випадку вчений може не уникнути належної кари за свідоме поширення єресі.

Природно виникає питання: чому католицькі богослови так побоювалися теорії Коперника, яка була для них різниця – Сонце обертається навколо Землі чи Земля навколо Сонця, як це могло зашкодити релігійному сприйняттю світу? Могло, на їхню думку, і навіть дуже!

Догмат католицької церкви з цієї проблеми зводився до такого: людина є предметом опіки божества і тому, живучи на Землі, повинна стояти в центрі світобудови. Тому Земля і тільки Земля, опікувана Богом, а не якесь інше небесне тіло, є центром Всесвіту!

Цей догмат спирався на два місця зі священного писання: на слова Іісуса Навина: «Стій Сонце і не рухайся Земля» і вигук Давида: «Земля нехай не рухається у віки». З визнанням теорії Коперника-Галілея (Земля обертається навколо Сонця) руйнувалося розуміння божественної світобудови, що для ієрархів католицької церкви було нестерпно важко, образливо і з чим вони не могли погодитися. Звідси й випливає таке твердолобе відстоювання ними догмату – Сонце та інші планети обертаються навколо Землі.

Першу «перемогу» самовпевнені і неосвічені богослови здобули в березні 1616 р., коли конгрегація заборонених книг при римському папі (по-сучасному, цензурний комітет) прийняла такий декрет: «Помилкове піфагорійське вчення про рух Землі та нерухомість Сонця, як філософськи безглузде і цілком єретичне оголошується неприйнятним для священного писання».

Три підписи стояли під цим декретом, але підпису самого папи Павла V під ним не було. Наслідком декрету стала заборона книги Коперника через 73 роки після її виходу у світ і вилучення з обернення доти, поки в ній не будуть виправлені ті місця, де його вчення (Сонце – центр Всесвіту) виражене не в сенсі гіпотези, а як безперечна істина. (Зауважимо, що ця заборона була скасована католицькою церквою лише через 266 років у 1882 р.).

Галілей, однак, не упокорився з папським декретом, продовжуючи відстоювати справедливість наукового відкриття Коперника.

Ось що він писав з цієї проблеми, залишаючись людиною релігійною і вірною католицькій вірі: «Священне писання завжди безсумнівно істинно і служить цілковитим авторитетом у питаннях віри, але його таємнича глибина часто не проникна для нашого слабкого розуму, і вкрай помиляються ті, хто шукає в ньому пояснення фізичних явищ, яких там немає і яких без вивчення природи не можна зрозуміти».

Більше того, Галілей продовжував розвивати теорію Коперника і після довгих зволікань, подолавши рогатки папської цензури, видав книгу «Розмови про дві найбільші світові системи: Птоломеєвої та Коперникової» (Скорочено «Розмови»).

Гнів католицьких прелатів після виходу друком цієї книги не знав меж, наслідком чого стало скликання інквізиційного суду, що виніс наведений вище вирок, з якого випливало:

1) Земля – нерухомий центр Всесвіту, і всі, хто не погоджується з цим, – єретики;

2) Галілей, який поширював єретичне вчення Коперника, гідний покарання.

Однак одним вироком справа не обмежилася. Галілея прилюдно змусили зректися і вчення Коперника, і його власної книги.

Ось невеликий витяг з цього зречення: «Я , Галілело Галілей, ... на сімдесятому році мого життя, особисто стоячи перед судом, схиливши коліна перед вами, високі і високоповажні пани кардинали вселенської християнської республіки і проти єретичного розбещення загальні інквізитори, маючи перед очима священне Євангеліє, якого торкаюся власними руками, клянуся, що завжди вірував, тепер вірю і, з допомогою Божою, надалі буду вірити у все, що містить, що проповідує і чому вчить свята католицька і апостольська церква... Я визнаний таким, що перебуває під сильною підозрою в єресі, тобто, що думаю і вірю, ніби сонце є центром всесвіту і нерухомо, Земля ж – не центр і рухається.

Тому, бажаючи прогнати з думок ваших, високоповажні пани кардинали, так само як і з розуму всякого істинного християнина цю підозра, законно на мене порушену, від щирого серця і з непритворною вірою зрікаюся, проклинаю, починаю ненавидіти вищезгадану єресь і оману... Крім того, присягаюсь і обіцяю поважати і суворо виконувати всі покарання та виправлення, які наклало або накладе на мене це святе судилище...»

