Леонард Ейлер - найпродуктивніший математик в історії. Він писав свої наукові праці легко й невимушено, як досвідчений літератор пише листи друзям. Навіть повна втрата зору протягом останніх 17 років життя не стримувала його творчої активності. Більше того, в Ейлера в цей час загострилось сприйняття внутрішнього світу математики.

 За час своєї наукової діяльності вчений написав більше 880 праць, у тому числі ряд багатотомних монографій. Із них за життя було опубліковано біля 560 праць. Починаючи з 1909 року в Швейцарії видається Повне зібрання творів Ейлера, розраховане на 72 томи. Окрім цього, лише частково опублікована переписка, яка охоплює більше 3 000 листів.

Із своєї плідної наукової діяльності (близько 60 років) Ейлер 31 рік віддав Петербурзькій Академії наук, у виданнях якої за життя опублікував біля 400 праць, а ще протягом 80 років Академія продовжувала видавати неопубліковані за життя його праці. Учений був обраний академіком (і почесним академіком) у восьми країнах світу. Він залишив видатні праці в різних галузях математики, механіки, фізики, астрономії, у прикладних науках. Але в першу чергу він, без сумніву, був математиком.

Леонард Ейлер, син Пауля Ейлера і його дружини Маргарити Брюкер, мабуть, є найвидатнішим ученим з усіх тих, хто походить зі Швейцарії. Він народився в Базелі 15 квітня 1707 року, але вже наступного року разом з батьками переїхав у невелике сусіднє селище Рюген з населенням біля тисячі жителів, де його батько став пастором. Із часом сім’я пастора зросла до шести осіб, але всі вони мешкали лише в одній житловій кімнаті та ще в батьковому кабінеті. Завдяки м’якому клімату члени сім’ї більшу частину часу проводили під відкритим небом.

Батько Леонарда за молодих літ вивчав математику під керівництвом Якоба Бернуллі. Інтерес до математичних знань не залишав пастора протягом усього життя. То ж не дивно, що навчаючи сина грамоти, батько збудив у нього інтерес до математики. Хоча батько Леонарда все ж таки хотів бачити сина своїм наступником у приході.

Діставши початкову домашню освіту, Леонард вступив до гімназії в Базелі, де жив під наглядом своєї бабусі. Гімназія була в ті часи в поганому стані: грубі та малокваліфіковані вчителі, з одного боку, і запущені учні – з іншого, псували життя один одному. Не кажучи вже про постійні бійки між учнями, траплялось, що й учителі іноді займались рукоприкладством. Звичайно, ґрунтовних знань така гімназія не могла дати.

Але чиновницька кар’єра вимагала отримання атестата, знання деяких розділів математики; тому багато з учнів брали репетиторів, за звичай студентів, які могли за один день навчити більшому, ніж гімназія за тиждень. У Леонарда теж з’явився приватний учитель – Йоганн Буркгардт, який передбачив своєму учневі велике майбутнє.

20 жовтня 1720 року 13-річний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету. Університет того часу був невеликим: 19 професорів навчали трохи більше 100 студентів. Однак серед викладачів був Йоганн Бернуллі – зірка першої величини на небосхилі світової науки. Лейбніц на той час вже пішов з життя, а Ньютон був у похилому віці – і Йоганн Бернуллі по праву вважався першим математиком світу. Цей видатний базельський математик був різнобічно обдарованою особистістю, полюбляв літературу, був доктором медицини і, головне – блискучим педагогом. Про нього Вольтер писав: «Розум його сприймав істину, а серце відчувало справедливість».

Леонард мав гостру пам’ять і допитливий, кмітливий розум. Він швидко і легко опанував курс наук і вже в 1722 році отримав першу ступінь «prima laurea», що відповідає ступеню бакалавра. У  вільний час він відвідував лекції з математики, які читав Йоганн Бернуллі. Бернуллі звернув увагу на неабиякі математичні здібності хлопчика й почав працювати з ним окремо – на протязі декількох років Ейлер кожної суботи проводив певний час у сім’ї професора. Леонард подружився з синами Йоганна  Бернуллі – Миколою та Даніїлом, які поглиблено вивчали фізику і математику. Дружба з братами Бернуллі й визначила подальший життєвий шлях Ейлера.

В університеті Ейлер вивчав філософію, теологію, давньоєврейську і грецьку мови,  медицину, але дедалі все більше захоплювався математикою і фізикою. У 1724 році він отримав ступінь магістра мистецтв, причому на захисті промову про порівняння філософських поглядів Декарта і Ньютона зробив латиною. Це надавало йому право викладати гуманітарні науки і філософію. У цей час батько Леонарда став наполягати, щоб син залишив математику й присвятив своє життя богослужінню. І лише після того, як Бернуллі сказав батьку, що Леонард стане видатним математиком, Пауль Ейлер відступив і дав сину напуття в науку.

