Передісторія теорії ймовірностей

У цей період, початок якого губиться в глибині століть, ставились і розв’язувалися деякі задачі, які пізніше були віднесені до теорії ймовірностей. Ніяких наукових методів розв’язування таких задач на той час ще не було.

Нині важко встановити, хто вперше поставив питання, нехай і в дуже недосконалій формі, про вимірювання самої можливості появи випадкової події. Ще в Стародавньому Китаї, Ірані та Римі були відомі факти стабільності деяких відношень (частот), пов’язаних із демографічними даними, а також із даними про постачання великих міст.

Думка про те, що закони природи проявляються через масу випадкових подій, викладена в поемі Лукреція Кара «Про природу речей» (98 – 95 рр. до н.е.). Деякі ймовірнісні уявлення мали й інші античні філософи, зокрема  Демокріт і Платон.

Певні міркування про випадкове зустрічаються й у літературних творах Середньовіччя. Зокрема, у «Божественній Комедії» видатного поета, «батька італійської літератури» Данте Аліґ’є́рі (1265 – 1321) неодноразово наводяться зауваження про гру в кості (підкидання гральних кубиків) і навіть спроби підрахувати число сприятливих можливостей тієї чи іншої комбінації.

Більш чіткі постановки питань уперше зустрічаються в трактаті «Сума знань» (1487, опубл. 1494), який написав Лука Пачолі (прибл. 1445 – 1517), італійський математик і монах, автор перших ґрунтовних праць з математики епохи раннього Відродження. До речі, талановиті ілюстрації до праць Луки Пачолі виконав сам Леонардо да Вінчі.

Суттєве просування в розв’язуванні початкових задач імовірнісного характеру пов’язано з іменами італійських учених Нікколо Фонтана (Тарталья) (прибл. 1500 – 1557) і Джироламо Кардано (1501 – 1576). У рукопису «Книги про гру в кості» (1526, опубл. 1663) Кардано розв’язав багато задач про підкидання гральних кубиків і випадіння на них того чи іншого числа очок.

У «Загальному трактаті про міру і число» (1556) Тарталья прагнув розв’язати задачу про поділ ставки між гравцями, які не довели гру до кінця. Він знайшов хиби в міркуваннях Луки Пачолі, який раніше досліджував цю задачу. Однак, як з’ясувалося дещо пізніше, і сам Тарталья не уник помилок при розв’язуванні цієї задачі. Та це й не дивно, оскільки на той час ще не було вироблено необхідних понять – поняття ймовірності та поняття математичного сподівання.

Варто зазначити, що у вище вказаному трактаті Тарталья правильно розв’язав деякі задачі комбінаторики. Зокрема, він розглянув задачу про число різних способів, якими можна розсадити 10 осіб на 10 місцях, і знайшов відповідь: 10!=10∙9∙8∙…∙2∙1. Ще він отримав низку комбінаторних тотожностей.

Задачі ймовірнісного характеру досліджував також знаменитий італійський учений Галілео Галілей (1564 – 1642). Він обчислював кількість усіх можливих варіантів при підкиданні трьох гральних кубиків, а також кількість різних способів, якими може бути отримане те чи інше значення суми очок на всіх трьох кубиках. Однак Галілей, як і його попередники, так і не дійшли до поняття ймовірності. Працями цих учених і закінчується передісторія теорії ймовірностей.

Початок історії теорії ймовірностей

Зазвичай вважають, що теорія ймовірностей зародилася в 1654 році в листуванні двох видатних французьких учених – Блеза Паскаля (1623 – 1662) і П’єра Ферма (1601 – 1665). Збереглося лише три листи Паскаля і чотири листи Ферма. Перший лист Паскаля втрачено і про його зміст можна судити лише за відповіддю Ферма.

Варто зазначити, що зацікавив Паскаля задачами з теорії ймовірностей придворний французького королівського двору кавалер де Мере (1607 – 1705), який був освіченою людиною, захоплювався філософією та літературою, але водночас був ще й вельми азартним гравцем. Саме він поставив перед Паскалем дві задачі, які поклали початок теорії ймовірностей.

Перша задача. Скільки разів треба підкинути два гральні кубики, щоб шанси  отримати хоча б один раз дубль 6-6 (тобто поява одночасно двох шісток), були більші, ніж шанси не отримати жодного разу дубль 6-6.

Друга задача. Два гравці А та В грають у гру, де шанси перемоги для кожного з них однакові. За домовленістю перший, хто виграє шість партій, отримає весь приз (всю ставку). Гру зупинено за рахунку 5 : 3 на користь гравця А. Як справедливо поділити приз (ставку)?

Паскаль і незалежно від нього Ферма розв’язали обидві задачі, хоча й різними методами. Паскаль писав у листі до Ферма: «Я більше не маю сумнівів щодо правильності отриманого мною результату, оскільки він дивовижно збігається із знайденим Вами. Наші думки зустрілися. Я бачу, що насправді істина одна: і в Тулузі, і в Парижі».

Стосовно першої задачі було встановлено, що при 24 підкиданнях шанси отримати хоча б один дубль 6-6 менші 50 % (приблизно 49,1 %), а при 25 підкиданнях шанси отримати хоча б один дубль більші 50 %.

Друга задача виявилася складнішою. До Паскаля та Ферма протягом майже двох з половиною століть цю задачу розглядали як задачу про пропорції. Ділили приз у співвідношенні 5 : 3 (Пачолі), 2 : 1 (Тарталья) тощо.

Паскаль та Ферма першими запропонували поділити приз відповідно до ймовірностей виграшу матчу (якби він продовжився) кожним із гравців (гравцю А до перемоги залишилося виграти одну партію, а гравцю В – три партії). Користуючись імовірнісними міркуваннями, незалежно один від одного, ці вчені встановили, що приз треба поділити у відношенні 7 : 1. Цей результат виявився вельми несподіваним для сприйняття в XVII ст.

Зазначимо, що Паскаль першим почав вживати термін «теорія ймовірностей» для назви нової математичної дисципліни. Він мав намір написати трактат «Математика випадку», в якому, мабуть, хотів систематизувати і викласти отримані ним і Ферма результати. На жаль, свій намір Паскаль так і не здійснив  – далася взнаки перевтома, хвороба, вплив релігійних проповідників. Учений упав у тенета страху й містики, відійшов від науки. Усе подальше життя присвятив релігії. Доказ раціональності віри в Бога Паскаль сформулював так: «Якщо Бога не існує, то той, хто вірить у нього, нічого не втрачає, але якщо Бог існує, то той, хто не вірить у нього, втрачає все.»

Що стосується Ферма, то він взагалі писав мало і завжди дуже стисло, окрім цього, не публікував свої праці – вони циркулювали за його життя лише в рукописах. Деякі відкриття він здійснив при листуванні.

Підкреслимо, що в листуванні Паскаля і Ферма зустрічалось і таке важливе поняття, яке згодом отримало назву «математичне сподівання».

Першою і єдиною (до початку XVIII ст.) книжкою з теорії ймовірностей була праця «Про розрахунки в азартних іграх» (1657), яку написав голландський учений  Христіан Гюйгенс (1629 – 1695). Спочатку ця праця була опублікована у вигляді додатку до книги «Математичні етюди» його вчителя Франса Ван Схоотена (1615 – 1660). Згодом була перекладена різними мовами і неодноразово перевидавалась. Цей математичний твір здійснив великий вплив на наступні покоління вчених, які проклали нові шляхи в теорії ймовірностей.

Христіану Гюйгенсу належать пророчі слова: «При уважному вивченні предмету читач помітить, що має справу не лише з грою, але що тут закладаються основи дуже цікавої та глибокої теорії.»

На початковий етап розвитку теорії ймовірностей суттєвий вплив здійснили не лише азартні ігри, а також і задачі, що виникали в практиці страхових товариств, при обробці результатів астрономічних спостережень та при проведенні статистичних досліджень народонаселення. Перші наукові основи статистики були закладені в працях англійських учених Джона Граунта (1620 – 1674) та Вільяма Петті (1623 – 1687). Продовжувачем досліджень Граунта і Петті став Едмунд Галлей (1656 – 1742), знаменитий астроном (його іменем названа планета Галлея).

До кінця XVII ст. завершився тривалий період накопичення відомостей про випадкові явища, було розв’язано багато задач імовірнісного характеру. Багато вчених із різних позицій підходили до ідеї кількісної оцінки можливості появи випадкової події, до поняття ймовірності. Однак у XVII ст. в явному вигляді поняття ймовірності так і не було введене. Це здійснилося лише у XVIIІ ст., в якому вчені спиралися на міцний фундамент, закладений попередниками.

Протягом XVII-XVIIІ ст. ще не було усталеної назви для науки, що створювалася. Вживалися назви «вчення про випадкове», «доктрина шансів», «числення ймовірностей». І лише в XIX ст. стали використовувати сучасну назву «теорія ймовірностей», яка закріпилася після ґрунтовних праць Лапласа.

Період становлення теорії ймовірностей

Уведення поняття ймовірності зайняло тривалий проміжок часу, протягом якого відбувалося вдосконалення формулювань. Класичне означення ймовірності було підготовлене дослідженнями Граунта і Петті, результати яких переконливо показали переваги поняття відносної частоти перед поняттям абсолютної частоти появи події в серії випробувань.

Класичне означення ймовірності (у недосконалому вигляді) вперше з’являється в знаменитому трактаті «Мистецтво припущень» (інший варіант перекладу: «Мистецтво здогадок»), який написав швейцарський учений Якоб Бернуллі (1654 – 1705). Цей трактат був опублікований у 1713 році вже після смерті вченого його племінником Миколою Бернуллі. Багато фахівців  вважають, що саме з цього трактату власне й розпочинається справжня історія теорії ймовірностей.

Я. Бернуллі писав: «Імовірність є ступінь достовірності і відрізняється від неї, як частина від цілого». У це формулювання вчений вкладав сучасний зміст, що видно з його подальших міркувань. Він також володів і статистичним означенням імовірності, побудував математичну модель для опису серії незалежних випробувань (схема Бернуллі). Я. Бернуллі сформулював і довів важливу теорему, яку згодом назвали законом великих чисел.

Теорема Бернуллі стверджує, що в схемі незалежних випробувань з однаковою ймовірністю появи події в кожному з них відносна частота події, у певному сенсі, прямує до ймовірності події. Теорема Бернуллі теоретично обґрунтовує властивість стійкості відносної частоти.

Зазначимо, що у 1837 році французький учений С. Пуассон (1781 – 1840) узагальнив цю теорему, поширивши її на випадок послідовності незалежних випробувань, коли ймовірності події в різних випробуваннях різні (залежать від номера випробування). Він же вперше ввів термін «закон великих чисел».

Класичне означення ймовірності, запропоноване Я. Бернуллі, сприйняв англійський математик Абрахам де Муавр (1667 – 1754). Імовірність він означав так: «Отже, ми будуємо дріб, чисельник якого буде число випадків появи події, а знаменник – число всіх випадків, при яких подія може з’явитися чи не з’явитися. Такий дріб буде виражати дійсну ймовірність появи події.»

Муавр, як і Бернуллі, спеціально не зазначав, що всі шанси повинні бути рівноможливими. Зауваження про рівноможливість шансів уперше зробив французький учений П’єр Лаплас (1749 – 1827) у своєму трактаті «Аналітична теорія ймовірностей» (1812). Тому вважають, що саме Лаплас першим дав класичне означення ймовірності (у досконалій формі). Це означення використовують і в сучасних підручниках для школярів та студентів.         

     Лаплас довів теорему, яка згодом отримала назву «центральна гранична теорема». Найпростішим варіантом центральної граничної теореми є інтегральна теорема Лапласа (опублікована в 1812 р.). Однак частинний випадок цієї теореми був відомий ще А. Муавру (1733 р.), у зв’язку з чим теорему Лапласа досить часто називають теоремою Муавра-Лапласа.

Зазначимо, що Муавру належить пріоритет у введенні поняття незалежності випадкових подій, умовної ймовірності, а також теореми множення ймовірностей. Свої дослідження він виклав у «Доктрині шансів» (1718).

Перше чітке і остаточне формулювання теореми додавання ймовірностей міститься у праці англійського математика Томаса Байєса (1702 – 1761). Ця праця була зачитана на засіданні Лондонського королівського товариства через два роки після смерті автора. Вона містить означення несумісних подій (у термінології Байєса – нещільних подій). Байєсу приписують також теорему про переоцінку ймовірностей гіпотез. Однак, насправді, ця теорема відсутня у працях Байєса, оскільки він на той час не знав формули повної ймовірності.

Результат, який приписують Байєсу («теорема Байєса»), а також формула повної ймовірності, мабуть, уперше отримали сучасне формулювання у праці Лапласа «Досвід філософії теорії ймовірностей» (1814).

Важливий вклад у розвиток теорії ймовірностей зробив видатний німецький математик, астроном, фізик і геодезист Карл Гаусс (1777 – 1827). З його іменем пов’язують нормальний закон розподілу ймовірностей, нормальну криву (криву Гаусса), метод найменших квадратів, розробку теорії похибок вимірювань.

У теорії ймовірностей вивчають не лише випадкові події, але й випадкові величини. Уперше це поняття зустрічається в працях Я. Бернуллі, М. Бернуллі та Муавра. Я. Бернуллі розглядав число появ події  в послідовності  незалежних випробувань. У наш час це число розглядають як випадкову величину, що може приймати значення  з імовірностями, які визначаються за формулою Бернуллі. Що стосується Муавра, то він фактично отримав нормальний закон розподілу ймовірностей.

Однак ці вчені явно не формулювали нове поняття – поняття випадкової величини, необхідність якого вже визрівала. Я. Бернуллі залишався на рівні схеми випадкових подій. Муавр нормальний розподіл використовував лише для наближених обчислень точних значень шуканих імовірностей.

Перший крок до введення нового поняття зробив Пуассон у мемуарі «Про ймовірності середніх результатів спостережень» (1832). Самого терміну «випадкова величина» в нього ще не було, він говорив про «деяку річ», яка може приймати значення  відповідно з імовірностями .

Пуассон вивчав також неперервні випадкові величини та щільності їх розподілів. Його термін «річ» не прижився і згодом його перестали використовувати. П.Л. Чебишев у своїх мемуарах із теорії ймовірностей вжив термін «величина» і автоматично припускав незалежними всі випадкові величини, які він розглядав. У працях О.М. Ляпунова вже застосовується термін «випадкова величина»  і скрізь, де це необхідно, наголошується, що розглядаються незалежні випадкові величини. О.М. Ляпунов наводить сучасне означення функції розподілу, а також формулу для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини в заданий проміжок.

Поняття математичного сподівання в початковому розумінні зустрічалося ще в листуванні Паскаля та Ферма. У більш явній формі це поняття було введене Гюйгенсом. Термін «сподівання» запропонував Схоотен – учитель Гюйгенса, а термін «математичне сподівання» ввів Лаплас (1795). Ця назва походить від поняття «очікуваного значення виграшу», яке було пов’язане з азартними іграми. Однак повною мірою поняття математичного сподівання було гідно оцінене й вдало застосоване в дослідженнях П. Л. Чебишева та його учнів.

Період становлення теорії ймовірностей тривав до середини ХІХ ст. Основними здобутками цього періоду були:

• побудова основ аналітичних методів у теорії ймовірностей;
• виведення нормального закону розподілу;
• доведення граничних теорем;
• формування різних уявлень про ймовірність (геометрична ймовірність і статистична ймовірність);
• застосування імовірнісних методів у природознавстві та інших галузях знань.

Період Петербурзької школи теорії ймовірностей

На міцну математичну основу теорія ймовірностей була поставлена вченими Петербурзької математичної школи, серед яких виділяються основоположник російської школи теорії ймовірностей П.Л. Чебишев (1821 – 1894) та його талановиті учні А.А. Марков (1856 – 1922) і О.М. Ляпунов (1857 – 1918).

П.Л. Чебишев сформулював і довів закон великих чисел (опублікований у 1867 р.) у більш загальній формі, ніж його попередники. Саме П.Л. Чебишев перейшов від розгляду випадкових подій до розгляду випадкових величин і змістив центр досліджень у теорії ймовірностей у бік вивчення випадкових величин. Виявилося, що теореми Бернуллі та Пуассона є окремими випадками теореми Чебишева.

Також варто відзначити, що П.Л. Чебишев сформулював центральну граничну теорему при суттєво загальних умовах (1887 р.). Для доведення своєї теореми П.Л. Чебишев розробив метод моментів. Однак із часом з’ясувалося, що у формулюванні теореми та в її доведенні було допущено ряд неточностей і прогалин. Ліквідував ці недоліки А.А. Марков – учень П.Л. Чебишева (1898 р.).

Дещо пізніше (1901 р.) О.М. Ляпунов (теж учень П.Л. Чебишева) довів центральну граничну теорему при ще ширших умовах. Для доведення своєї теореми О.М. Ляпунов розробив ефективний метод характеристичних функцій, який широко застосовується в сучасній теорії ймовірностей.

Зазначимо, що першою публікацією з теорії ймовірностей у Росії була праця Даниїла Бернуллі «Досвід нової теорії про міру жеребу» («Specimen theoria novae de mensura sortis»), яка опублікована в 1738 році в п’ятому томі «Записок Імператорської Академії наук» («Commentarii Academiae Scientiarium Imperialis Petropolitanae»).

Автором першої роботи з теорії ймовірностей російською мовою був А.Ф. Павловський (1789 – 1857) – ректор Харківського університету, вчитель М.В. Остроградського. У 1821 р. у Харкові він опублікував науково-популярну брошуру «О вероятности».

Першою російською дисертацією з теорії ймовірностей була магістерська дисертація П.Л. Чебишева «Досвід елементарного аналізу теорії ймовірностей», яку він виконав за пропозицією професора Н.Д. Брашмана на фізико-математичному факультеті Московського університету в 1845 р. і захистив дисертацію в 1846 р., у 25-ти літньому віці.

У Санкт-Петербурзі теорією ймовірностей і математичною статистикою активно займалися академік М.В. Остроградський (1801 – 1861) і академік В.Я. Буняковський (1804 – 1889), який видав (1846) перший російський підручник «Основи математичної теорії ймовірностей». Ці видатні вчені (до речі, українського походження) відіграли велику роль у розповсюдженні ідей теорії ймовірностей та математичної статистики в Росії та Україні.

Із 1847 р. П.Л. Чебишев розпочав викладати у Санкт-Петербурзькому університеті. Із 1860 р. до нього переходить від В.Я. Буняковського курс теорії ймовірностей, що стало додатковим стимулом для його досліджень у цій галузі. Власне, з цього часу й почала зароджуватися «Петербурзька школа», яка зробила значний вклад у розвиток теорії ймовірностей.

На думку академіка А.М. Колмогорова, П.Л. Чебишев створив російську математичну школу, яка стала найкращою у світі в багатьох галузях математики, зокрема і в теорії ймовірностей. Багато вчених, які належали до «Петербурзької школи» або були учнями її вихованців, створили свої власні математичні школи в Москві, Києві, Одесі, Харкові та багатьох інших містах.

М.В. Шмигевський