У буквальному сенсі слова, повна і беззастережна капітуляція великого вченого перед неосвіченими, самовпевненими і жорстокими людьми. Будь-якій людині гірко і нестерпно важко зрікатися своїх переконань. Але іншого виходу у Галілея не було, бо Римська інквізиція від своїх дітей вимагала повної покірності. Інакше Галілея чекала доля Джордано Бруно та інших знаменитих учених, які зазнали катувань і спалення на вогнищі.

І тільки непоправні лицеміри могли кинути докір великому вченому і мужній людині Галілео Галілею в тому, що він змушений був прийняти зречення і не стати мучеником. Та й яка б користь для нащадків, якби Галілей згорів на багатті? Після суду та зречення Галілей прожив ще дев’ять років, залишаючись в’язнем інквізиції. Місце перебування йому, однак, було визначено не у в’язниці, а на його віллі Арчетрі поблизу Флоренції, де він і помер 8 січня 1642 р.

Так, на самоті під невсипущим оком інквізиції закінчилося життя великого  фізика, астронома і філософа, який заклав основи сучасної механіки.

Заради справедливості слід сказати, що у 1992 р. римський папа Іоанн Павло II оголосив рішення суду інквізиції від 22 червня 1633 р. помилковим, повністю реабілітував Галілея майже через 360 років після його засудження і публічно приніс ученому посмертні вибачення.

А тепер дослідимо роботу маятникового годинника (рис.1) або, точніше, коливання маятника, винахідниками якого по праву можна вважати двох великих учених – Гюйгенса і Галілея.

Без урахування тертя осі у втулці та опору повітря такі коливання описуються диференціальним рівнянням:

(1)

де Θ - кут відхилення маятника від вертикалі;
J - момент інерції щодо осі;
M - момент сил, що діють на маятник щодо осі, що визначається його довжиною L і силою тяжкості mg:

M = –mgLsinΘ,

(2)

де g – прискорення сили тяжіння, m – маса маятника.

З (1) з урахуванням (2) отримаємо:

(3)

де – власна частота коливань маятника.

При масі маятника, що зосереджена в точці (такий маятник називається математичним), момент інерції J=mL² і частота:

(4)

При малій амплітуді коливань маятника ΘМ <<1 можна прийняти sinΘ = Θ і тоді рівняння (3) перетворюється до такого виду:

(5)

Рішення лінійного диференціального рівняння (5):

де

що легко перевірити, підставивши його (8.5).

У цьому випадку період коливань маятника:

(6)

З (6) легко визначити довжину маятника при заданому періоді коливань:

L=gT2/4π2.

(7)

З (7) при Т=1с і g = 9,80665 м/с² отримаємо для потрібної довжини маятника: L = 0,248405 м

Отже, коливання маятника в більш точній, нелінійній моделі описуються нелінійним диференціальним рівнянням (3), вирішити яке можна тільки чисельним шляхом. При малій амплітуді коливань можлива заміна нелінійного рівняння на лінійне (5), рішення якого визначається аналітичним шляхом.

Результати розрахунку з обох варіантів представлені на рис.2, де по осі абсцис відкладено час у секундах, по осі ординат – кут гойдання в радіанах, суцільна лінія AX відноситься до нелінійної моделі, пунктирна AY – лінійної.

З побудованих на рис.2 графіків випливає, що при невеликій амплітуді коливань Θ_М =0.1 рад. (рис.2, а) періоди коливань маятника при обох моделях практично збігаються, а при збільшеному значенні амплітуди Θ_М = 1 рад. (рис.2,б) – розбіжність істотна: вже у 6-му періоді вона сягає величини, що дорівнює 0,5 с коливань. У лінійній моделі період коливань занижений у порівнянні з нелінійною.

а) при Θ_М =0.1

б) при Θ_М =1

Рис.2. AX, AY – кути коливання в рад., t – час в секундах

На закінчення відзначимо, що після доведення до досконалості маятникового годинника Галілея-Гюйгенса, наступним великим кроком у підвищенні точності обчислення часу стало застосування кварцового годинника. «Серцем» останніх є кварцовий резонатор, що має високі еталонні властивості. На зміну кварцовим прийшли ще більш точні квантові годинники, основою яких є молекулярний стандарт частоти. Похибка найбільш досконалих квантових годинників із використанням випромінювання лазера становить не більше 1 секунди за кілька тисяч років.

Завдання

Якщо у вас є старовинний настінний годинник з маятником, то виміряйте його довжину і результат звірте з розрахунком за формулою (7). При цьому неминуче розходження між ними, оскільки при розрахунку передбачається, що вся маса маятника зосереджена в одній точці і кут хитання малий.

В.І. Каганов, доктор технічних наук, професор