Перші оригінальні праці Ейлера відносяться до 1725-1727 років. У 1725 році він написав статтю про ізохронні криві і опублікував її в Лейпцигу в «Acta eruditorum» за 1726 рік. Приблизно в той же час Ейлер подав на конкурс, оголошений Паризькою Академією наук, свій науковий твір про розміщення щогл на кораблі. Ця праця отримала почесну відзнаку і була опублікована в академічному збірнику. На той час авторові було лише 19 років. У подальшому Ейлер 12 разів був удостоєний премії Паризької Академії. Ще 7 різних премій отримав його син Йоганн-Альбрехт, який в основному лише викладав і обробляв ідеї батька.

Діставши право на викладання в університеті, Ейлер повинен був пройти ще жеребкування, щоб зайняти вакантну посаду. Проте до цієї процедури його, як дуже молоду людину, не допустили, і Леонард залишився без роботи.

У 1725 році брати Бернуллі були запрошені в члени Петербурзької Академії наук, нещодавно заснованої імператрицею Катериною І за проектом Петра І. Перші збори Академії відбулися в серпні 1725 року, через півроку після смерті Петра І. Саме за сприяння братів Бернуллі в 1726 році Леонард Ейлер також отримав запрошення до Академії. 5 квітня 1727 року Ейлер назавжди залишив Швейцарію і в травні того ж року прибув до Петербургу.

У Петербурзькій Академії наук Ейлер знайшов сприятливі умови для розквіту творчих обдарувань: матеріальну забезпеченість, можливість займатись улюбленою справою, наявність щорічного журналу для публікації праць. Для сучасного читача, мабуть, цікавими й дещо повчальними  будуть слова Й. Бернуллі, які він зі Швейцарії писав своїм синам у Петербург: «...краще трішки потерпіти від суворого клімату країни льодів, у якій шанують науку, ніж померти від голоду в країні з помірним кліматом, у якій науку ображають і зневажають».

Серед 23 академіків, запрошених на роботу протягом перших років, сім були математиками. Це були: Я. Герман, Х. Гольдбах, Ф.-Х. Майер, Г.-В. Крафт,  молоді брати Бернуллі та їх ще зовсім юний друг – 20 річний Леонард Ейлер. З того часу Петербург, який в 1703 році був заснований Петром І «из тьмы лесов и топи блат», став одним з провідних  центрів математики у світі. На відміну від багатьох запрошених до Академії іноземців Ейлер у перші ж роки петербурзького життя ґрунтовно вивчив російську мову, міг нею вільно говорити й писати.

Молодші за рангом члени Академії йменувались ад’юнктами, далі йшли екстраординарні професори і професори (в ХІХ столітті – екстраординарні і ординарні академіки). Ейлер розпочав роботу в Академії у званні ад’юнкта. У серпні 1727 року молодий учений вже робив свою першу наукову доповідь в Академії.

У 1731 році він став професором фізики, а в 1733 році отримав кафедру математики –  до нього цю кафедру займав Д. Бернуллі, який повернувся до Швейцарії. Зростання авторитету Ейлера знайшло своєрідне відбиття в листах до нього його вчителя Й. Бернуллі. У 1728 році Бернуллі пише: «даровитий юний муж», у 1737 році: «знаменитий і винахідливий математик», у 1745 році: «незрівнянний Леонард Ейлер – глава математиків». Ще Бернуллі пише: «Я присвятив себе дитинству вищої математики. Ви, мій друже, продовжите її становлення у зрілості» – справді пророчі слова талановитого вчителя до свого  видатного учня.

У 1735 році Академія отримала завдання терміново виконати занадто складні та громіздкі астрономічні обчислення. Група академіків просила на цю роботу три місяці, оскільки вона вимагала виснажливої праці. Ейлер взявся виконати її за три дні і справився із завданням, але  перевантаження не пройшло безслідно: вчений захворів нервовою гарячкою із запаленням правого ока, яке він і втратив.

У 1740 році становище в Росії погіршилось. У цей час прусський король Фрідріх ІІ задумав відродити засноване ще Лейбніцем у 1700 році Бранденбурзьке наукове товариство. Через свого посла в Петербурзі король запросив Ейлера в Берлін. Ейлер прийняв запрошення і в 1741 році переїхав до Берліну, де прожив 25 років. У 1744 році це товариство було реорганізовано в Берлінську Академію наук і літератури. Фрідріх ІІ влаштував відкриття Академії у свій день народження 24 січня 1744 року.

