Математика: історія розвитку поняття функції

 Поняття функції має давню історію. Перші кроки на довгому шляху творення загального поняття функції зробили математики Стародавнього Вавилону. Вони склали таблиці обернених значень чисел, їхніх квадратів і кубів, сум квадратів і кубів чисел. У сучасному розумінні це були таблиці значень таких функцій: y = 1/x, y = x², y = x³, y = x²+ x³. За їхньою допомогою можна було розв’язувати й обернені задачі. Складали вони і таблиці значень функцій двох змінних, наприклад, таблиці додавання та множення.

Математики Стародавньої Греції розв’язали деякі задачі на найбільше та найменше значення, відкрили співвідношення між довжинами хорд і діаметрів. Грецькі астрономи заклали основи нової галузі математики – тригонометрії. Вони склали таблиці залежності між мірами дуг та довжинами хорд, що їх стягують.

По суті, це вже були таблиці значень функції y = 2sin(x/2).

Згодом математики досліджували і багато інших функціональних залежностей, хоча самого поняття функції ще не вводили. Навіть у працях Р. Декарта, П. Ферма, І. Ньютона та Г. Лейбніца поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і пов’язувалось із геометричними або механічними уявленнями.

Шлях до першого означення функції проклав французький математик Рене Декарт (лат. Renatus Cartesius – Картезій, 1596 – 1650), увівши поняття змінної величини.

Термін «функція» вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716) для характеристики різних відрізків, що сполучають точки деякої кривої.

Спочатку поняття функції використовували в дуже вузькому розумінні, пов’язуючи лише з геометричними образами. Йшлося про відрізки дотичних до кривих, їхні проекції на осі координат та про інші лінії, які виконують для даної фігури деяку функцію (від латинського функтус – виконувати). Таким чином, поняття функції на той час ще не було звільнено від геометричної форми.

Лише 1718 року швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 – 1748) сформулював означення функції, вільне від геометричних термінів: Функцією змінної величини називається кількість, утворена яким завгодно способом з цієї змінної величини і сталих».

Відхід від геометричних образів знаменував нову епоху у вивченні функцій.

Означення, запропоноване Й. Бернуллі, спиралося не лише на праці Г. Лейбніца та його школи, але й на дослідження І. Ньютона, який вивчив багато різних функціональних залежностей та їхніх властивостей. Замість слова «функція» І. Ньютон використовував термін «ордината». Він зводив вивчення геометричних і фізичних залежностей до вивчення цих «ординат», а самі «ординати» описував різноманітними аналітичними виразами.

Щоб означення функції, дане Й. Бернуллі, стало повноцінним, потрібно було домовитися, які способи задавати функції можна вважати допустимими. Зазвичай вважали, що допускаються функції, задані виразами, в які входять числа, букви, знаки арифметичних дій, піднесення до степеня з цілим показником та добування коренів. Розглядали також тригонометричні, обернені тригонометричні, показникові, логарифмічні функції. Такі функції називали елементарними функціями.

Леонард Пауль Ейлер (1707 – 1783), видатний математик швейцарського походження, вся наукова кар’єра якого пов’язана з Росією та Німеччиною, у своєму трактаті «Диференціальне числення» (1755) уточнив і узагальнив означення Й. Бернуллі.

А саме, Л. Ейлер писав: «Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони підлягають зміні, то перші називаються функціями других». Хоча в одній із своїх праць Л. Ейлер навіть розглядав графік функції як криву, яка накреслена «вільним рухом  руки».

Праці Л. Ейлера відіграли важливу роль у звільненні математичного аналізу від мови геометрії та механіки. У них уперше теорія тригонометричних функцій була викладена без звернення до геометрії, а показникова та логарифмічна функції стали рівноправними з алгебраїчними.

Л. Ейлер наголошував, що математичний аналіз є наука про функції, що «весь аналіз нескінченно малих обертається навколо змінних кількостей та їхніх функцій». Л. Ейлеру належить уведення символу функції f(x).

У зв’язку з таким поглядом Л. Ейлера на функцію, між ним та його опонентами, зокрема, з відомим французьким математиком Жаном Лероном Д’Аламбером (1717 – 1783), виникла полеміка відносно можливості аналітичного вираження довільної кривої і  того, яке з двох означень (крива або формула) слід уважати загальнішим. Виникла також суперечка про те, чи можна одну функцію задавати декількома аналітичними виразами.

Роз’яснення вніс французький математик Жан Батист Фур’є (1768 – 1830). У представлених ним у Паризьку Академію наук у 1807 і 1811 рр. мемуарах із теорії розповсюдження тепла у твердому тілі було наведено перші приклади функцій, заданих на різних проміжках різними аналітичними виразами. Це так звані «кусково-задані функції», які в наш час широко застосовуються як в теоретичних дослідженнях, так і на практиці.

Із праць Ж. Фур’є випливало, що будь-яку криву незалежно від того, із скількох і яких саме різнорідних частин вона складена, можна представити  як єдиний аналітичний вираз. Також Ж. Фур’є встановив, що існують розривні функції, які можна записати аналітичним виразом.

Висновки Жана Фур’є французький математик Огюстен Луї Коші (1789 – 1857). обґрунтував у своєму трактаті «Курс алгебраїчного аналізу» (1821).

Подальший розвиток математичного аналізу і практичних застосувань математики привів до розширення поняття функції. У 1834 році видатний російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792 – 1856) сформулював означення функції, в основу якого було покладено  ідею відповідності: «Загальне означення вимагає, щоб функцією від  називали число, яке дається для кожного  і разом із  поступово змінюється. Значення функції може бути задане або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою…».

Аналогічну точку зору на поняття функції ще раніше висловив чеський математик Бернард Больцано (1781 – 1848). На жаль, його наукова праця «Вчення про функції», написана в 1830 році, була надрукована лише через сто років, уже після смерті талановитого математика.

У 1837 році німецький математик Петер Густав Лежен Діріхле (1805 – 1859) зробив таке узагальнення поняття функції: « є функція змінної  (на відрізку ), якщо кожному значенню  відповідає певне значення , причому не має значення, яким чином встановлена ця відповідність – аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами».

Прикладом, що відповідає цьому загальному означенню, може бути так звана функція Діріхле:

У другій половині ХІХ століття після створення теорії множини в означення функції, крім ідеї відповідності, було залучено ще й ідею множини, а тому означення функції стали формулювати так: «Якщо кожному елементу x множини A поставлено у відповідність деякий певний елемент y множини B, то кажуть, що на множині A задана функція y=f(x)». Іноді кажуть, що множина A відображається на множину B за законом f:x→y.

Таке означення функції можна застосовувати не лише до величин і чисел, але й до інших математичних об’єктів, наприклад, до геометричних фігур. Однак математичний аналіз ХІХ ст. обмежувався дослідженням тільки числових функцій, тобто таких, область визначення та множина значень яких – числові множини. Таким чином, математичний аналіз ХІХ століття продовжував ґрунтуватися на означенні Діріхле.

Але вже на початку ХХ століття виникла необхідність подальшого розширення поняття функції, викликана потребами фізики. Особливо гострою вона стала після видання 1930 року монографії «Основи квантової механіки», яку написав англійський фізик Поль Адрієн Моріс Дірак (1902 – 1984). П. Дірак увів поняття так званої «дельта-функції», яка виходила далеко за межі класичного означення функції.

За означенням П. Дірака, дельта-функція – це функція y = δ(x), яка дорівнює нулю при всіх x, крім x = 0, а при x = 0 дельта-функція перетворюється на нескінченність, причому .

У зв’язку з цим у 30-40 роках ХХ століття радянський математик Микола Максимович Гюнтер (1871 – 1941) та інші вчені видали праці, в яких розглядали не «функції точки», а «функції області», що краще відповідало фізичній сутності квантово-механічних явищ.

Подальші наукові дослідження привели до поняття «узагальненої функції», яке охоплює і дельта-функцію. Основний внесок у розробку теорії узагальнених функцій внесли французький математик Лоран Шварц (1915 – 2002) та видатний радянський математик Сергій Львович Соболєв (1908 – 1989).

Свою теорію узагальнених функцій С.Л. Соболєв запропонував у 1935 році. Через 10 років до аналогічних ідей незалежно прийшов Л. Шварц, який зв’язав разом усі попередні підходи та запропонував зручну форму, що ґрунтується на теорії топологічних векторних просторів.

Л. Шварц побудував теорію перетворень Фур’є узагальнених функцій, якої в С.Л. Соболєва не було. Однак вважається, що саме С.Л. Соболєв є першовідкривачем узагальнених функцій.

Слід зазначити, що важливий вклад у розвиток теорії узагальнених функцій внесли радянські математики Ізраїль Мойсейович Гельфанд (1913 – 2009) і Георгій Євгенович Шилов (на початку наукової кар’єри відомий як Юрій Боссе; 1917 – 1975) та інші.

Отже, поняття функції продовжує розвиватися і розширюватися згідно з потребами розвитку математичної науки та її практичних застосувань.

(Далі буде)

М.В. Шмигевський, кандидат фізико-математичних наук

За темою: Математика

№1, 2025

Історія стохастики

№8, 2024

Теорія ймовірностей – наука про випадкове

№6, 2024

Азартні ігри. Про зародження теорії ймовірностей