Теорія ймовірностей з певним ступенем надійності може передбачити числові показники таких різнорідних подій, як народжуваність людей і урожай зернових, час появи плям на Сонці і котирування акцій на фондовому ринку, результати виборів, зростання населення та багато іншого.

Але ж все почалося з такого малошанованого заняття, як азартні ігри. І тому наведемо декілька історичних фактів про те, чому розумні і благородні люди заглибилися у вивчення проблеми, пов'язаної з підвищенням ймовірності виграшу в азартних іграх.

Теорія ймовірностей як наука зародилася в середині XVII – початку XVIII століття. Біля її витоків стояли такі видатні вчені як П'єр Ферма (1601 – 1665), Блез Паскаль (1623 – 1662) і Християн Гюйгенс (1629 – 1695).

Поштовхом до того, щоб вони зайнялися проблемою азартних ігор, став кавалер де Мере, який звернувся з листом до Паскаля з приводу так званої «задачі про очки».

Де Мере – філософ і літератор – цікавився математикою і листувався з багатьма видатними вченими свого часу. У листі до Паскаля він пише:

«Ви знаєте, що я відкрив рідкісні речі, які поважні математики ніколи не обговорювали. Про мої відкриття писали Ви, Ферма і Гюйгенс, які ними захоплювалися. Ця наука має багато цікавих речей, але які мені здаються не дуже корисними».

Ось суть першої задачі, з якою де Мере звернувся до Паскаля. Двоє кидають гральну кістку, яка, як добре відомо будь-якій дитині, являє собою кубик з нанесеними на його гранях точками – від 1 до 6. При киданні зверху може виявитися будь-яка грань. Припустимо, що для виграшу вам потрібна грань із шістьма точками. Починаючи з якого за рахунком кидка ймовірність того, що випаде саме ця грань, буде більш велика, ніж інший результат?

Наведемо зміст другої задачі. Тепер одночасно підкидаються дві однакові гральні кістки. Починаючи з якого кидка ймовірність того, що одночасно випадуть дві шістки, буде найбільш великою?

Паскаль зав'язав листування з Ферма з приводу цих, а також деяких інших аналогічних задач, результатом чого стало встановлення ними деяких загальних положень, які в подальшому лягли в основу теорії ймовірностей.

Трохи пізніше до них приєднався Гюйгенс, який приїхав до Парижу і в  1657 р. випустив книгу «Про розрахунки при азартних іграх», що стала першою великою роботою по теорії ймовірностей.

Повернемося до двох задач, поставлених де Мере, і постараємося з вами їх вирішити.

1-а задача кавалера де Мере з підкиданням однієї гральної кістки. При першому кидку ймовірність випадання будь-якої з шести граней дорівнює 1/6.
Отже, ймовірність того, що грань з бажаним для вас результатом (грань із шістьма точками) не випаде: Q = 5/6.

При другому кидку ця ймовірність небажаного результату буде дорівнювати:

Q = (5/6)∙(5/6) = 25/36 = 0,69444.

Отже, бажаний для вас результат при загальній ймовірності всіх подій, що дорівнює 1, складе: Р = 1 - Q = 0,30556.

Продовжимо наші міркування згідно з цим алгоритмом.

При 3-му кидку: Q =(5/6)³  = 0,57870 и  Р = 1 – Q = 0,42130.

При 4-му кидку: Q =(5/6)⁴  = 0,48225 и  Р = 1 – Q = 0,51775.

При 5-му кидку: Q =(5/6)⁵  = 0,40188 и  Р = 1 – Q = 0,59812.

Перервемо наші обчислення. З них видно, що вже після 4-го кидка гральної кістки ймовірність того, що ми отримаємо бажаний результат, перевищить протилежний у відношенні 0,51775: 0,48225 = 1,0736 разів, а після 5-го в 1,4883 рази.

Отже, якщо ви вступите в подібну гру, то знайте, що тільки після чотирьох підкидань гральної кістки задумана вами цифра почне приносити успіх і ймовірність виграшу перевищить ймовірність програшу.

Відштовхуючись від отриманого результату, на основі методу індукції складемо загальну формулу розрахунку ймовірності настання події при подібного роду іграх або протіканні будь-яких аналогічних подій, що укладаються в розглянуту схему:

де К - число варіантів різних рівноймовірностних ситуацій, N - число повторення обраного варіанту.
З (1) отримаємо:

За формулою (2), задавшись імовірністю Р настання очікуваної події, можна розрахувати необхідну кількість варіантів випробувань N.