Ейлер  зайняв в Академії  посаду директора математичного класу (відділення) і члена правління, а після смерті президента Академії П’єра де Мопертюї, з 1759 року фактично керував усією діяльністю Берлінської Академії. У цей період творчість Ейлера відзначалась високою продуктивністю. Свої твори він публікував майже порівну в берлінських і петербурзьких виданнях: обидві Академії навіть разом не справлялися з величезним потоком його праць.

У 1745 році помер батько Ейлера, а дещо згодом помер і молодший брат Генріх. Мати Ейлера, щоб не залишатись на самоті, вирішила переїхати до сина в Берлін, де вона й жила до смерті в 1761 році.

Залишивши Росію, Ейлер зберіг тісний зв’язок з Петербурзькою Академією, у тому числі офіційний: йому було присвоєно звання почесного академіка, призначена щорічна пенсія, а він, зі свого боку, взяв на себе обов’язки щодо подальшого співробітництва. Він систематично повідомляв Академію про технічні винаходи і наукові відкриття закордонних учених, брав участь в організації і проведенні конкурсів, оголошених Академією, виступав як арбітр у наукових суперечках між петербурзькими вченими, давав теми для конкурсних робіт, редагував математичний відділ академічних записок, діставав і надсилав у Росію наукову літературу, прилади для дослідів, запрошував іноземних учених на роботу в Петербург. У будинку Ейлера в Берліні жили студенти з Росії: С. Котельников, С. Румовський, М. Софронов, які у подальшому стали академіками. З Берліну Ейлер, зокрема, вів переписку з М.В. Ломоносовим, якого високо цінував за вміле поєднання теорії з експериментом.

У 1766 році Ейлер отримав через посла в Берліні, князя Долгорукова, запрошення імператриці Катерини ІІ повернутись у Петербург на будь-яких умовах. Катерина ІІ запропонувала Ейлеру керувати математичним класом (відділенням), звання конференц-секретаря Академії й платню 1 800 рублів на рік; його сину Йоганну-Альбрехту – звання академіка й 600 рублів на рік. «А если не понравится, – писала в листі, – пусть благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил с приездом в Петербург». Не дивлячись на умовляння залишитись у Берліні, Ейлер прийняв запрошення і повернувся до Петербургу в 1766 році Імператриця зустріла вченого як члена королівської родини, надала йому повністю мебльований  будинок і виділила одного зі своїх кухарів.

Однак на долю вченого випали тяжкі випробування. У травні 1771 року в Петербурзі виникла велика пожежа, яка знищила сотні будівель, у тому числі й будинок Ейлера майже з усім майном. Самого вченого з великими труднощами врятував Петро Грімм, ремісник, що приїхав з Базеля. На щастя, більшість рукописів вдалося врятувати. Після повернення до Петербургу в Ейлера утворилась катаракта другого (лівого) ока (праве око він втратив ще під час першого перебування в Росії).

У вересні 1771 року в Петербург приїхав відомий німецький окуліст барон Вентцель, який погодився зробити Ейлеру операцію – він видалив катаракту. І Ейлер знову став бачити, та не надовго. Окуліст застерігав берегти очі від яскравого світла, не писати, не читати й лише поступово звикати до нового стану. Та хіба міг Ейлер не обчислювати? Вже через кілька днів він зняв з очей пов’язку. І дуже швидко втратив зір. Цього разу остаточно. Однак, як це не дивно, до цієї події віднісся дуже спокійно і лише філософськи зауважив, що відтепер вже ніщо не буде відволікати його від занять математикою.

Його наукова продуктивність у цей час навіть зросла. Ейлер, при своїх геніальних здібностях і блискучій пам’яті, продовжував працювати, диктувати свої нові мемуари. Лише з 1769 по 1783 рік він продиктував 380 статей і творів. У оформленні праць Ейлеру допомагали його старший син Йоганн-Альбрехт, А. І. Лексель, В.-Л. Крафт, М.І. Фусс, М.Е. Головін (племінник Ломоносова).

Ейлер мав велику сім’ю. Він був двічі одружений. Перший раз – у 26 років на Катерині Гзель (їй теж було 26), дочці академічного живописця Георга Гзеля, якого Петро І запросив і привіз із собою з Амстердаму (швейцарця за походженням). Від першого шлюбу Ейлер мав 13 дітей, з яких 8 рано померли. Старший із синів Ейлера Йоганн-Альбрехт став академіком з фізики (він під керівництвом батька написав 31 наукову працю), другий син Карл –  зайняв високу посаду в медичному відомстві.

Молодший син Христофор обрав кар’єру військового (став генерал-лейтенантом російської армії) і згодом був призначений директором заводу з виготовлення зброї в  Сестрорецьку. У 70-х роках XVIII століття Христофор Ейлер відвідав з науковою метою Запорізьку Січ і тоді ж вступив до Запорізького війська, про що йому було видано особливий атестат.

