Відомо, що з математиків Лобачевський був єдиним, хто прийшов до ідей неевклідової геометрії. Нагадаємо кілька фактів, які стосуються історії її створення.
Своє міркування під назвою «Стислий виклад начал геометрії зі строгим доведенням теорії паралельних» М.І. Лобачевський представив фізико-математичному відділенню (факультету) університету 7 (19) лютого 1826 року.
Чудовий угорський математик військовий інженер Янош Бойаї (1802-1860) незалежно від Лобачевського розвинув таку ж систему геометрії і опублікував свою працю як «Додаток» (лат. Appendix) до першого тому великого курсу математики «Повчання юнакам ...» (1832) свого батька Фаркаша Бойяї.
Окремі відбитки «Апендикса» з’явилися вже 1831 року – це було на два роки пізніше публікації Лобачевського. («Про начала геометрії»; журнал «Казанський вісник», 1829-1830 роки; рукопис «Стислого викладу...» не було опубліковано і до нас не дійшло).
На відміну від Лобачевського Янош Бойаї, не зустрівши розуміння та підтримки, припинив подальшу розробку нової геометрії.
Великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс (1777–1855), названий сучасниками «королем математиків», як з’ясувалося з посмертних публікацій його листування з друзями та його наукових щоденників, ще до Лобачевського отримав основні співвідношення нової геометрії. Однак він свої результати не тільки не опублікував, а й заборонив друзям говорити будь-кому про них. Почасти він побоювався нерозуміння і різких відгуків із боку сучасників, бо боявся потривожити, як і писав, «гніздо ос». Почасти (і це було основною причиною) він довго не міг примиритися сам з отриманими ним висновками, оскільки нова геометрія порушувала стрункість його ідеалістичного світогляду. Йому доводилося виключати геометрію з ідеальної галузі чистої математики як потребує експериментальної перевірки.
Таким чином, біля витоків першої неевклідової геометрії стоять імена трьох вчених. Але робота М.І. Лобачевського була опублікована першою, і тільки він повністю розробив свої ідеї, включивши питання про обчислення довжин дуг, площ та обсягів. Звичайно, він зустрів нерозуміння у сучасників, негативне ставлення з боку Академії наук (відкликання М.В. Остроградського, 1832), а в реакційному журналі Ф. Булгаріна «Син батьківщини» навіть з’явилася анонімна знущальна рецензія (1834). Але незважаючи на це, він все-таки продовжував відстоювати свої геометричні ідеї протягом усього життя, знаходячи їм застосування в самій математиці, обґрунтовуючи та розвиваючи їх у цілій низці робіт.
Останню з них, «Пангеометрію», він, осліплий, уже не міг писати сам, і вона була продиктована ним учням за рік до смерті.
Несуперечність нової геометрії була згодом суворо доведена Ф. Клейном (1871), що спирався на результати А. Келі (1859) та Е. Бельтрамі (1868) і розробив загальну теорію неевклідових геометрій.
У цій загальній системі «уявна геометрія» була названа Ф. Клейном гіперболічною, але справедливо вона зберігатиме також і інше ім’я – «геометрія Лобачевського – Бойаї».
(1792-1856)
У своїх роботах М.І. Лобачевський постає перед читачем перш за все як глибокий математик, який звернувся до досліджень начал цієї науки.
Справді, хто не погодиться, що ніяка математична наука не повинна починатися з таких темних понять, з яких, повторюючи Евкліда, починаємо ми геометрію, і що ніде в математиці не можна терпіти такого браку суворості, якого змушені були допустити в теорії паралельних ліній.
Щоправда, що проти хибних висновків від неясності перших і загальних понять у геометрії застерігає нас уявлення самих предметів у нашій уяві, а справедливості прийнятих істин без доказу переконуємося простотою їх і досвідом, наприклад, астрономічними спостереженнями; проте все це анітрохи не може задовольнити розум, привчений до суворого судження. До того й не вправі нехтувати вирішенням питання, доки воно невідоме і доки не знаємо, чи не послужить воно ще до чого іншого...
Перші поняття, з яких починається якась наука, повинні бути зрозумілі і приведені до найменшого числа. Тоді тільки вони можуть бути міцною і достатньою основою вчення. Такі поняття набувають почуттів: уродженим – не повинно вірити.
«Про засади геометрії». 1829.
Вдавшись до досвіду і використавши новітні сучасні йому результати астрономічних вимірів паралаксів зірок, спираючись на співвідношення своєї геометрії, Лобачевський дійшов висновку, що геометрія реального світу, де прямі лінії реалізуються променями світла, для досить великих відстаней (порядку діаметра сонячної). Іншими словами, відхилення від евклідової геометрії, якщо воно існує, дуже мало. Таким чином, загальніша геометрична система послужила логічним базисом для обґрунтування практичної застосування більш простої, «вживаної» геометрії.
Лобачевський встановив, зокрема, що за його теорією в масштабах сонячної системи сума кутів трикутника може відрізнятись від 180° (або, як ще кажуть, від двох прямих) не більше ніж на кілька мільйонних часток секунди, тобто в межах помилок вимірів.
Отже, чим менший трикутник, тим більше сума кутів його відрізняється від двох прямих. Після цього можна уявляти, що ця різниця, на якій заснована наша теорія паралельних, виправдовує точність всіх обчислень звичайної геометрії і дозволяє прийняті начала цієї останньої розглядати строго доведеними.
Тим часом не можна не захоплюватися думкою Лапласа, що видимі нами зірки і Чумацький Шлях належать до одного лише зібрання небесних світил, подібного до тих, які вбачаємо як слабкі мерехтливі плями в сузір’ях Оріона, Андромеди, Козерога тощо. Отже, не кажучи про те, що в уяві простір можна продовжити необмежено, сама природа вказує нам такі відстані, порівняно з якими зникають за дещицею навіть відстані нашої Землі до нерухомих зірок.
Після цього не можна більше стверджувати, що припущення, ніби міра ліній не залежить від кутів, – припущення, яке багато геометрів хотіли приймати за строгу істину, яка не вимагає доведення, – можливо не виявилися б помітно хибними ще раніше, ніж перейдемо за межі видимого нами світу.
«Про засади геометрії». 1829.
Глибокий інтерес до начал наук Лобачевський виявляв уже з перших років своєї наукової діяльності. Загальновідомо, до яких досягнень це призвело його у геометрії. І в алгебраїчних дослідженнях, і в математичному аналізі його увага до начал науки дала низку глибоких, цінних результатів. Так було в своїй «Алгебрі» – першому у російській літературі курсі вищої алгебри (книга пройшла цензуру 1832 року) – він звернув особливу увагу на властивості операцій із числами. Тут же при розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь вперше у світовій навчальній літературі вводяться визначники. В галузі математичного аналізу Лобачевський займався питаннями збіжності («зникнення») рядів і у зв’язку з цим уточнив поняття функції («Про зникнення тригонометричних рядків», 1834), розмежував поняття неперервності та диференційовності. Цінні результати він отримав і в теорії ймовірностей.
Важливо відзначити, що Лобачевський не був лише математиком, який замкнувся у своїй діяльності в одній галузі науки. Для нього математика – лише один з інструментів, які дозволяють найбільш глибоко проникнути у пізнання закономірностей природи.
Науці чисел належить усе, що має величину; а що у фізичному світі її не має? У ньому все існує під необхідною умовою вимірювання, отже, все підпорядковане законам математики. Тому всі природничі науки намагаються стати на той високий рівень досконалості, на якому піде їх поєднання з математикою; і від часу з’єднання їх успіхи підуть швидкими кроками вперед.
Це сталося вже з фізикою, нещодавно з мінералогією, і є надія очікувати того ж самого для всієї хімії. Досягаючи істин, до відкриття яких веде математика і важливість яких вражає, якщо повернутися до самого джерела великих і несподіваних успіхів, то знайдемо, що сувора наука є разом наука здорового судження, що основою всього служить справедливе уявлення про речі, яке залишає вести математика через його обчислення. Після чого вже немає явищ природи, яких він міг пояснити; немає явищ, яких він міг передбачити і визначити з точністю і час, і міру.
Здавалося б, що поняття про речі та здорове про них судження не повинно залежати від обчислень; але те, щоправда, що розум, привчений обчисленнями, далеко ще продовжує йти за той кордон, який не переступить розум, непосвячений в таїнство науки чисел.
«Походження та поширення звуку в повітрі». 1823.
Широта природничих інтересів Лобачевського проявилася і в його педагогічній діяльності в університеті (1811...1845), яка не обмежувалася математичними дисциплінами. Тривалі періоди він вів викладання механіки, астрономії, фізики, висловлюючи у своїй дуже прозорливі судження. Наведемо заради прикладу його думку про зв’язок простору, руху та матерії.
У природі ми пізнаємо тільки рух, без якого чуттєві враження неможливі. Отже, всі інші поняття, наприклад, геометричні, виготовлені нашим розумом штучно, будучи взяті у властивостях руху; а тому простір сам собою окремо для нас не існує. Після чого в нашому розумі не може бути ніякої суперечності, коли ми припускаємо, що деякі сили в природі йдуть однією, інші своєю особливою геометрією.
Щоб з’ясувати цю думку, вважаємо, як і багато хто в цьому впевнений, що привабливі сили слабшають від поширення своєї дії по сфері. У уживаній геометрії величину сфери приймають 4πr2 для напівпоперечника r, від чого сила повинна зменшуватися у змісті квадрата відстані. В уявній геометрії знайшов я поверхню кулі π(er - e-r)2, і такої геометрії, можливо, йдуть молекулярні сили, яких за тим вся різноманітність залежатиме від числа е, завжди дуже великого. (Не слід плутати параметр е, що вживається Лобачевським, з ейлеровим числом е, основою натуральних логарифмів.) Втім, нехай це чисте припущення тільки, для підтвердження якого треба пошукати інших переконливих доказів; але в тому, однак, не можна сумніватися, що сили все виробляють одні: рух, швидкість, час, масу, навіть відстані та кути.
З силами все перебуває в тісному зв’язку, який, не осягаючи по суті, не можемо стверджувати, ніби стосовно різнорідних величин між собою повинні тільки входити їх змісту. Допускаючи залежність від змісту, чому не припускати і прямої залежності?
Деякі випадки говорять уже на користь такої думки; величина привабливої сили, наприклад, виражається масою, розділеною на квадрат відстані. Для відстані нуль цей вираз, власне, нічого не уявляє. Потрібно починати з якоїсь великої чи малої, але завжди дійсної відстані, і тоді тільки сила з’являється.
Тепер питається, як же відстань робить цю силу? Як цей зв’язок між двома стільки різнорідними предметами існує у природі? Цього, мабуть, ми ніколи не осягнемо; Але коли вірно, що сили залежать від відстані, лінії можуть бути також залежно з кутами.
Принаймні різнорідність однакова в обох випадках, яких відмінність не полягає власне в понятті, але тільки в тому, що ми пізнаємо одну залежність із дослідів, а іншу при нестачі спостережень повинні припускати розумово, або поза видимим світом, або в тісній сфері молекулярних тяжінь.
«Нові засади геометрії». 1835.
Чудові думки М.І. Лобачевського про необхідний зв’язок властивостей простору і матеріальних сил, що діють у ньому, отримали згодом своє конкретне здійснення в загальній теорії відносності А. Ейнштейна.
Не можна забувати про роль Лобачевського як видатного університетського діяча першої половини XIX століття, який віддав майже двадцять років свого життя будівництву та розвитку Казанського університету, чудового педагога, просвітителя та методиста.
Ця сторона діяльності добре ілюструється промовою М.І. Лобачевського «Про найважливіші предмети виховання». Вона була вимовлена у 1828 році після першого року ректорства.
Борис Лаптєв, доктор фізико-математичних наук
![Математика: проблеми теорії чисел [2]](/images/202404ua/numbers-theory.jpg)
Засновник та видавець