Розглянемо такий приклад. Ви прийшли в казино. Перед вами коло, на якому написані цифри від 1 до К. У кожному сеансі гри ви ставите на одну і ту ж цифру. Як пов'язана ймовірність виграшу з числом ваших ставок?

Результати розрахунку числа випробувань за формулою (2) при числі вгадуваних варіантів К = 10 в залежності від значення ймовірності виграшу Р в межах від 0,1 до 0,9 приведені в таблиці 1. Попередньо обчислені значення числа випробувань N округлені до цілого числа в більшу сторону (значення М).

Таблиця 1

Аналогічні результати розрахунку при числі вгадуваних варіантів К = 50 і різних значеннях ймовірності Р від 0,1 до 0,9 приведені в табл. 2.

Таблиця 2

З отриманих даних випливає, наприклад, що для виграшу з ймовірністю не менше 0,5 потрібно провести при К = 10 не менше 7 ігор, а при К = 50 –  35 ігор.

2-а задача кавалера де Мере з підкиданням двох гральних кісток. Тут умови гри ускладнені.

Одночасно підкидаються дві гральні кістки. Виграш вважається в тому випадку, коли одночасно на обох кістках випаде одне і те ж число, наприклад, 6.

При першому кидку ймовірність випадання будь-якої з шести граней дорівнює 1/6, а отже, ймовірність одночасного випадання однієї і тієї ж грані на обох гральних кістках дорівнює 1/36.

Значить, ймовірність того, що грань з бажаним для вас результатом (грань з шістьма точками) не випаде Q = 35/36.

При другому кидку ця ймовірність небажаного результату вже становить:

Q = (353/6) ∙ (35/36) = 0,945216.

Отже, бажаний для вас результат (обидві грані з шістьма точками) при загальній ймовірності всіх подій, що дорівнює 1, складе:

Р = 1 - Q = 0,054784.

Продовжимо наші міркування згідно з цим алгоритмом.
При 3-му кидку: Q = (35/36) 3 = 0,918960 і Р = 1 - Q = 0,08104.
При 4-му кидку: Q = (35/36) 4 = 0,893433 і Р = 1 - Q = 0,106567.
При 5-му кидку: Q = (35/36) 5 = 0,868615 і Р = 1 - Q = 0,131385.

Відштовхуючись від отриманого результату, на основі методу індукції знову складемо загальну формулу з розрахунку ймовірності настання події при подібного роду іграх або протіканні будь-яких аналогічних подій, що укладаються в розглянуту схему:

З (3) отримаємо:

Відповідно до формули (4) розрахуємо необхідну кількість проведення випробувань N, яке потім округляється до цілого числа М, при числі вгадуваних варіантів К = 6 (випадок, запропонований до розгляду кавалером Мере) в залежності від значення ймовірності виграшу Р.

Результати такого розрахунку при зміні ймовірності Р від 0,1 до 0,9 і К = 6 наведені в таблиці 3.

Таблиця 3

З отриманих даних випливає, що при одночасному підкиданні двох гральних кісток ймовірність виграшу перевищить 0,5 тільки після 25-го кидка. Саме такий результат одержав Паскаль. Сам кавалер де Мере помилився на одиницю, вказавши цифру 24.

Звичайно, не можна вважати, що теорія ймовірностей виникла тільки як відгук на питання, висунуті азартними іграми. Тому були куди більш вагомі причини, такі як необхідність обробляти різноманітні статистичні дані і потреби страхових товариств в європейських державах.

Просто випадок з кавалером де Мере яскраво висвічує витоки виникнення нової теорії. Тим більше, що сам Блез Паскаль був людиною виключно високих моральних якостей, значну частину життя прожив у монастирі Пор-Рояль, який належав ордену «Святого Бенедикта».

Паскаль знаменитий не тільки як математик і фізик, а й як філософ і публіцист.

Видана на багатьох мовах книга «Думки пана Паскаля про релігію і деякі інші питання», знайдена після його смерті серед його паперів, внесла неоціненний внесок у становлення європейської цивілізації.

З усього викладеного можна зробити такий висновок: вивчайте теорію ймовірностей, але не захоплюйтеся азартними іграми. Надійного шляху виграти в них немає і бути не може. Там, де править випадок, все носить імовірнісний характер.

В.І. Каганов, доктор технічних наук, професор