Після смерті дружини, Ейлер одружився в 69 років другий раз – на Соломії Гзель, дочці того ж живописця, але вже від іншого шлюбу. В будинку, де мешкав учений, на його утриманні було 18 осіб. Ейлер мав 38 онуків, з яких у 1801 році 26 були живими і всі вони проживали в Росії. У відносинах з іншими вчений прагнув бути простим, скромним і приємним. Почуття заздрості не було притаманним йому. Він полюбляв слухати музику, яка дещо відволікала його від напруженої праці. Ейлер навіть написав трактат про нову теорію музики, про який говорили, що в ньому надто багато музики для математиків і водночас надто багато математики для музикантів.

Із 72 томів наукових праць Ейлера 29 відносяться до чистої математики, 31 – до механіки і астрономії, 12 –  до фізики та різних питань. У математичній творчості Ейлера на першому місці стоїть аналіз нескінченно малих, якому відведено 18 томів, далі йде теорія чисел – 4,5 томи, геометрія – 4 томи, алгебра – 1,5 томи і комбінаторика з теорією ймовірностей – 1 том.

Світове визнання принесли вченому праці з механіки, про рух планет та комет, про теорію магнетизму та з балістики. Але все ж головними творами Ейлера є видатні трактати 1748, 1755 і 1768-1770 років з математичного аналізу, в яких він зібрав усі свої математичні праці, написані протягом багатьох років («Вступ до аналізу нескінченних», «Диференціальне числення», «Інтегральне числення»). Трилогія Ейлера була енциклопедією математики свого часу. За загальним визнанням сучасних учених, у цих трактатах є майже все, що викладається тепер у курсі вищої математики.

Ейлер створив варіаційне числення, надав сучасну форму інтегральному численню, викладенню тригонометрії та арифметики, зробив вагомий внесок у дослідження з теорії ймовірностей та її застосувань. Його праці виділили теорію диференціальних рівнянь в окрему дисципліну. Він був, по суті, засновником теоретичної фізики, механіки твердих тіл, гідродинаміки, гідравліки.

Сімдесят п’ять праць Ейлер присвятив геометрії. Деякі з них склали епоху в науці. По-перше, Ейлера слід вважати одним з фундаторів дослідження геометрії простору. Він першим дав послідовний виклад аналітичної геометрії в просторі та, зокрема, дав класифікацію поверхонь другого порядку, ввів так звані кути Ейлера, які дозволяють вивчати повороти тіла навколо точки.

У праці 1752 року «Доведення деяких визначних властивостей» Ейлер знайшов співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого многогранника: сума числа вершин і граней дорівнює числу ребер плюс два. Нині це співвідношення називають теоремою Ейлера. До речі, таке співвідношення припускав ще Декарт, але лише Ейлер довів його у своїх мемуарах. Це в деякому розумінні перша в історії математики теорема топології – однієї з найбільш глибоких частин геометрії, яка почала бурхливо розвиватись тільки в ХХ століття.

Топологічний характер має також цікава задача про мости в Кенігсберзі (нині – Калінінград) через річку Прегель, яку розв’язав Ейлер. Учений звернув увагу на математичну суть деяких задач, пов’язаних з шахами. Одна з таких задач полягає у визначенні маршруту коня, який повинен обійти всі 64 поля шахової дошки, причому на кожному полі дозволяється побувати лише один раз. До речі, повністю розв’язати цю задачу – визначити точне число таких маршрутів – до цього часу ще не вдалося. Відомі лише межі, в яких це число  знаходиться.

Можна лише уявити, яким відкриттям для математиків тієї епохи були праці Ейлера про кривизну поверхонь та про їх розгортки. Праці, в яких Ейлер досліджував відображення поверхонь, які зберігають подібність у малому (конформні відображення), ґрунтуються на теорії функцій комплексної змінної. А праця про многогранники розпочала зовсім нову частину геометрії і за своєю глибиною та принциповим значенням стоїть поряд з працями Евкліда. Слід також зазначити, що Ейлеру належить низка цікавих результатів з елементарної геометрії, зокрема, він у загальному випадку розв’язав задачу про знаходження об’єму тетраедра за відомими довжинами його ребер. 

Мабуть, немає іншого вченого, чиє ім’я згадувалося б так часто у навчальній літературі, як ім’я Ейлера. Майже в усіх галузях математики та її застосувань зустрічається ім’я Ейлера: теореми Ейлера, тотожності Ейлера, ейлерові точки, пряма, коло, константа, кути, функції, інтеграли, формули, рівняння, підстановки тощо. У середній школі логарифми і тригонометрію вивчають до цього часу «за Ейлером».

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук